Система занятий по решению задач с экономическим содержанием в контексте подготовки к ЕГЭ по математике

Занятие 1. «Простейшие задачи на проценты».

Теоретический аспект

Процент – сотая доля (часть) целого.

Пусть число а составляет к % от числа в. Алгебраически это можно записать так

Последняя запись удобна тем, что одного взгляда достаточно для того, чтобы сказать, какой процент от числа в составляет число а.

Например из записи а = 0,61в сразу видно, что число а составляет 61% от числа в.

Практические задачи

Задача 1. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу №1. Сколько человек правильно решили задачу №1?

Решение:

1 способ Примем 27500 выпускников за 100%. Составим пропорцию

2 способ

Задача 2. Призерами городской олимпиады по математике стали 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение:

1 способ Примем количество участников за 100%. Составим пропорцию

2 способ

Задача 3. Число мальчиков в школе составляет 40% от общего числа учащихся. Каково процентное отношение числа девочек к числу мальчиков?

Решение:

Примем количество учеников за а, тогда 0,4а – мальчики, 0,6а – девочки Составим отношение

Задача 4. Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,16% страховой сумы при скидке 30% для постоянных клиентов. Определить величину страхового платежа для повторного страхования дачного домика на сумму 20 000 рублей?

Решение:

Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Так как прибавление зарплаты мужа увеличивает общий доход семьи на 67%, то зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи. Так как уменьшение стипендии дочери втрое соответствует уменьшению общего дохода семьи на 4%, то 2/3 стипендии дочери составляют 4% общего дохода семьи, вся стипендия дочери составляет 6% общего дохода. На долю зарплаты жены приходится 100% - 67% - -6% = 27%

Занятие 2. «Решение задач на проценты».

Теоретический аспект

Процент – сотая доля (часть) целого.

Пусть число а составляет к % от числа в. Алгебраически это можно записать так

Последняя запись удобна тем, что одного взгляда достаточно для того, чтобы сказать, какой процент от числа в составляет число а.

Например из записи а = 0,61в сразу видно, что число а составляет 61% от числа в.

Практические задачи

Задача 1. Товар подорожал на 30%, а затем подешевел на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение:

Примем первоначальную цену товара за х, тогда 1,3х – новая цена (после подорожания на 30%), 0,7*1,3х = 0,91х – новая цена (после удешевления).

Задача 2. На первом заседании парламента присутствовало 40% от списочного состава депутатов, на втором – 55%. Сколько процентов депутатов присутствовало на обоих заседаниях?

Решение:

В этой задаче нельзя дать определенный ответ. Если все присутствующие на первом заседании были и на втором, то на двух заседаниях было 40% депутатов. Если же никто из посетивших первое заседание не пришел на второе, то на двух заседаниях было 0% депутатов. Понятно, что пересечением этих групп может быть любое целое число депутатов от 0% до 40%.

Задача 3. Сколько нужно взять сливок жирностью 36% и жирностью 18%, чтобы получить 90 кг сливок с содержанием 30% жира?

Решение:

Примем количество сливок с жирностью 36% за х, а с жирностью 18% - за y. Тогда

Задача 4. Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена товара?

Решение:

Примем первоначальную цену товара за х, тогда 1,1х – новая цена (после подорожания на 10%), 1,2*1,1х = 1,32х – новая цена (после подорожания на 20%).

Задача 5. В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе?

Решение:

Процентное содержание соли в растворе: Процентное содержание сахара в растворе:

Дополнительные задачи (домашнее задание):

1. В бутылку с 20 г 72%-й уксусной эссенции добавили 140 г воды. Каково процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе?

2. Магазин продал одному покупателю 25% полотна, второму – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?

3. В одном городе Канады 70% жителей знают французский и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей знают оба языка?

Занятие 3. «Процентное изменение величины».

Теоретический аспект

Пусть некоторая величина А, меняющаяся со временем, имеет в начальный момент значение А₀, а через промежуток времени А₁.

Если значение А₁ больше (меньше) значения А₀ на р%, то можно составить пропорцию:

Из этого равенства можно выразить любую из переменных, в частности

Величину р называют процентным «приростом» величины А.

Практические задачи

Задача 1. В сентябре 1кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1кг слив после подорожания в октябре?

Решение:

1 способ Примем первоначальную цену 60 руб за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение:

1 способ Примем заработную плату х рублей за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 3. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение:

1 способ Примем цену футболки 800руб. за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 4. Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение:

1 способ

2 способ Применим формулу

В некоторых задачах величины связаны формулой и ставится вопрос, как процентное изменение одних величин влияет на процентное изменение других величин.

