Учебно-методический комплекс по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Содержание комплекса направлено на освоение учащимися знаний, умений и навыков на базовом уровне по этой теме. Она включает все подтемы, предусмотренные федеральным компонентом государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике. В результате изучения данной главы учащиеся должны: знать определение и признаки перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве; понятия о перпендикуляре, наклонной, проекции наклонной; уметь доказывать все теоремы, решать задачи с их применением.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Учебно-методический комплекс по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости» »

Решение задач по готовым чертежам

Дан параллелепипед

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC)
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁(ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости.

№1

Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM⊥AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC⊥AB и AC⊥AM, а AM⋂AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

№2

Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB⊥AB
Доказать: CD⊥ (ABC)
Доказательство: MB⊥BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB⊥AB по условию, BC⋂AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒MB⊥(ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD∥МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒CD⊥(ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

Дано: АВСD – прямоугольник, M∉ (ABC), MB⊥BC
Доказать: AD⊥AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒BC⊥AB, BS⊥MB по условию, MB⋂AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒BC⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC∥AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒AD⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD⊥ (AMB) ⇒AD⊥AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

Дано: АВСD – параллелограмм, M∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO⊥BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO⊥AC.
3) Итак, MO⊥BD и MO⊥AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒MO⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

Решение задач (1)

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

№1.2 (№125 учебника)

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

1) PP₁⊥ α и QQ₁⊥ α по условию ⇒PP₁∥QQ₁ (обосновать);
2) PP₁ и QQ₁ определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P₁Q₁;
3) PP₁Q₁Q - трапеция с основаниями PP₁ и QQ₁, проведём PK∥P₁Q₁;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P₁Q₁ = PK =

= 9 см.

Ответ: P₁Q₁ = 9 см.

№2.2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD₁B₁.
Решение:

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =

см;

2) ∆ DD₁B: ∠D₁DB = 90°;

DD₁ =

= 12 см;

3) S_BB₁_D₁_D = BD ∙ DD₁ =

см².

Ответ:

см².

№3.2

Отрезок МНпересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ∥НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =

= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

; т.е.

⇒EK =

= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

Самостоятельная работа №1

Вариант I

Вариант II

Через вершиныА и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA₁⊥AB, AA₁⊥AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

Через вершиныА и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁⊥BC, BB₁⊥AB. Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

Решение:

1) AA₁⊥AB, AA₁⊥AD, а AB⋂AD = A⇒AA₁⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA₁∥BB₁, то BB₁⊥ (ABC) ⇒BB₁⊥BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD =

= 20 см;

3) ∆ B₁BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B₁B =

= 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:

1) BB₁⊥AB, BB₁⊥BC, а AB⋂BC = B⇒BB₁⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB₁∥AA₁, то AA₁⊥ (ABC) ⇒AA₁⊥AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =

= 6 см,

AO = ½ AC⇒AC = 12 см;
3) ∆ A₁AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA₁ =

= 5 см.

Ответ: 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: S_∆_ADB
Решение:

1) Т.к. CD⊥ (FDC) ⇒CD⊥AC и CD⊥BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC⊥MC⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin∠B =

, тогда

а АВ = ВС (по условию).
5) S_∆_ADB = ½ DM ∙ AB;

S_∆_ADB = ½ ∙ 15 ∙

Ответ:

Решение задач(2)

Задача 1.

Дано: МВ ┴ АВСК, АВСК – прямоугольник.

Доказать: .

Задача 2.

Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).

Доказать: CBD – прямоугольный.

Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Ответ: Диагональ А₁В – есть наклонная к плоскости АВСD, отрезок АВ – есть проекция этой наклонной, отрезок ВС перпендикулярен наклонной, значит, плоскость сечения А₁ВСD₁является прямоугольником.

Задача №154

Дано: BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найти: а) расстояние от точки Dдо АС; б) S.

Решение:

а) 1. DB – перпендикуляр, АС и DA – наклонные, так как ВА = ВС – проекции, то DA=DC.

2. равнобедренный, DK – высота, медиана и биссектриса, DK – расстояние от точки Dдо АС.

3. , , ВК =, ВК = = = 12 (см).

4. DBK,,DK = , DK = = = 15 (см).

б) S = ·AC·DK, S = ·10·15= 75 (см²).

Ответ: 15 см, 75 см².

Задача №158

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ перпендикулярно к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см;

D = 60º; ВМ = 12,5 см.

