Цикл уроков по теме "Числовые неравенства"

У р о к 65
ТЕМА: числовые неравенства

Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести определение понятия числового неравенства; формировать умение использовать данное определение для сравнения чисел и доказательства неравенств, развивать логическое мышление, воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Объявить результаты контрольной работы, выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.

2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся не справились.

III. Актуализация знаний.

Необходимо вспомнить с учащимися материал о сравнении действительных чисел. Напоминаем, что геометрически определению понятий «больше» и «меньше» соответствует взаимное расположение точек на координатной прямой: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, и меньше то, которое расположено левее. Используя координатную прямую, учащимся следует помнить, что всякое отрицательное число меньше нуля. Затем повторяем правила сравнения чисел:

1. Всякое отрицательное число меньше любого положительного числа.

2. Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

Отсюда следует, что для сравнения обыкновенных дробей, необходимо сперва привести их к общему знаменателю.

3. Из десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. Если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую цифру в разряде.

4. Чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, приведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две десятичные дроби.

5. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

IV. Устная работа.

1. Поставьте вместо * знак =, или

а) –15 * 0; б) 3 * 0; в) * 2;

г) * ; д) 1,25 * 1; е) 0,6 * ;

ж) * ; з) –0,07 * ; и) –5,6786 * –5,679.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–6,3)³; б) (–2,1)⁴; в) 0⁵; г) ; д) .

V. Объяснение нового материала.

1. После актуализации знаний возникает потребность в таком способе сравнения, который позволил бы охватить все рассмотренные числа. Удобнее и проще всего проводить сравнение числа с нулём, поэтому вводится следующее о п р е д е л е н и е: число а больше числа b, если разность а – b – положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b – отрицательное число.

Замечаем, что если разность а – b равна нулю, то числа а и b равны.

2. Рассматриваем рис. 22 на с. 153 ученика и получаем геометрическую интерпретацию нового определения.

3. Разбираем пример № 1 на с. 153 учебника. Можно предложить учащимся составить другую разность – между правой и левой частями неравенства. После преобразования получится положительное число. Просим учащихся сделать соответствующий вывод.

VI. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разделить на д в е г р у п п ы:

1) на непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение чисел);

2) на доказательство числовых неравенств (определение верности неравенства при любом значении, входящей в его запись буквы).

1. № 724, № 725 (устно).

2. № 726.

Р е ш е н и е

При а = –5

3а(а + 6) = 3 · (–5) (–5 + 6) = –15,

(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(–5) + 6)(–5 + 4) = –9;

значит, 3а(а + 6) а + 6)(а + 4).

При а = 0

3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;

значит, 3а(а + 6) а + 6)(а + 4).

При а = 40

3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;

значит, 3а(а + 6) а + 6)(а + 4).

Докажем, что 3а(а + 6) а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность выражений:

3а(а + 6) – (3а + 6)(а + 4) = 3а² + 18а – 3а² – 12а – 6а – 24 = –24.

При любом а рассматриваемая разность отрицательна, значит, 3а(а +
+ 6) а + 6)(а + 4).

3. № 728 (а, б), № 729 (а, г), № 730 (а, в).

Р е ш е н и е

№ 728.

а) 3(а + 1) + а – 4(2 + а) = 3а + 3 + а – 8 – 4а = –5 а.

б) (7p – 1)(7p + 1) – 49² = 49p² – 1 – 49p² = –1 р.

№ 729.

а) 2b² – 6b + 1 – 2b(b – 3) = 2b² – 6b + 1 – 2b² + 6b = 1 0, значит, неравенство верно при любом значении b.

г) 8y(3y – 10) – (5y – 8)² = 24y² – 80y – 25y² + 80y – 64 = –y² – 64 = –(y² +
+ 64) у.

Надо обратить внимание учащихся, что если у² + 64 0 для любого у, то противоположное ему по значению выражение –(у² + 64)

№ 730.

а) 4x(x + 0,25) – (2x + 3)(2x – 3) = 4x² + x – 4x² + 9 = x + 9.

Выражение может быть как положительным, так и отрицательным, а также равным нулю в зависимости от х, значит, неравенство не верно при любых х.

в) (3x + 8)² – 3x(x + 16) = 9x² + 48x + 64 – 3x² – 48x = 6x² + 64 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

4. № 732 (а, б).

Р е ш е н и е

а) 10а² – 5а + 1 – а² – а = 9а² – 6а + 1 = (3а – 1)² ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) 50а² – 15а + 1 – а² + а = 49а² – 14а + 1 = (7а – 1)² ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных, разного знака.

– Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.

– Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите геометрическую интерпретацию.

Домашнее задание: 1.Новый учебник: №№ 727, 729, 730 (б, г), . 2.Старый учебник: № №714, 716, 717(б,г)

У р о к 66
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства, развивать психические процессы, воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа a и b, если a – b равно:

а) –3; б) 0,2; в) 0; г) (–3)⁶; д) b – а; е) 2 – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2; 1; 1; 1,4; 1.

3. Сравните числа:

а) и 6; в) и ;

б) 3 и ; г) и 14.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) x + 3)² – 2x.

В а р и а н т 2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)² + 3x 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y² + 12y – y – 2 – 6y² – 3y – 8y – 4 =
= –6 у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)² + 2x = 4x + 8 – x² – 6x – 9 + 2x = –x² – 1 =
= –(x² + 1) х.

В а р и а н т 2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y² + y – 2y – 1 – 4y – 6y² + 2 + 3y =
= 1 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)² + 3x – 7(1 – x) = x² – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x² + 18 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154 учебника.

2. № 731 (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a² + ab – ab = a² ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bc – b² – c² = –(b² – 2bc + c²) = –(b – c)² ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733.

Р е ш е н и е

≥ 0
при а 0 (так как (а – 2)² ≥ 0 и а 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (б), № 736 (а), № 737.

Р е ш е н и е

№ 735.

б) ≤ 0
(так как (с – 1)²  0, с² + 1 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

№ 736.

а) а² – 6а + 14 = а² – 2 ∙ 3 ∙ а + 9 + 5 = (а – 3)² + 5 0 при любом значении а.

№ 737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а² – 2а + 3 = а² – 2 ∙ 1 ∙ а + 1 + 2 = (а – 1)² + 2 0 при любых значениях а.

2) а² + 6 – 4а = а² – 2 ∙ 2 ∙ а + 4 + 2 = (а – 2)² + 2 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а² = –(а² – 2 ∙ 2 ∙ а + 4) = –(а – 2)² ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а² = –(а² – 2 ∙ 4 ∙ а + 16 + 54) = –((а – 3)² + 54) а.

О т в е т: 3.

5. № 738 (а, в), № 739, № 741.

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

№ 738.

Пусть a и b – положительные числа и а² b².

По определению а² – b² 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (а – b)(а + b) 0.

Сомножитель a + b 0 (так как a 0 и b 0), значит, и сомножитель a – b 0, то есть a b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

(+)² – (+)² = 6 + 2+ 3 – 7 – 2– 2 =
= 2(–) 0.

Значит, по доказанному выше свойству: + +.

в) (– 2)² – (–)² = 5 – 4+ 4 – 6 + 2– 3 = 2–
– 2= 2(–)

Значит, по доказанному выше свойству: – 2 –.

№ 739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сперва попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

≤ 0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно ≤ и верно ≤ для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

№ 741.

Даны числа 0; 1; 2; 3. Получили числа k; k + 1; k + 2; k + 3. Сравним произведения k · (k + 3) и (k + 1)(k + 2). Составим разность этих выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k² + 3k – k² – 2k – k – 2 = –2 k · (k +
+ 3) k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

№ 742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Коля	VК = 5 км/ч	tК = ч
П С
½ пути ½ пути
Миша
	t = ч	tМ = ч
	VМ = 5,5 км/ч	VМ = 4,5 км/ч

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность t_К – t_М =

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Дайте определение числового неравенства.

– Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

– Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: 1. Новый учебник: №№ 735 , № 736, № 745(а)

2. Старый учебник: №№ 721,722,728(а)

У р о к 67
ТЕМА: свойства числовых неравенств

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач, развивать логическое мышление, память , внимание, воспитывать усидчивость , аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа:

а) и ; в) и ;

б) 0,4 и ; г) и –0,75.

2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 1547 ∙ и 1547 ∙ ; в) 289 ∙ 17 и 289 : ;

б) 2187 : и 2187 ∙ ; г) 156,4 : 0,2 и 156,4 · 0,2.

3. Сравните выражения:

а) а² + 25 и 10а; б) b² + 5 и 2b + 3.

III. Объяснение нового материала.( работа проецирутся на экран через мультимедийный пректор)

1. «Открытие» свойств числовых неравенств.

На этом этапе можно организовать работу учащихся в группах (лабораторная работа).