Задача 5. За некоторый период времени количество акций Иванова увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций Иванова, если цена каждой акции увеличилась на 20%?

Решение:

	Цена одной акции	Количество акций	Общая стоимость
Было	S0	n	S0n
Стало	1,2 S0	1,15n	1,38 S0n

Общая стоимость акций увеличилась в 1,38 раз, т.е на 38%.

Ответ: 38%.

Задача 6. Производительность труда рабочего при выполнении определенной работы увеличилась на 25%. На сколько процентов сократилось время для выполнения этой работы?

Решение:

	Работа	Производительность	Время
Было	А	N
Стало	А	1,25N

Новое время работы составило 80% от старого времени, т.е. сократилось на 20%.

Ответ: 20%.

Занятие 4. «Формула простых процентов».

Теоретический аспект

Если величина А через равные промежутки времени t₁ имеет процентный прирост р только на первоначальное значение А₀, то в момент времени t_n = nt₁ ее значение A_n будет равно.

Формулу простых процентов используют, например, для начисления штрафов. Также удобно применять начисление простых процентов тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета проценты, начисленные за этот год.

Практические задачи

Задача 1. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 рублей. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько денег придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение:

Применим формулу

Задача 2. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг 94500 рублей?

Решение:

Применим формулу

Задача 3. Сколько лет лежал в банке вклад 70 000 рублей, если по ставке 19,2% годовых простых процентов он достиг величины 150 640 рублей?

Решение:

Применим формулу

Задача 4. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей?

Решение:

Применим формулу

Занятие 5. «Формула сложных процентов».

Теоретический аспект

Если величина А через равные промежутки времени t₁ имеет процентный прирост р, и процент начисляется на измененную величину, то в момент времени t_n = nt₁ ее значение A_n будет равно.

Практические задачи

Задача 1. Один из видов срочных вкладов предусматривает начисление 9% прибыли через год хранения денег в банке. Если спустя этот срок счет не закрывается, то договор автоматически продлевается на тех же условиях (пролонгируется). Какая сумма будет на счете через три года при первоначальном вкладе 17 000 рублей? Результат округлите до десятых.

Решение:

Применим формулу

Задача 2. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определить, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена, если холодильник, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рубля.

Решение:

Применим формулу

Задача 3. Начальный капитал акционерного общества составляет 15 млн рублей. Ежегодно капитал увеличивался на 25%. Найти минимальное количество лет, после котрых капитал акционерного общества превысит 45 млн рублей.

Решение:

Применим формулу

Задача 4. Клиент А сделал вклад в банк в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. еще ровно через год клиенты А и Б закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А получил на 682 рубля больше клиента Б. какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение:

Применим формулу

	Через год	Через 2 года
Клиент А	6200(1+х)	6200(1+х)2
Клиент Б	-	6200(1+х)

Составим уравнение

6200(1+х)² - 6200(1+х) = 682

100(1+х)² - 100(1+х) – 11 = 0

х = 0,1

0,1*100% = 10%

Ответ: 10%.

Занятие 6. «Кредиты».

Теоретический аспект

Кредит – это финансовая сделка, в результате которой кредитор предоставляет на определенный срок деньги заемщику. За пользование деньгами заемщик, кроме погашения основного долга, выплачивает проценты. Разделение погашающих платежей на две части, отвечающие за погашение долга и погашение процентных денег, принципиально важно, поскольку от этого зависят уплачиваемые налоги

Рассмотри две схемы погашения кредитов:

• дифференцированная – разными платежами, убывающими в арифметической прогрессии;

• аннуитетная – равными платежами.

При дифференцированной схеме ежемесячный платеж включает в себя постоянную сумму для погашения основного долга по кредиту к которому прибавляются проценты на оставшуюся часть долга. При этом регулярные платежи оказываются различными. Методика расчета платежей в этом случае базируется на использовании арифметической прогрессии. Процентный платеж за пользование кредитом обычно вычисляется «вперед»: для первого месяца процентный платеж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий месяц – на остаток долга, т.е. величину долга, уменьшенную на уже выплаченную часть.

Если К – величина кредита,

m – число одинаковых месячных выплат,

p – годовая процентная ставка, то

платеж в первом месяце составит

во втором:

в третьем:

в m–ом месяце:

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом равна сумме всех процентных платежей:

Аннуитетная схема: сумма ежемесячного платежа фиксируется на весь срок кредитования.

Если S – величина кредита,

n – число лет,

p – годовая процентная ставка,

x - ежегодный платеж по кредиту, то

полная выплата по кредиту составит Х = nx рублей.