Решение:

Проведем ВК ┴ AD. ВК – проекция наклонной МК на плоскость ромба; AD ┴ ВК, то AD ┴ МК (по теореме о трех перпендикулярах). Длина МК – расстояние от точки М до прямой AD . МЕ – расстояние от точки М до прямой DC.

Из треугольника АВК: ВК = АВsin60º = .

МВК – прямоугольный ( = 90º), так как МВ ┴ (АВС); МК = = 25 (см).

ВК = ВЕ (как высоты ромба); (по двум катетам, как прямоугольные); МЕ = МК = 25 (см).

Расстояние от точки М до прямых АВ и ВС равны длине перпендикуляра МВ, то есть 12,5 см.

Ответ: 25 см; 25 см; 12,5 см; 12,5 см.

Задача №161

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если

, причем ,то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса CBD.

Решение:

1). Пусть АЕ ┴ (CBD). В плоскости (АВС) проведем перпендикуляр АМ к прямой ВС, а в плоскости (АВD) перпендикуляр АК к прямой BD.

Так как ,то точка М лежит на луче ВС (а не на продолжении этого луча). Аналогично, так как ABDBD. Так как ВС ┴ АМ, то ВС┴ ЕМ (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах).

Аналогично доказывается, что BD ┴ ЕК.

2). = по гипотенузе (АВ – общая сторона) и острому углу (ABD), то ВМ = ВК;

3). по гипотенузе (ВЕ – общая сторона) и катету (ВМ = ВК), то ЕМ = ЕК;

4). Точка Е равноудалена от сторон D, значит, она лежит на биссектрисе этого угла, то есть луч ВЕ – биссектриса D.

Тест

Должны установить истинность или ложность утверждения, тем самым отметив на таблице соответственно знаками «+» и «-», после чего произведите взаимопроверку.

1. Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости параллельны)?

2. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?

3. Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей, параллельны)?

6. Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой (прямая а и плоскость α, перпендикулярные к одной прямой с)?

7. Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

	1	2	3	4	5	6	7
I вариант	-	+	-	-	+	-	+
IIвариант	+	-	-	-	-	-	+

Самостоятельная работа №2

Каждому учащемуся раздается карточка с разноуровневыми задачами. Задача 3 уровня на оценку «5», 2уровня – на «4», 1 уровня – на «3». Каждый выбирает себе уровень сложности и решает задачу, по истечении времени работы сдаются на проверку.

I уровень.

Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС).

Решение:

Прямая SM, М – середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к плоскости (АВС) SM ┴ (АВС).
SM = = = =5 (см).
Ответ: 5 (см).

II уровень

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см.

Найти: расстояние от точки К до (АВС).

Решение:

Длина АК – расстояние от К до (АВС) по определению.
Так как DC ┴ AD, AD проекция KD, то по ТТП KD┴DC, значит, в KDC. KC² = KD² + DC², DC = = = 3 (см).
СВ┴КВ по ТТП; СВ = ; СВ = 4 (см).
ИзADC см).
ИЗ КСА A = 90º, KA = , KA =2 (см).

Ответ: 2 см.

III уровень.

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),

АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Решение:

1.В АВС против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем АЕ ┴ ВС, АЕ ┴ МЕ. По теореме о трех перпендикулярах МЕ ┴ ВС.

2. По формуле Герона:

S= , S =BC·AE.

P = = 20, S = = 60.

AE = 15 (см).

По теореме Пифагора: МЕ = , МЕ = 25 (см).

Ответ: 25 см.

Задачи (3)

1. 1) На одной грани двугранного угла даны две точки А и В (черт. 11); из них опущены перпендикуляры на другую грань: АС = 1 дм и ВD = 2дм, и на ребро: АЕ = 3 дм.и BF. Найти BF.

2) На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от ребра на 51 см и 34 см. Расстояние первой точки от другой грани равно 15 см. Определить расстояние второй точки.

2. Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на расстоянииа от другой грани. Найти расстояние этой точки от ребра.

3. Если равнобедренный прямоугольный треугольник ABC перегнуть но высоте BD так, чтобы плоскости ABD и CBD образовали прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно перпендикулярными, а ВА и ВС составят угол в 60°. Доказать.

4. Определить величину двуг.ранного угла, если точка, взятая на одной из граней,отстоит от ребра вдвое далее,чем от другой грани.

5. 1) Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр на ребро; он образует с гранями углы в 38°24' и 71°36'. Вычислить величину двугранного угла.

2) Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от обеих граней на а. Найти её расстояние от ребра.

6. 1) А и В — точки на ребре прямого двугранного угла; АС и BD — перпендикуляры к ребру, проведённые в разных гранях. Определить расстояние CD, если АВ = 6 см, АС= 3 см и BD = 2см.

2) В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить углом в 120° и взять: a) AB = AC=BD = a; b)АВ = 3, АС =2, BD = 1.

7. Треугольник ABC, прямоугольный при С, опирается катетом АС на плоскость М, образуя с ней двугранный угол в 45°. Кaтет AС = 2 м, а гипотенуза АВ относится к катету ВС, как 3:1. Определить расстояние от вершины В до плоскости М.

8. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, у которого две стороны АВ и ВС содержат по 7 см, а третья АС = 2 см. Через сторону АС проведена плоскость под углом в 30° к плоскости основания, пересекающая противолежащее боковое ребро в точке D. Определить площадь полученногo сечения и отрезок BD бокового ребра.

9. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого взаимно перпендикулярны. Определить расстояние между вершинами треугольников.

10. 1) Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 30° c плоскостью треугольника.

2) Дан треугольник ABC со сторонами: AВ = 9; ВС = 6 и АС = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.

11. Прямая АВ параллельна плоскости М и отстоит от неё на а; через АВ проходит плоскость Р, образующая с плоскостью М угол в 45°; в плоскости Р проведена прямая линия под углом 45° к АВ. Определить её отрезок между АВ и плоскостью М.

12. АВ и CD — параллельные прямые, лежащие в двух пересекающихся плоскостях, образующих угол в 60°. Точки А и D удалены от линии пересечения плоскостей на 8 см и 6,3 см. Найти расстояние между АВ и CD.

13. Отрезок АВ упирается своими концами в грани прямого двугранного угла PMNQ (черт. 12); концы отрезка находятся на одинаковых расстояниях от ребра MN двугранного угла. Найти отношение углов, под которыми отрезок наклонён к граням.

14. Найти геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной плоскости и пересекающих прямую, данную на той же плоскости.

15. 1) Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную к другой плоскости.

2) Через данную прямую провестиплоскость, перпендикулярную к другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?

16. АВ— прямая пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей М и Р; CD— отрезок в плоскости М, проведённый параллельно АВ на расстоянии 60 см от неё; Е— точка в плоскости Р на расстоянии 91 см от АВ, Найти расстояние от Е до CD.

17. 1) Отрезок АВ соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Перпендикуляры, опущенные из точек А и В на линию пересечения плоскостей, соответственно равны а и b, а расстояние между их основаниями равно с. Определить длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.

2) Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 45°, a с другой — угол в 30°; длина этого отрезка равна а. Определить часть линии пересечения плоскостей, заключённую между перпендикулярами, опущенными на неё из концов данного отрезка.

18. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 дм, сторона основания равна 4 дм. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найти площадь сечения.

19. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через сторону основания перпендикулярно к противолежащей боковой грани. Сторона основания а = 30 см, а высота пирамиды h = 20 см. Определить площадь полученного сечения.

ОТВЕТЫ

Мониторинг по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Цель урока: Повторить и систематизировать вопросы темы “Перпендикулярность прямых и плоскостей”.

Задачи урока:

закрепить теоретические знания, полученные при изучении темы;
применить знания при решении задач базового уровня и задач повышенного уровня сложности из коллекции С2 ЕГЭ;
развивать пространственное воображение;
развивать навыки самостоятельной деятельности.

Оборудование урока:

мультимедиапроектор;
мультимедийная доска;
презентация к уроку;
карточки с задачами;
презентации учащихся.

Тип урока: обобщающий.

Ход урока

1. Постановка цели урока.

Учащимся объявляется цель урока: повторить и обобщить теоретические знания по теме “Перпендикулярность прямых и плоскостей”, применить эти знания при решении задач. Работа каждого ученика оценивается количеством баллов, заработанных во время урока.

За две недели до проведения урока учащимся для подготовки был предложен список теоретических вопросов, ответы на которые принесут от 1 до 3-х баллов. Кроме того, баллы выставляются за решение задач во время урока. Также учащимся предварительно было предложено самостоятельно решить некоторые задачи из учебника по геометрии и решение задач оформить в виде презентации. Таким образом, система оценивания “накопительная”, и итоговая оценка зависит от знания учащимися теоретической части и умения применить теорию при решении задач.