1-я г р у п п а – арифметический блок.

З а д а н и е 1. Сравните числа:

а) 5,1 и 2,5; 2,5 и 5,1;

б) – 3 и 2; 2 и –3;

в) 1,05 и 1,005; 1,005 и 1,05.

В ы в о д:

Если а b, то b … а.

Если а b, то b … а.

З а д а н и е 2. Сравните числа:

а) 2,3 и 7,6; 7,6 и 8,7; 2,3 и 8,7;

б) –1,5 и –1,25; –1,25 и –1; – 1,5 и –1;

в) –0,7 и 2; 2 и 2,1; –0,7 и 2,1.

В ы в о д:

Если а b и b с, то а … с.

З а д а н и е 3. Сравните:

а) 2,3 и 3,6; 2,3 + 2 и 3,6 + 2;

б) 1,6 и 2,07; 1,6 – 11 и 2,07 – 11;

в) –4 и –3; –4 + и –3 + .

В ы в о д:

Если а b, то а + с … b + с.

З а д а н и е 4. Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ 3 и 12,1 ∙ 3;

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ 1,1 и 1 ∙ 1,1;

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ 10 и 0,001 ∙ 10.

В ы в о д:

Если а b и с 0, то ab … bc.

Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ (–3) и 12,1 ∙ (–3);

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ (–1,1) и 1 ∙ (–1,1);

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ (–10) и 0,001 ∙ (–10).

В ы в о д:

Если а b и с ab … bc.

2-я г р у п п а – геометрический блок.

З а д а н и е 1. Если а правее b, то b … а (а b, то b … а).

З а д а н и е 2. Если а левее b и b левее с, то а … с.

З а д а н и е 3. Если а левее b и с – любое число, то а + с … b + c.

З а д а н и е 4. Если а левее b и с – положительное число, то ас … bc.

Используя рисунок, заполните пропуски так, чтобы получились верные утверждения.

Так как 2

Так как 2

3-я г р у п п а – практический блок.

З а д а н и е 1. Если а тяжелее b, то b … а (а b, то b … а).

З а д а н и е 2. Если а легче b и b легче с, то а … с.

З а д а н и е 3. Если а легче b и с – любое число, то а + с … b + c.

З а д а н и е 4. Если а легче b и с – положительное число, то ас … bc.

2. Формулировка и доказательство теорем, выражающих свойства числовых неравенств.

Разобрать доказательство четырёх теорем согласно пункту учебника.

3. Прочитать правило (формулировка теоремы 4) на с. 158 учебника. Обратить внимание на важность знания этой теоремы для решения неравенств с одной переменной.

4. Рассмотреть на конкретном примере следствие из теоремы 4 на с. 158.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 746, № 748.

Эти упражнения на применение теорем 1 и 2. При решении следует выполнять как построение координатной прямой с точками (геометрическая интерпретация), так и запись соответствующих числовых неравенств.

2. № 749 (а, в), № 750 (б, г), № 751 (а, в, е).

Р е ш е н и е

№ 749.

а) a – 3 b – 3; a – 3 + 3 b – 3 + 3; a b (по Т₃).

a b и b 4, то a 4 (по Т₂). Значит, a и b – положительные числа.

в) 7a 7b; 7a : 7 7b : 7; a b (по Т₄).

a b и b , то a (по Т₂). Значит, a и b – положительные числа.

№ 750.

б) 5 –3; 5 – 2 –3 – 2; 3 –5.

5 –3; 5 – 12 –3 – 12; –7 –15.

5 –3; 5 – (–5) –3 – (–5); 10 2.

г) 15 –6; 15 : 3 –6 : 3; 5 –2.

15 –6; 15 : (–3)

15 –6; 15 : (–1)

№ 751.

а) a b; a + 4 b + 4;

в) a b; 8a b;

е) a b; a : (–1) b : (–1); –a –b.

3. № 752 (устно), № 753 (устно).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– Если к обеим частям верного неравенства прибавить отрицательное число, то получится ли верное неравенство?

– Можно ли обе части верного неравенства домножить на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство? Какое ещё условие необходимо соблюсти?

– Если a b и b 4. Можно ли утверждать, что a 4?

Домашнее задание: 1 Новый учебник: № №747, 749, 751 .

2. Старый учебник: № №730, 732,734.

У р о к 68
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: закрепить знание теорем, выражающих основные свойства числовых неравенств; формировать умение применять изученные свойства при оценке значения выражения, развивать логическое мышление, внимание, воспитывать культуру речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. Для каждой теоремы приведите примеры.