Найдем х и Х для n = 3.

Ежегодное начисление р% на остаток долга соответствует умножению на коэффициент q = 1+0,01р.

После первой выплаты сумма долга составит:

После второй:

После третьей:

Если n = 3, то S₃ = 0. Тогда полная выплата по кредиту составит

Практические задачи

Задача 1. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 8 420 000 рублей в кредит под 10,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

По условию двумя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, значит

При S = 8 420 000, a = 10,5 получаем

b = 1,105

X = 4 884 100

Ответ: 4 884 100 рублей.

Задача 2. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

Сумма долга после третьей выплаты:

Сумма долга после четвертой выплаты:

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, значит

При S = 9 282 000, a = 10 получаем

b = 1,1

X = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей.

Задача 3. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– первый платеж,

Y – второй платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

По условию двумя выплатами Арсений должен погасить кредит полностью, значит

Ответ: 12%.

Задача 4. Матвей хочет взять в банке кредит 1,4 млн.рублей. Схема выплаты кредита следующая – раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тыс.рублей.?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

В последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Составим таблицу выплат.

Год	Долг банку (руб.)	Остаток после транша (руб.)
0	1 400 000	---
1	1 540 000	1 220 000
2	1 342 000	1 022 000
3	1 124 200	804 200
4	884 620	564 620
5	621 082	301 082
6	331 190,2	11 190,2
7	12 309,22	0

Ответ: 7 лет.

Задача 5. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х, Y – ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

Сумма долга после третьей выплаты:

По условию тремя выплатами Тимофей должен погасить кредит полностью, значит

Аналогично, находи, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными платежами, то каждый год он должен был бы выплачивать

Значит, он отдал банку на 3Х – 2Y рублей больше.

При S = 7 007 000, a = 20 получаем

b = 1,2

X = 3 326 400

Y = 4 586 400

3Х – 2Y = 806 400

Ответ: 806 400 рублей.

Дополнительные задачи:

1. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды в размере 1 000 000 рублей сроком на 1 год. Банк выделил ссуду с годовой процентной ставкой в 20% при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк? (Ответ: 1 200 000, 200 000 рублей)

2. Клиент взял в банке кредит 18 000 рублей на год под 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? (Ответ: 1710 рублей)

3. 20 декабря 2014 года Сергей взял в банке 800 000 рублей в кредит. План выплаты кредита: 20 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга, затем Сергей переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Сергей может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 360 000 рублей? (Ответ: 3 месяца)

4. Клиент взял 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении к5аждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ: 8 788 000 рублей)

5. 25 ноября 2013 года Иван взял в банке 2 млн. рублей в кредит. План выплаты кредита: 25 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на х%, а затем Иван переводит очередной транш. Иван выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 1 210 000 рублей, а во второй – 1 219 800 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Ивану? (Ответ: 14%)

6. Банк выдал заемщику кредит в размере 30 000 рублей, ежегодная выплата по кредиту составляет 10 000 рублей (последний платеж может отличаться от остальных в меньшую сторону), процентная ставка – 20% годовых. Через сколько лет кредит будет погашен? Сколько составит переплата? (Ответ: 5 лет, 18 528 рублей)

7. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергею выплатить долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ: 3 993 000 рублей)

8. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга, затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей.? (Ответ: 5 месяцев)

9. 31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)? (Ответ: 7 490 000 рублей)

10. 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество %), затем Антон выплатил кредит за два транша: в первый раз 510 тыс.рублей, во второй – 649 тыс.рублей. под какой процент банк выдал кредит Антону? (Ответ: 10%)

С 2015 года вариант ЕГЭ по математике в новом формате содержит новое задание высокого уровня, представляющее собой практико ориентированную задачу. Использование подобных задач в варианте предполагает проверку умения учащихся обращаться с целыми числами, т.е. умения использовать при решении таких задач элементов теории делимости целых чисел, действий со степенями с натуральным показателем, знания и умения обращаться с процентами, сложными банковскими процентами и долями.

Прежде чем переходить к решению задач такого вида необходимо напомнить теоретический материал и рассмотреть подготовительные задачи.

СОДЕРЖАНИЕ

• Занятие 1. «Простейшие задачи на проценты»

• Занятие 2. «Решение задач на проценты»

• Занятие 3. «Процентное изменение величины».

• Занятие 4. «Формула простых процентов»

• Занятие 5. «Формула сложных процентов»

• Занятие 6. «Кредиты»

Занятие 1. «Простейшие задачи на проценты».

Теоретический аспект

Процент – сотая доля (часть) целого.

Пусть число а составляет к % от числа в. Алгебраически это можно записать так

Последняя запись удобна тем, что одного взгляда достаточно для того, чтобы сказать, какой процент от числа в составляет число а.

Например из записи а = 0,61в сразу видно, что число а составляет 61% от числа в.

Практические задачи

Задача 1. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу №1. Сколько человек правильно решили задачу №1?

Решение:

1 способ Примем 27500 выпускников за 100%. Составим пропорцию

2 способ

Задача 2. Призерами городской олимпиады по математике стали 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение:

1 способ Примем количество участников за 100%. Составим пропорцию

2 способ

Задача 3. Число мальчиков в школе составляет 40% от общего числа учащихся. Каково процентное отношение числа девочек к числу мальчиков?

Решение:

Примем количество учеников за а, тогда 0,4а – мальчики, 0,6а – девочки Составим отношение

Задача 4. Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,16% страховой сумы при скидке 30% для постоянных клиентов. Определить величину страхового платежа для повторного страхования дачного домика на сумму 20 000 рублей?

Решение:

Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Так как прибавление зарплаты мужа увеличивает общий доход семьи на 67%, то зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи. Так как уменьшение стипендии дочери втрое соответствует уменьшению общего дохода семьи на 4%, то 2/3 стипендии дочери составляют 4% общего дохода семьи, вся стипендия дочери составляет 6% общего дохода. На долю зарплаты жены приходится 100% - 67% - -6% = 27%

Занятие 2. «Решение задач на проценты».

Теоретический аспект

Процент – сотая доля (часть) целого.

Пусть число а составляет к % от числа в. Алгебраически это можно записать так

Последняя запись удобна тем, что одного взгляда достаточно для того, чтобы сказать, какой процент от числа в составляет число а.

Например из записи а = 0,61в сразу видно, что число а составляет 61% от числа в.

Практические задачи

Задача 1. Товар подорожал на 30%, а затем подешевел на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение:

Примем первоначальную цену товара за х, тогда 1,3х – новая цена (после подорожания на 30%), 0,7*1,3х = 0,91х – новая цена (после удешевления).

Задача 2. На первом заседании парламента присутствовало 40% от списочного состава депутатов, на втором – 55%. Сколько процентов депутатов присутствовало на обоих заседаниях?

Решение:

В этой задаче нельзя дать определенный ответ. Если все присутствующие на первом заседании были и на втором, то на двух заседаниях было 40% депутатов. Если же никто из посетивших первое заседание не пришел на второе, то на двух заседаниях было 0% депутатов. Понятно, что пересечением этих групп может быть любое целое число депутатов от 0% до 40%.

Задача 3. Сколько нужно взять сливок жирностью 36% и жирностью 18%, чтобы получить 90 кг сливок с содержанием 30% жира?

Решение:

Примем количество сливок с жирностью 36% за х, а с жирностью 18% - за y. Тогда

Задача 4. Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена товара?

Решение:

Примем первоначальную цену товара за х, тогда 1,1х – новая цена (после подорожания на 10%), 1,2*1,1х = 1,32х – новая цена (после подорожания на 20%).

Задача 5. В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе?

Решение:

Процентное содержание соли в растворе: Процентное содержание сахара в растворе:

Дополнительные задачи (домашнее задание):

1. В бутылку с 20 г 72%-й уксусной эссенции добавили 140 г воды. Каково процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе?

2. Магазин продал одному покупателю 25% полотна, второму – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?

3. В одном городе Канады 70% жителей знают французский и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей знают оба языка?

Занятие 3. «Процентное изменение величины».

Теоретический аспект

Пусть некоторая величина А, меняющаяся со временем, имеет в начальный момент значение А₀, а через промежуток времени А₁.

Если значение А₁ больше (меньше) значения А₀ на р%, то можно составить пропорцию:

Из этого равенства можно выразить любую из переменных, в частности

Величину р называют процентным «приростом» величины А.

Практические задачи

Задача 1. В сентябре 1кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1кг слив после подорожания в октябре?

Решение:

1 способ Примем первоначальную цену 60 руб за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение:

1 способ Примем заработную плату х рублей за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 3. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение:

1 способ Примем цену футболки 800руб. за 100%. Составим пропорцию

2 способ Применим формулу

Задача 4. Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение:

1 способ

2 способ Применим формулу

В некоторых задачах величины связаны формулой и ставится вопрос, как процентное изменение одних величин влияет на процентное изменение других величин.

Задача 5. За некоторый период времени количество акций Иванова увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций Иванова, если цена каждой акции увеличилась на 20%?

Решение:

	Цена одной акции	Количество акций	Общая стоимость
Было	S0	n	S0n
Стало	1,2 S0	1,15n	1,38 S0n

Общая стоимость акций увеличилась в 1,38 раз, т.е на 38%.

Ответ: 38%.

Задача 6. Производительность труда рабочего при выполнении определенной работы увеличилась на 25%. На сколько процентов сократилось время для выполнения этой работы?

Решение:

	Работа	Производительность	Время
Было	А	N
Стало	А	1,25N

Новое время работы составило 80% от старого времени, т.е. сократилось на 20%.

Ответ: 20%.

Занятие 4. «Формула простых процентов».

Теоретический аспект

Если величина А через равные промежутки времени t₁ имеет процентный прирост р только на первоначальное значение А₀, то в момент времени t_n = nt₁ ее значение A_n будет равно.

Формулу простых процентов используют, например, для начисления штрафов. Также удобно применять начисление простых процентов тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета проценты, начисленные за этот год.

Практические задачи

Задача 1. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 рублей. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько денег придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение:

Применим формулу

Задача 2. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг 94500 рублей?

Решение:

Применим формулу

Задача 3. Сколько лет лежал в банке вклад 70 000 рублей, если по ставке 19,2% годовых простых процентов он достиг величины 150 640 рублей?

Решение:

Применим формулу

Задача 4. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей?

Решение:

Применим формулу

Занятие 5. «Формула сложных процентов».

Теоретический аспект

Если величина А через равные промежутки времени t₁ имеет процентный прирост р, и процент начисляется на измененную величину, то в момент времени t_n = nt₁ ее значение A_n будет равно.

Практические задачи

Задача 1. Один из видов срочных вкладов предусматривает начисление 9% прибыли через год хранения денег в банке. Если спустя этот срок счет не закрывается, то договор автоматически продлевается на тех же условиях (пролонгируется). Какая сумма будет на счете через три года при первоначальном вкладе 17 000 рублей? Результат округлите до десятых.

Решение:

Применим формулу

Задача 2. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определить, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена, если холодильник, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рубля.

Решение:

Применим формулу

Задача 3. Начальный капитал акционерного общества составляет 15 млн рублей. Ежегодно капитал увеличивался на 25%. Найти минимальное количество лет, после котрых капитал акционерного общества превысит 45 млн рублей.

Решение:

Применим формулу

Задача 4. Клиент А сделал вклад в банк в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. еще ровно через год клиенты А и Б закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А получил на 682 рубля больше клиента Б. какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение:

Применим формулу

	Через год	Через 2 года
Клиент А	6200(1+х)	6200(1+х)2
Клиент Б	-	6200(1+х)

Составим уравнение

6200(1+х)² - 6200(1+х) = 682

100(1+х)² - 100(1+х) – 11 = 0

х = 0,1

0,1*100% = 10%

Ответ: 10%.

Занятие 6. «Кредиты».

Теоретический аспект

Кредит – это финансовая сделка, в результате которой кредитор предоставляет на определенный срок деньги заемщику. За пользование деньгами заемщик, кроме погашения основного долга, выплачивает проценты. Разделение погашающих платежей на две части, отвечающие за погашение долга и погашение процентных денег, принципиально важно, поскольку от этого зависят уплачиваемые налоги

Рассмотри две схемы погашения кредитов:

• дифференцированная – разными платежами, убывающими в арифметической прогрессии;

• аннуитетная – равными платежами.

При дифференцированной схеме ежемесячный платеж включает в себя постоянную сумму для погашения основного долга по кредиту к которому прибавляются проценты на оставшуюся часть долга. При этом регулярные платежи оказываются различными. Методика расчета платежей в этом случае базируется на использовании арифметической прогрессии. Процентный платеж за пользование кредитом обычно вычисляется «вперед»: для первого месяца процентный платеж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий месяц – на остаток долга, т.е. величину долга, уменьшенную на уже выплаченную часть.

Если К – величина кредита,

m – число одинаковых месячных выплат,

p – годовая процентная ставка, то

платеж в первом месяце составит

во втором:

в третьем:

в m–ом месяце:

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом равна сумме всех процентных платежей:

Аннуитетная схема: сумма ежемесячного платежа фиксируется на весь срок кредитования.

Если S – величина кредита,

n – число лет,

p – годовая процентная ставка,

x - ежегодный платеж по кредиту, то

полная выплата по кредиту составит Х = nx рублей.

Найдем х и Х для n = 3.

Ежегодное начисление р% на остаток долга соответствует умножению на коэффициент q = 1+0,01р.

После первой выплаты сумма долга составит:

После второй:

После третьей:

Если n = 3, то S₃ = 0. Тогда полная выплата по кредиту составит

Практические задачи

Задача 1. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 8 420 000 рублей в кредит под 10,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

По условию двумя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, значит

При S = 8 420 000, a = 10,5 получаем

b = 1,105

X = 4 884 100

Ответ: 4 884 100 рублей.

Задача 2. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

Сумма долга после третьей выплаты:

Сумма долга после четвертой выплаты:

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, значит

При S = 9 282 000, a = 10 получаем

b = 1,1

X = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей.

Задача 3. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– первый платеж,

Y – второй платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

По условию двумя выплатами Арсений должен погасить кредит полностью, значит

Ответ: 12%.

Задача 4. Матвей хочет взять в банке кредит 1,4 млн.рублей. Схема выплаты кредита следующая – раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тыс.рублей.?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х– ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

В последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Составим таблицу выплат.

Год	Долг банку (руб.)	Остаток после транша (руб.)
0	1 400 000	---
1	1 540 000	1 220 000
2	1 342 000	1 022 000
3	1 124 200	804 200
4	884 620	564 620
5	621 082	301 082
6	331 190,2	11 190,2
7	12 309,22	0

Ответ: 7 лет.

Задача 5. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

Х, Y – ежегодный платеж,

а% - годовые проценты.

31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a

Сумма долга после первой выплаты:

Сумма долга после второй выплаты:

Сумма долга после третьей выплаты:

По условию тремя выплатами Тимофей должен погасить кредит полностью, значит

Аналогично, находи, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными платежами, то каждый год он должен был бы выплачивать

Значит, он отдал банку на 3Х – 2Y рублей больше.

При S = 7 007 000, a = 20 получаем

b = 1,2

X = 3 326 400

Y = 4 586 400

3Х – 2Y = 806 400

Ответ: 806 400 рублей.

Дополнительные задачи:

1. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды в размере 1 000 000 рублей сроком на 1 год. Банк выделил ссуду с годовой процентной ставкой в 20% при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк? (Ответ: 1 200 000, 200 000 рублей)

2. Клиент взял в банке кредит 18 000 рублей на год под 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? (Ответ: 1710 рублей)

3. 20 декабря 2014 года Сергей взял в банке 800 000 рублей в кредит. План выплаты кредита: 20 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга, затем Сергей переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Сергей может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 360 000 рублей? (Ответ: 3 месяца)

4. Клиент взял 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении к5аждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ: 8 788 000 рублей)

5. 25 ноября 2013 года Иван взял в банке 2 млн. рублей в кредит. План выплаты кредита: 25 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на х%, а затем Иван переводит очередной транш. Иван выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 1 210 000 рублей, а во второй – 1 219 800 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Ивану? (Ответ: 14%)

6. Банк выдал заемщику кредит в размере 30 000 рублей, ежегодная выплата по кредиту составляет 10 000 рублей (последний платеж может отличаться от остальных в меньшую сторону), процентная ставка – 20% годовых. Через сколько лет кредит будет погашен? Сколько составит переплата? (Ответ: 5 лет, 18 528 рублей)

7. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергею выплатить долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ: 3 993 000 рублей)

8. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга, затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей.? (Ответ: 5 месяцев)

9. 31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивается долг на 14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)? (Ответ: 7 490 000 рублей)

10. 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество %), затем Антон выплатил кредит за два транша: в первый раз 510 тыс.рублей, во второй – 649 тыс.рублей. под какой процент банк выдал кредит Антону? (Ответ: 10%)

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

1. ФИО 2. Место работы 3. Должность 4. Предмет 5. Класс 6. Тема и номер урока в теме 7. Базовый учебник

Надежкина Ирина Геннадьевна МБОУ «Школа №126 с углубленным изучением английского языка», г. Н.Новгород учитель математики математика 5 (или курсовая подготовка 11 кл.) Решение задач на проценты (урок обобщения и систематизации) Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

8. Цель урока: совершенствование практических навыков решения основных задач на проценты и умение применять их при решении реальных жизненных задач.

9. Планируемые результаты:

предметные: уметь в процессе реальной ситуации использовать понятие процента и умения решать основные типы задач на проценты;

личностные: умение работать в парах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения;

метапредметные: уметь воспроизводить смысл понятия проценты; уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности.

