"Степень (валентность) вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин. Цепь и цикл."

Предмет: Вероятность и статистика
Класс: 7 Дата 19.03.2026
Тема урока: Степень (валентность) вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин. Цепь и цикл.
Тип урока: Урок открытия нового знания
Продолжительность: 45 минут

Цели урока:

1. Предметные: ввести понятия степени вершины, цепи и цикла в графе; установить взаимосвязь между числом рёбер и суммой степеней всех вершин.

2. Метапредметные: развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы.

3. Личностные: формировать интерес к изучению структур данных через практические задачи, воспитывать внимательность и аккуратность.

Оборудование и материалы:

• Презентация (слайды с графами)

• Раздаточный материал: карточки с графами для работы в группах

• Цветные карандаши/фломастеры

• Верёвочки или нитки (для демонстрации цепи и цикла)

• Жетоны для поощрения активных учеников

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (2 минуты)

II. Актуализация опорных знаний (5 минут)

1. Взаимопроверка домашнего задания.

2. Разминка (слайд 1)

3. Игра «Найди граф»: слайд 2
   Учитель показывает изображения, ученики объясняют, где здесь вершины, а где рёбра.

III. Сообщение темы и цели урока слайд 3

IV Изучение нового материала (20 минут)

1. Степень вершины (валентность) — 7 минут

Учитель: Представьте, что вершины графа — это города, а рёбра — дороги между ними. В каждом городе есть указатели, показывающие, сколько дорог из него выходит. Это число называется степенью вершины.

На слайде появляется граф. слайд 4

Определение: Степень вершины — это количество рёбер, выходящих из данной вершины. Обозначается: deg(A) или d(A).

Практическое задание (устно):
Учитель показывает граф, ученики по цепочке называют степень каждой вершины.

Обратить внимание:

• Петля даёт вклад 2 в степень вершины (так как из вершины выходит ребро и в неё же возвращается).

• Вершина со степенью 0 называется изолированной.

• Вершина со степенью 1 называется висячей (или листом).

Пример из жизни: В социальной сети степень вершины — это количество друзей у человека.

2. Четные и нечетные вершины слайд 5

- Определить степень вершин,

- Определить чётные и нечетные вершины.

3. Связь между числом рёбер и суммой степеней — 6 минут

Учитель: А теперь — внимание! В стране Графов есть удивительный закон.

Проблемная ситуация: слайд 6
На доске простой граф (3 вершины, соединённые в треугольник). Ученики считают:

• Количество рёбер: 3

• Степени вершин: d(A)=2, d(B)=2, d(C)=2

• Сумма степеней: 2+2+2 = 6

Наблюдение: 6 = 2 × 3

Учитель: Попробуем другой граф (цепочка из 4 вершин). слайд 7

• Рёбра: 3

• Степени: 1, 2, 2, 1

• Сумма: 1+2+2+1 = 6 = 2 × 3

Вывод (ученики формулируют сами): Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер.

Учитель даёт строгую формулировку:

слайд 8

Лемма о рукопожатиях: Сумма степеней вершин любого графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.
Объяснение: Каждое ребро вносит вклад 2 в общую сумму степеней (по 1 в степень каждой из двух вершин, которые оно соединяет).

слайд 9

Следствие: В любом графе число вершин с нечётной степенью чётно.

Шутка: Если на вечеринке несколько человек пожали друг другу руки, то общее число пожатых рук чётно. А количество людей, пожавших руку нечётное число раз, тоже чётно.

3. Цепь и цикл — 7 минут

Учитель: Мы выяснили, как устроены вершины. Теперь научимся путешествовать по графу.

Демонстрация с верёвочкой:
Учитель берёт верёвку и показывает:

слайд 10

• Цепь — это последовательность рёбер, где можно пройти от одной вершины к другой, не возвращаясь назад. Как поезд в метро от одной станции до другой.
  Определение: Цепь — это маршрут по рёбрам графа, в котором каждое ребро используется не более одного раза, а вершины могут повторяться (простая цепь — вершины не повторяются).

