kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Смотр знаний по алгебре и началам математического анализа в 10 классе "ТРИГОНОМЕТРИЯ: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА".

Нажмите, чтобы узнать подробности

Смотр знаний по алгебре и началам математического анализа в 10 классе  "Тригонометрия: преобразование выражений, уравнения и неравенства".  

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«История развития тригонометрии (лекция)»

СТРУКТУРА ШКОЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ

История тригонометрии как науки

Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры при­вели к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур по известным значениям других их эле­ментов, найденных путем непосредственных измерений. Само на­звание «тригонометрия» греческого происхождения, обозначаю­щее «измерение треугольников»: (тригонон) — треуголь­ник, (метрейн) — измерение.

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказы­вать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установи­лись понятия синуса, косинуса и тангенса угла. По существу, ими оперировали еще древние математики, рассматривая отношение отрезков в треугольниках и окружностях.

Накопившийся материал астрономических наблюдений потре­бовал математической обработки. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н.э. Гиппарх является автором первых триго­нометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинение «Великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во второй половине II в. н.э. В этих табли­цах, в течение многих веков служивших средством для решения треугольников, давались значения хорд окружности для различ­ных значений соответствующего центрального угла. Единицей измерения хорд служила часть радиуса.

Эти таблицы, говоря современным языком, являются таблица­ми значений удвоенного синуса половины соответствующего цен­трального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые полградуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в само­стоятельную науку, а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийс­кой математикой в период V-ХП вв. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», что буквально означало «половина тетивы лука». Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что для синуса и косинуса 3°45' были вычислены значе-

ния и , отличающиеся от истинных менее чем на 10 -8.

Индийским математикам были известны соотношения, кото­рые в современных обозначениях пишутся так:

sin2 x + cos2 x = 1; cos = sin (900 - )

В XI –ХIII вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавка­зья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригоно­метрии как отдельной науки. И в дальнейшем потребности гео­графии, геодезии, военного дела способствовали развитию триго­нометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азер­байджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Боль­шая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной на­уки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехугольнике». Работы ученых этого периода привели к вы­делению тригонометрии как нового самостоятельного раздела ма­тематики. Однако в их трудах еще не было необходимой символи­ки, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоган Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. В нем дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Реги­омонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107вместо числа кратного 60, то есть, по сути, был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1595 г. появился труд Варфо­ломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий обзорный трак­тат о решении треугольников».

В ХV - ХVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали круп­нейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики по­зволило записывать тригонометрические соотношения в виде фор­мул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригоно­метрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометри­ческих функций как функций числового аргумента, основа ана­литической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения три­гонометрических функций с любой степенью точности, был раз­работан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа — величины тригонометрических линий в круге, ради­ус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, уста­новил несколько неизвестных до него формул, ввел единообраз­ные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются запи­си sin , cos , tg , ctg . Он также открыл связь между триго­нометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учеб­ники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последо­вательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завер­шение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развити­ем физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются раз­личные периодические процессы: колебательные движения, рас­пространение волн, движения механизмов, колебание переменно­го электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768-1830), вся­кое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармо­нических) колебаний. Если в начале развития тригонометрии со­отношение sin2 x + cos2 x = 1 лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного пря­моугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последую­щем это соотношение стало отражать также сложение двух коле­бательных движений с происходящей при этом интерференцией.

Таким образом, на первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных гео­метрических задач. Ее содержанием считалось вычисление эле­ментов простейших геометрических фигур, то есть треугольни­ков. Но в современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физи­ки звуковых, световых и электромагнитных волн.

В этот период даны обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения для sin (1+2.+ …+ n), tg n, где n - натуральное число, и др. Функции sin x и cos x рас­сматриваются теперь как суммы степенных рядов:

sin x = x - +

cos x = 1 - + …


Одновременно развивается учение о тригонометрических фун­кциях комплексного переменного.