10. Задачи:

образовательные (формирование познавательных УУД): обеспечить осознанное усвоение процентов при решении задач; закрепить навыки и умения применять алгоритмы при решении задач на проценты; создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении задач по теме «Проценты».

воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

развивающие (формирование регулятивных УУД): способствовать развитию творческой активности учащихся; повысить познавательный интерес к предмету; развитие навыков и способностей критического мышления (навыков сопоставления, формулирования и проверки гипотез - правил решения задач, умений анализировать способы решения задач); развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать.

11. Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений

12. Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

13. Необходимое оборудование: доска, экран, проектор, компьютер, калькуляторы (в случае необходимости), карточки самооценивания.

14. Структура урока

Этап урока	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учеников	Время (мин)	Формируемые УУД
1. Организационный этап	Создать благоприятный психологический настрой на работу	Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.	Включаются в деловой ритм урока.	1	Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности. Личностные: мотивация учения.
2. Актуализация знаний	Актуализация опорных знаний и способов действий.	Организация устного счета и повторения основных типов задач на проценты.	Участвуют в работе по повторению: в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы.	3	Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: оценивание усваиваемого материала.
3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.	Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.	Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы.	Записывают дату в тетрадь, определяют тему и цель урока.	4	Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.
4. Применение знаний и умений в новой ситуации	Показать разнообразие задач на проценты, решаемых в жизни.	Организация и контроль за процессом решения задач.	Работают в парах над поставленными задачами.	23	Познавательные: смысловое чтение, анализ, аргументация, знаково-символьные действия, выбор эффективного способа решения, формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.
5. Физкультминутка	Смена деятельности.	Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.	Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу.	2
6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.	Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых.	Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок.	Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач.	4	Личностные: формирование позитивной самооценки. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме. Регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы.
7. Рефлексия (подведение итогов урока)	Дать количественную оценку работы учащихся.	Подводит итоги работы групп и класса в целом.	Учащиеся сдают карточки самооценивания.	2	Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке
8. Информация о домашнем задании	Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания.	Дает комментарий к домашнему заданию.	Учащиеся записывают задание.	1