• Цикл — это замкнутая цепь. Как кольцевая линия метро.
  Определение: Цикл — это цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают, и все рёбра различны.

1. Решение заданий

Найди, сколько рёбер в графе, суммарная степень вершин которого равна 54. (27)

Друзья Аркадий, Валентин, Дина, Максим, Катерина и Никита решили устроить турнир по бегу, где каждый с каждым пробежит расстояние 100 м. Турнир ещё не закончился, но ребята сделали схему в виде графа, где отметили, кто с кем пробежал. Кто из участников пробежал меньше всех?

Ответ: Катерина

IV. Закрепление материала. Практическая работа в группах (10 минут)

Класс делится на 4 группы. Каждая группа получает карточку с графом и заданиями.

Карточка 1:
Граф — пятиугольник с диагоналями.

1. Найдите степень каждой вершины.

2. Подсчитайте сумму степеней и количество рёбер. Проверьте лемму.

3. Найдите все циклы длины 3.

4. Есть ли цепь, проходящая через все вершины?

Карточка 2:
Граф — «звезда» (одна центральная вершина соединена с пятью периферийными).

1. Найдите степень центральной и периферийных вершин.

2. Почему такой граф называют «звезда»?

3. Сколько в нём рёбер? Сумма степеней?

4. Есть ли в этом графе циклы? Почему?

Карточка 3:
Граф — лесенка (две параллельные цепи, соединённые перемычками).

1. Найдите все висячие вершины.

2. Сколько рёбер нужно удалить, чтобы граф стал деревом?

3. Найдите самый длинный цикл.

Карточка 4:
Граф — домик (квадрат с крышей-треугольником).

1. Раскрасьте вершины: красным — степень 2, синим — степень 3.

2. Есть ли вершина степени 1? (Нет)

3. Сколько всего рёбер? Проверьте формулой.

По окончании работы представители групп выходят к доске и рассказывают о своих находках.

V. Итоги урока. Рефлексия (5 минут)

Блиц-опрос:

• Что такое степень вершины?

• Чему равна сумма степеней всех вершин графа с 10 рёбрами? (20)

• Может ли в графе быть ровно одна вершина с нечётной степенью? (Нет, по лемме их чётное количество)

• Чем отличается цепь от цикла?

Домашнее задание:

1. Придумать и построить граф (не меньше 5 вершин) и для него:

   • Посчитать степени всех вершин

   • Найти сумму степеней и сравнить с удвоенным числом рёбер

   • Найти в нём цепь и цикл (если есть)

2. Задача: В графе 7 вершин, сумма их степеней равна 18. Сколько в нём рёбер? (9)

Приложение: материалы для учителя

Ответы к задачам:

Карточка 1 (пятиугольник с диагоналями):

• Вершин: 5, каждая соединена с 4 другими (со всеми, кроме себя) → степень каждой = 4

• Сумма степеней = 20, рёбер = 10 (проверка: 10×2=20)

• Циклы длины 3: каждый треугольник (всего 5)

• Есть цепь, проходящая через все вершины (гамильтонова цепь)

Карточка 2 (звезда):

• Центр: степень 5, периферия: степень 1 у каждой

• Сумма степеней = 5 + 5×1 = 10, рёбер = 5 (проверка: 5×2=10)

• Циклов нет — это дерево

Карточка 3 (лесенка):

• Висячие вершины: 4 (крайние сверху и снизу)

• Чтобы стало деревом, нужно удалить 1 ребро (перемычку)

• Самый длинный цикл: весь граф (например, обойти по периметру)

Карточка 4 (домик):

• Вершины степени 2: 2 штуки (основание квадрата)

• Вершины степени 3: 3 штуки (верхушка и углы крыши)

• Рёбер: 8 (Сумма: 2+4+4+3+3=16, что равно 2×8=16. Всё верно.