2. Проверка знаний теоретических вопросов

Проводится с помощью презентации, каждый слайд которой содержит иллюстрации к вопросам.

Слайд 2

Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Сформулируйте и докажите лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей

Слайд 3

Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Слайд 4, 5

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?

Слайд 6, 7

Как измерить расстояние между скрещивающимися прямыми?

Слайд 8

Докажите теорему о трех перпендикулярах

Слайд 9

Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах

3. Решение задач базового уровня.

На слайде 10 изображены 4 задачи “на готовых чертежах”.

Учащимся выдаются листки с теми же чертежами (приложение 2 ). На решение задач отводится 10-13 минут, краткое решение записывается на листках рядом с чертежом. После чего листки собираются, а затем решение каждой из четырех задач учащиеся по желанию отвечают у доски. Собранные работы проверяются и оцениваются позже.

4. Продолжение опроса теории.

Слайд 11

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Дайте определение двугранного угла.

Как измеряется двугранный угол?

Слайд 12

Какие плоскости называются перпендикулярными?

Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

Слайд 13

Какой параллелепипед называют прямоугольным?

Перечислите свойства прямоугольного параллелепипеда.

Сформулируйте и докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

5.Решение задач

Слайд 14

Работа проводится аналогично 3 этапу урока, только учащимся теперь предлагаются 2 задачи, для решения которых дается 5-7 минут.

6. Демонстрация работ учащихся.

Решение задач 202выполненных в виде презентации, из учебника Геометрия 10-11, авторы Л. С. Атанасян и др.(приложение 3)

7. Решение задачи из коллекции С2 ЕГЭ.

Уровень сложности задачи для учащихся 10 класса достаточно сложный, поэтому работа ведется фронтально. Учитель корректирует ход решения, направляет действия учеников. Для максимальной наглядности в презентации учителя служит слайд 15. После устной работы над задачей, каждый этап решения которой сопровождается эффектами анимации, решение записывается в тетрадь.

8. Задания на понимание вопросов теории (при наличии времени).

Слайды 16-20.

Верно ли утверждение:

Прямая а перпендикулярна к плоскости , а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

Прямая а параллельна плоскости , а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и b?

Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой же плоскости?

9. Подведение итогов урока.

10. Домашнее задание.

Дома предлагается выполнить задания, распечатанные на карточках.

К плоскости проведены две равные наклонные. Равны ли их проекции?
Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 8 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
Основание прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной, равной 4. Диагональ параллелепипеда равна 8. Найдите угол между диагональю и боковой гранью.

Контрольная работа по теме: «Перпендикулярность плоскостей»

1 вариант.

1.В перпендикулярных плоскостях расположены (соответственно) точки А и В. К линии пересечения плоскостей проведены перпендикуляры АС и ВД, причём АС=12см, а ВД=15см.Найти длину АВ, если расстояние между точками С и Д равно 16см.

2.Через середину Д катета ВС прямоугольного (угол В-прямой) проведена прямая ДМ перпендикулярная плоскости АВС. Найти расстояние:

а) отпрямой ДМ до гипотенузы АС, если ВС=8см, АС=17см;

б) от прямой ДМ до катета АВ.

3.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁найдите угол между АС и ВС₁, если АВ=4, ВС=6, ВВ₁=7.

4.Квадрат АВСД и прямоугольник АД с общей стороной АД лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найдите площадь квадрата, если А=8см, С=10см.

Контрольная работа по теме: «Перпендикулярность плоскостей»

2 вариант.

1.В перпендикулярных плоскостях расположены (соответственно) точки А и В. К линии пересечения плоскостей проведены перпендикуляры АС и ВД, причём АС=4см, а ВД=16см.Найти длину СД, если расстояние между точками А и В равно 20см.

2.Через середину К катета АВ прямоугольного (угол В-прямой) проведена прямая ЕК перпендикулярная плоскости АВС. Найти расстояние:

а) отпрямой ЕК до гипотенузы АС, если ВС=5см, АВ=12см;

б) от прямой ЕК до катета ВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁найдите угол между АС и ВС₁, если DC=3, ВС=7, АА₁=5.

4.Квадрат АВСД и прямоугольник АД с общей стороной АД лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найдите площадь прямоугольника, если площадь квадрата равна 9, а В=см.

Контрольная работа по теме: «Перпендикулярность плоскостей»

1 вариант.