Просмотр содержимого презентации
«Вопросы»

Дать определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике Знаки косинуса по четвертям  Основная тригонометрическая единица Формула синуса двойного угла Формулы суммы и разности синусов Формулы косинуса суммы и разности двух углов Дайте определение арксинуса числа а Дайте определение арккотангенса числа а Формулы приведения для косинуса Формула косинуса половинного угла Определение функции у = cosх.  Свойства. Общий вид решений уравнения  sin х = а. Частные случаи:  sin х = 0; sin х = -1; sin х = 1.

Дать определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике

Знаки косинуса по четвертям

Основная тригонометрическая единица

Формула синуса двойного угла

Формулы суммы и разности синусов

Формулы косинуса суммы и разности двух углов

Дайте определение арксинуса числа а

Дайте определение арккотангенса числа а

Формулы приведения для косинуса

Формула косинуса половинного угла

Определение функции у = cosх. Свойства.

Общий вид решений уравнения sin х = а.

Частные случаи: sin х = 0; sin х = -1; sin х = 1.

Дать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике Знаки синуса по четвертям Чему рано произведение tgx  на ctgx Формула косинуса двойного угла Формулы суммы и разности косинусов Формулы синуса суммы и разности двух углов Дайте определение арккосинуса числа а Формулы приведения для синуса Формула синуса половинного угла Определение функции у = sin х. Свойства. Общий вид решений уравнения cosх = а. Частные случаи: cosх = 0; cosх = -1; cosх = 1.

Дать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике

Знаки синуса по четвертям

Чему рано произведение tgx на ctgx

Формула косинуса двойного угла

Формулы суммы и разности косинусов

Формулы синуса суммы и разности двух углов

Дайте определение арккосинуса числа а

Формулы приведения для синуса

Формула синуса половинного угла

Определение функции у = sin х. Свойства.

Общий вид решений уравнения cosх = а.

Частные случаи: cosх = 0; cosх = -1; cosх = 1.

Просмотр содержимого презентации
«Справочный материал»

Соотношение между градусной и радианной мерами угла

Соотношение между градусной и радианной мерами угла

Соотношения между функциями одного аргумента

Соотношения между функциями одного аргумента

Значения тригонометрических функций  α sinα 0 0 cosα tgα Функция 1 0 ctgα - 1 1 0 1 - 0 0 -1 -1 -1 0 -

Значения тригонометрических функций

α

sinα

0

0

cosα

tgα

Функция

1

0

ctgα

-

1

1

0

1

-

0

0

-1

-1

-1

0

-

Функции двойного и тройного аргументов

Функции двойного и тройного аргументов

Формулы сложения

Формулы сложения

Формулы приведения sinα cosα -sinα cosα sinα tgα -tgα -cosα -sinα ctgα -cosα -tgα -ctgα cosα -ctgα tgα sinα cosα ctgα ctgα -sinα -cosα -ctgα -cosα sinα tgα ctgα -tgα -sinα tgα -ctgα -tgα

Формулы приведения

sinα

cosα

-sinα

cosα

sinα

tgα

-tgα

-cosα

-sinα

ctgα

-cosα

-tgα

-ctgα

cosα

-ctgα

tgα

sinα

cosα

ctgα

ctgα

-sinα

-cosα

-ctgα

-cosα

sinα

tgα

ctgα

-tgα

-sinα

tgα

-ctgα

-tgα

Функции половинного аргумента

Функции половинного аргумента

Формулы суммы и разности одноимённых функций

Формулы суммы и разности одноимённых функций

Формулы преобразования произведения в сумму

Формулы преобразования произведения в сумму

Числовая окружность П/2 B п/4 2 1 3п/4 0 П C A O 4 3 5п/4 7п/4 3П/2 D

Числовая окружность

П/2

B

п/4

2

1

3п/4

0

П

C

A

O

4

3

5п/4

7п/4

3П/2

D


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Автор: Чернышова Виктория Евгеньевна

Дата: 07.12.2016

Номер свидетельства: 366990


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1850 руб.
2640 руб.
1450 руб.
2070 руб.
1360 руб.
1940 руб.
1460 руб.
2090 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства