Способи розв`язування систем показникових рівнянь

Готуємось до

зовнішнього незалежного оцінювання

Способи

розв`язування систем показникових рівнянь.

План заняття.

І. Основні теоретичні відомості:

- основні властивості показникової функції;

- основні способи розв`язування систем

показникових рівнянь.

ІІ. Розв`язування систем показникових рівнянь

способом підстановки.

ІІІ. Розв`язування систем показникових рівнянь

способом заміни змінних.

ІV. Розв`язування систем показникових рівнянь

способом множення та ділення рівнянь системи.

V. Розв`язування систем показникових рівнянь

способом логарифмування.

VІ. Розв`язування систем показникових рівнянь

способом піднесення до певного степеня

кожного з рівнянь системи.

І. Основні властивості показникової функції:

1. Область визначення функції – множина R всіх дійсних чисел.

2. Область значень функції – множина R₊ всіх додатних чисел: а^х 0 для будь-якого дійсного значення х.

3. При а 1 функція зростає, тобто якщо х₁ x₂, то . При 0 a функція спадає, тобто якщо х₁ x₂, то .

4. Якщо , то х₁ = х₂.

5. 

6. а^о = 1.

7. 

8. (а^х)^у = а^ху.

При розв’язуванні систем показникових рівнянь застосовують ті самі способи, що й при розв’язуванні систем алгебраїчних рівнянь, але в багатьох випадках перш ніж застосувати той чи інший спосіб розв’язування систем, потрібно перетворити кожне рівняння системи до більш простого вигляду.

Основними способами розв’язування систем показникових рівнянь є:

1. Спосіб підстановки.

2. Спосіб заміни змінних.

3. Спосіб почленного множення та ділення рівнянь системи.

4. Спосіб логарифмування.

5. Спосіб піднесення до певного степеня кожного з рівнянь системи.

ІІ. Розв’язування систем показникових рівнянь способом підстановки.

Розв’язання

Область визначення: х + у 0.

З першого рівняння знайдемо, що х + у = 2^{х – у}, і підставимо в друге рівняння. Тоді

Розв’язком даної системи будуть розв’язки сукупності систем:

і

Відповідь:

Розв’язання

Виразимо з другого рівняння х через у і підставимо в перше рівняння системи: . Тоді

у = 4, х = 5 – 4 = 1.Відповідь: (1; 4).

ІІІ. Розв’язування систем показникових рівнянь способом заміни змінних.

Розв’язування

Нехай 25^х = u, а 25^у = v. Отримаємо систему рівнянь:

Але u = 25^x, v = 25^y. Отже, u 0, v 0, тобто цю умову задовольняють два перших розв’язки. Таким чином, система зводиться до розв’язування сукупності систем рівнянь:

Відповідь:

ІV. Розв’язування системи показникових рівнянь способом множення та ділення рівнянь системи.

Розв’язування

Помножимо та поділимо почленно рівняння системи. Отримаємо

Відповідь: (2; 1).

V. Розв’язування системи показникових рівнянь способом логарифмування.

Розв’язання

Прологарифмуємо кожне з рівнянь системи за основою 5. Дістанемо:

Відповідь:

Розв’язування

Прологарифмуємо перше з рівнянь системи за основою 10. Дістанемо:

Здобута система рівносильна сукупності двох систем:

Відповідь: (-3; 9), (-4; 10), (5; 1).

VІ. Розв’язування системи показникових рівнянь способом піднесення до певного степеня кожного з рівнянь системи.

Розв’язування

Перше рівняння підносимо до квадрату, друге – до степеня х.

Розглянемо всі можливі випадки:

1. х = 0, у = 0 – рівняння не має змісту;

2. х = 1, у = 1 (з другого рівняння);

3. х = -1; у = -1 (з першого рівняння);

1. х⁴ = (2х)² х² = 4,

х₁ = 2, у₁ = 4,

х₂ = -2, у₂ = -4.

Відповідь: (1; 1), (-1; -1), (2; 4), (-2; -4).

Група А.

1. Знайти суму х + у, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 2. Відповідь: 5. Відповідь: 17.

х, у – натуральні числа Відповідь: 5. Відповідь: 3,5.

Відповідь: 3.

Відповідь: - 2. Відповідь: 5.

2. Знайти найбільше значення добутку ху, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 9. Відповідь: 42.

3. Знайти значення добутку ху, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 2. Відповідь: 20.

Відповідь: 2. Відповідь: 3.

Відповідь: 6. Відповідь: 2.

Група Б.

1. Знайти найбільше значення суми х + у, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 9. Відповідь: 3.

2. Знайти суму х + у, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 3. Відповідь: 3.

Відповідь: 7. Відповідь: 3.

3. Знайти добуток ху, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 6. Відповідь:

Відповідь: - 465.

4. Знайти значення суми х + у з проміжку [90^o, 180^o], якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 120^о.

Група В.

1. Знайти добуток ху, якщо пара (х; у)є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 0,5. Відповідь: 12. Відповідь: 4.

Відповідь: . Відповідь: 0. Відповідь: 0.

Відповідь: - 9. Відповідь: .

2. Знайти найменше значення добутку ху, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: - 3,584. Відповідь: - 1,6. Відповідь: - 448.

Відповідь: 6. Відповідь: . Відповідь: - 5.

3. Знайти найменше значення суми х + у з проміжку [0^o, 180^o], якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 30^о.

4. Знайти найменше значення суми х + у, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 6.

5. Знайти суму х + у, якщо пара (х; у) є розв’язком системи рівнянь:

Відповідь: 4. Відповідь: 61.

Відповідь: 6. Відповідь: 2.

Відповідь: 25. Відповідь: 6.

Список використаної літератури

1. Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту / Г.М. Литвиненко, Л.Я. Федченко, В.О. Швець. – Х.: ББН, 1999.

1. Збірник задач з математики для вступників до втузів / За ред. М.І.Сканаві. – Мінськ: Найвищ. шк., 1990.

1. Збірник конкурсних задач з математики для абітурієнтів / В.М.Говоров, П.Т. Дибов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова. – 3-е вид., випр. і доп. – М.: ТОВ «Видавничий дім «ОНІКС 21 ст.»: ТОВ «Видавництво «Мир і Освіта», 2003.

1. Конкурсні завдання вступних іспитів з математики: Навч. посібник / За ред. Макаренко О.І. – К.: КНЕУ, 2004.

1. Практикум з елементарної математики: Алгебра. Тригонометрія / Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. – 2-е вид., перероб. і доп. – М.: Просвіта, 1991.

1. Система тренувальних задач і вправ з математики / А.Я. Симонов, Д.С.Бакаєв, А.Г. Епельман. – М.: Просвіта, 1991.

1. Тестові завдання з математики: алгебра та початки аналізу / Мазур К.І., Мазур О.К., Ясінський В.В. – К.: Фенікс, 2001.