а) отпрямой ДМ до гипотенузы АС, если ВС=8см, АС=17см;

б) от прямой ДМ до катета АВ.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁найдите угол между АС и ВС₁, если АВ=4, ВС=6, ВВ₁=7.

Контрольная работа по теме: «Перпендикулярность плоскостей»

2 вариант.

а) отпрямой ЕК до гипотенузы АС, если ВС=5см, АВ=12см;

б) от прямой ЕК до катета ВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁найдите угол между АС и ВС₁, если DC=3, ВС=7, АА₁=5.

Урок-зачет по теме «Перпендикулярность прямых и

плоскостей в пространстве».

1.Входной тест.
Заполните пропуски.
1.Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………
3.Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
4.Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.
5.Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.
6.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ……………….., перпендикулярна и самой наклонной.
7.Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..
8.Все линейные углы……………….угла равны друг другу.
9.Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.
10.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
11.В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………
12Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………
13. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.
14.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.
15……………………прямоугольного параллелепипеда равны.
2.Задачи
( условие задач на печатной основе, количество вариантов на усмотрение учителя,
См. рисунок 1).
1.Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 5см и наклонная длиной х см, угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 30 . Найдите длину наклонной.
2.Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 6см и две равные наклонные длиной 10см. Угол между проекциями равен 90 . Найдите расстояние между основаниями наклонных.
3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см, угол между диагональю и высотой 45 .Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда.
4. Двугранный угол равен 90 . На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от ребра угла на расстоянии 12 и 9 см. Найдите расстояние между этими точками.
5.Из точки к плоскости равнобедренного треугольника с основанием 10см и боковыми сторонами 13 см через вершину треугольника проведен перпендикуляр длиной 2см.
Найдите расстояние от точки до основания треугольника.

3.Итоговый тест.
1.Если угол между двумя прямыми равен 90 , то эти прямые:
а ) пересекаются, б ) параллельны, в) скрещиваются, г)перпендикулярны, д) совпадают.
2. Какое из следующих утверждений неверно:
а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости,
б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает,
в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны,
г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны,
д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?
а) да, б)да, но при определенных условиях, в)определить нельзя, г)нет, д) другой ответ.
4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Каково взаимное расположение прямых с и в?
а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают,
д) определить нельзя.
5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:
а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость,
д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.
6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ | АВ, ВЕ | ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:
а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,
д) перпендикулярны, но не пересекаются.
7.Какое из следующих утверждений неверно?
а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины,
б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая,
в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин,
г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции,
д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90 ) равны. Какое из следующих утверждений верно?
а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны,
б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны,
в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны,
г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны,
д) условия в пунктах а - г неверны.
9.Угол между двумя плоскостями равен 80 . Какое из следующих утверждений неверно?
а) плоскости пересекаются,
б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другойплоскости,
в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости,
г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости,
д) плоскости не перпендикулярны.
10.Какое из следующих утверждений верно?
а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90 ,
б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а,
в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую , перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны,
г) угол между плоскостями всегда тупой,
д) все линейные углы двугранного угла различны.
11.Какое из следующих утверждений верно?
а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы,
б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые,
в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом,
г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений,
д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.
12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:
а) высотами прямоугольного параллелепипеда,
б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда,
в) измерениями прямоугольного параллелепипеда,
г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда,
д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

4.Экзаменационные задачи.
(Примерные задачи из экзаменационных билетов по геометрии
за курс среднего (полного) общего образования).
1.Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСD А В С D равны 6см и 8см, а угол между диагональю АС параллелепипеда и плоскостью основания равен 45 . Найдите длину СС (Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная).
Указания к решению:
1.Из треугольника АВС найдите длину АС.
2.Треугольник АСС -………….
3.Из треугольника АСС найдите длину СС .
2.Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда АВСD А В С D равно
6 см, сторона основания равна 6см. Найдите угол между прямыми АВ и С D . (Угол между скрещивающимися прямыми)
Указания к решению:
1.Угол между прямыми АВ и С D .- это угол между прямыми АВ и ВА .
2.Из треугольника АВА найдите ВА
3.По свойству диагоналей прямоугольника АВВ А длина АО (О – точка пересечения диагоналей прямоугольника) равна………………………………..
4.В треугольнике АВО длины АВ, ВО и АО ………………………
Значит треугольник-………………………………………………..
5.Углы треугольника АВО равны … градусов.
6.Угол АОВ равен………………….., значит, угол АОА равен……………..