2. На основании какого свойства можно утверждать, что если x y, то:

а) x + 20 y + 20; б) x – 20 y; в) y x;

г) x y; д) –3x –3y; е) .

3. Каков знак числа а, если:

а) 7a 2a; б) –5a a; в) 5a a.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная, что b a, c a и d b, сравните числа a и d; b и c.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 5 b + 5 и b 0,5; б) –12a –12b и b

В а р и а н т 2

1. Известно, что d b, c a и b a. Расположите числа a, b, c, d в порядке возрастания.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 1,2 b + 1,2 и b 3; б) –4a b и b 1.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 754 устно.

2. № 755.

Р е ш е н и е

a, b, c, d – положительные числа, значит, если:

1) a b, то ;

2) d b, то ;

3) c a, то .

Имеем: .

О т в е т: .

3. Известно, что a b. Расположите в порядке возрастания числа:
a + 2; b – 8; a + 11; b; b – 6; a.

Р е ш е н и е

a + 2 a, так как a + 2 – а = 2 0;

a + 11 a + 2, так как a + 11 – (a + 2) = a + 11 – а – 2 = 9 0;

b – 6 b, так как b – 6 – b = –6

b – 8 b – 6, так как b – 8 – (b – 6) = b – 8 – b + 6 = –2

Имеем: a + 11 a + 2; a + 2 a; a b; b b – 6; b – 6 b – 8.

О т в е т: b – 8; b – 6; b; а; a + 2; a + 11.

4. Перед выполнением следующих заданий следует напомнить учащимся, что неравенства одного знака a b и b c можно записать в виде двойного неравенства a b c.

Следует проанализировать, как можно преобразовать двойное числовое неравенство, используя свойства числовых неравенств. Особое внимание уделить видоизменению неравенства при умножении на отрицательное число («переворачиваем» неравенство).

Метод оценивания значения числового выражения следует разобрать на примере со с. 158 учебника.

№ 757.

Р е ш е н и е

3 a

а) 3 ∙ 5 a ∙ 5 a

б) 3 ∙ (–1) a ∙ (–1) a

в) 3 + 2 a + 2 a + 2

г) 5 – а = –1 · а + 5, значит, –4 + 5 а + 5 a

д) 3 ∙ 0,2 а а + 3

№ 759.

Р е ш е н и е

1,4

а) 1,4 + 1 + 1 + 1

б) 1,4 – 1 – 1 – 1

в) 2 –= (–1) · + 2; 1,4 · (–1) (–1) · 1,5 · (–1);

–1,5 + 2

№ 762.

При выполнении этого упражнения используем следствие теоремы 4. Обращаем особое внимание учащихся, что утверждение справедливо только для положительных чисел.

Р е ш е н и е

а) 5 y , то есть .

б) 0,125 y y , значит, 8 4, то есть 4

5. № 761.

В этом упражнении демонстрируется практическое применение свойств числовых неравенств.

Р е ш е н и е

а) Пусть а см – сторона квадрата, тогда Р = 4а см – периметр квадрата.

5,1 ≤ а ≤ 5,2; 5,1 · 4 ≤ 4а ≤ 5,2 · 4; 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8.

б) Пусть Р см – периметр квадрата, тогда а = см – сторона квадрата.

15,6 ≤ Р ≤ 15,8; 15,6 : 4 ≤ ≤ 15,8 : 4; 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

О т в е т: а) 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8; б) 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

6. Данное упражнение более сложное по сравнению с предыдущим и носит развивающий характер.

Пусть а и b – отрицательные числа. Верно ли, что:

а) если a b, то а² b²;

б) если а² b², то а b?

Р е ш е н и е

а) Если a b, то а – b а и b – отрицательные числа, то (а + b) – отрицательное число, то есть а + b а + b), поменяв знак неравенства:

(а – b)(а + b) 0 · (а + b);

(а – b)(а + b) 0;

а² – b² 0, значит, а² b², то есть утверждение неверное.

б) а² b², значит, а² – b² а – b)(а + b) а + b). Получаем а – b 0; а b,то есть утверждение – неверное.

О т в е т: а) нет; б) нет.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– В каком случае целесообразно записать неравенства в виде одного двойного неравенства?

– Каким образом используют основные свойства числовых неравенств при оценке значения выражения?

Домашнее задание.1.Новый учебник: № № 758, 760, 761.

2.Старый учебник:№ № 751, 753,755