Справочный материал к уроку геометрии по теме "Четыре замечательные точки треугольника" (8 класс)

Справочный материал к уроку геометрии по теме “Четыре замечательные точки треугольника» (8 класс)

Подготовила Джура Е.Н. ,

учитель математики МБОУ «СОШ №8»

г.Ханты-Мансийска

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема 2. ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис

Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

AN, BM — биссектрисы, O — точка их пересечения.

Является ли биссектрисой CK? Если точка O равноудалена от сторон AB и AC и от сторон BA и BC, то она лежит на биссектрисе угла ∡C, так как равноудалена от сторон угла.

Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.

Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Теорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Допустим, точка O — точка пересечения двух серединных перпендикулярах сторон AB и BC. Она равноудалена от точек A и B, и от точек B и C. Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны AC, так как равноудалена от её конечных точек.

Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника

Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В 1765 году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.

В двадцатых годах XIX века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.