Ход урока

Деятельность учителя	Деятельность учеников
1. Организационный этап Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку. У каждого из вас на столах лежат карточки самооценивания. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. По окончанию решения каждой задачи, вы должны оценить свою работу: "+" - справился с задачей без затруднений, "±" - справился с задачей, но возникали сложности, "-" - не справился с задачей.	Учащиеся слушают учителя
2. Актуализация знаний Устная работа: Задание: в первой строке замените десятичные дроби процентами, а во второй строке проценты замените десятичными дробями. 0,13 1,09 0,8 0,45 0,006 43% 18% 40% 77% 112% Давайте вспомним основные задачи на проценты. а) как найти процент от числа; Найдите: 48% от 250 Решение: 48% = 0,48 250  0,48 =120 б) как найти по проценту целую величину; Найдите: число, 8% которого равны 12. Решение: 8% = 0,08 12 : 0,08 =150. в) как найти процентное соотношение одного числа от другого. Сколько процентов составляет 150 от 600? Решение: 150 : 600  100% = 25%. Повторим эти правила в общем виде: А % от Б А % это С Б от С в % Б ∙ 0,01А С : 0,01А (Б : С) ∙ 100%	Учащиеся устно выполняют предложенные задания.
3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Рассмотрим следующую задачу: Учитель подводит итоги успеваемости за четверть. В 5а 9 учеников учатся на отлично и хорошо, а в 5б -11, но в 5а- 16 учеников, а в 5б -20 учеников. Как выяснить какой класс лучше учится? - Ответить на этот вопрос помогут проценты. Если мы выразим количество учащихся в процентах, ответ будет ясен. - Действительно, в нашей жизни человек очень часто сталкивается с понятием проценты. Где мы встречаемся с этим понятием? Кроме того, полученные знания на уроках математики, помогут вам в дальнейшем при решении задач по химии (например: узнать концентрацию соли в морской воде), физике, биологии (жирность молока). А также при сдаче экзамена ЕГЭ. Тема нашего урока: Решение задач на проценты. Наша цель на уроке - обобщить знания по теме "Проценты" и суметь применить их при решении реальных жизненных задач.	Учащиеся предлагают свои решения. Отвечают на поставленный вопрос (В магазине, и в банке, и в аптеке, и в газетах, и в журналах, и по телевизору и в школе) Формулируют тему и цель урока, записывают в тетради дату и тему урока.
4. Применение знаний и умений в новой ситуации Итак, приступаем к решению задач, которые очень часто нам приходится решать в жизни. 1. 1) В классе 28 учеников, 19 из них учатся на “4” и “5”. Какой процент учащихся закончили четверть на“4” и “5”? Ответ округлить до десятых процента. 2) 12 учеников посещают спортивные секции, 16 учеников посещают различные кружки. Какой процент учащихся посещают спортивные секции, кружки? 2. 1) Товар подорожал на 30%, а затем подешевел на 30%. Как изменилась цена товара? 2) Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена товара? 3. В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе? 4. Ученики в парах вычисляют скидку на два, заранее определенных, товара, и стоимость покупки. Товар: скидка на данный товар: Шуба - 38 500 рублей 14 % Сапоги – 7 800 рублей 10% Шапка - 2 200 рублей 8 % Спортивный костюм - 3 200 рублей 11 % Кроссовки – 1 850 рублей. 5 % 5. Ставка сотрудника – 13 500 рублей. Доплата за совмещение обязанностей – 60 % Доплата на транспорт 10% Какова заработная плата сотрудника? Прибавить к ней 45% от начисленной суммы – премия. И вычесть 13% - налоги. Какую сумму получит сотрудник?	Учащиеся в парах выполняют решение предложенных задач. При необходимости могут использовать калькуляторы, имеющиеся на столах. По окончании работы над каждой задачей, оценивают результат своей деятельности на листах оценивания. Ответ к задаче: 67,9% учащихся закончили четверть на“4” и “5” 42,9% учеников посещают спортивные секции, 57,1% учеников посещают различные кружки. Ответ к задаче: 1) 2) Ответ к задаче: 10%; 7,5% Ответ к задаче: Товар: Скидка на данный товар: (руб.) Сумма к оплате: (руб.) Шуба 5 390 33 110 Сапоги 780 7 020 Шапка 176 2 024 Спортивный костюм 352 2 848 Кроссовки 92,5 1 757,5 Ответ к задаче: Заработная плата сотрудника 22 950 рублей, Премия 10 327,5 рублей, Общая сумма 33 277,5 рублей, Налог 4 326,08 рублей, Сумма, которую получит сотрудник 28 951,42 рубля.
5. Физкультминутка Давайте немного передохнем. Поднимает руки класс – это «раз». Повернулась голова – это «два». Руки вниз, вперед смотри – это «три». Руки в стороны пошире развернули на «четыре», С силой их к плечам прижать – это «пять». Всем ребятам надо сесть – это «шесть».	Учащиеся поднимаются с мест, повторяют действия за учителем.
6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция Наш урок подходит к концу. Давайте обсудим: какие задачи вызвали у вас затруднения и почему?	Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач.
7. Рефлексия (подведение итогов урока) Итак, вы сегодня решали взрослые жизненные задачи. Они, конечно, упрощены и их не настолько много, как встречается в жизни. Но с каждым днем вы взрослеете, и задачи усложняются вместе с вами. Собираются карточки самооценивания и выставляются оценки за работу на уроке.	Учащиеся сдают карточки самооценивания.
8. Информация о домашнем задании Решите следующую задачу: В семье Карповых, состоящей из мамы, папы и шестилетнего Юры, семейный бюджет на месяц делится следующим образом: Статья расхода Процент от заработанной суммы Оплата расходов на содержание квартиры 8 Плата за детский сад за 1 ребенка 6 Покупка продуктов 23 Непредвиденные расходы (покупка одежды, обуви, приобретение или ремонт электроприборов ,если есть необходимость и т.д.) 23 В копилку 40 Задания: 1. Рассчитайте, какая сумма в рублях идет на каждую статью расхода, если Юрина мама зарабатывает 15 000 рублей, а Юрин папа 20 000 рублей в месяц. 2. Смогут ли Карповы съездить через 5 месяцев по путевке на юг, потратив на это деньги из копилки, если зарплату папе и маме поднимут единовременно на 15%, а цены на продукты ежемесячно будут расти в среднем на 5 %? Цена путевки на трех человек, включая дорогу) - 60 000 рублей.	Учащиеся получают карточки с домашним заданием.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ К УРОКУ

Карточка самооценивания

Ф. И. _______________________________________________

Система оценивания:

"+" - справился с задачей без затруднений,

"±" - справился с задачей, но возникали сложности,

"-" - не справился с задачей.

№ задания	Задание	Оценка
1
2
3
4
5
	Итого: ваша оценка за урок

Если у вас: 5- 4,5 «+» - ставим оценку «5»;

4- 3,5 «+» - «4»;

3- 2,5 «+» - «3».

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ К УРОКУ

Домашнее задание

Решите следующую задачу:

В семье Карповых, состоящей из мамы, папы и шестилетнего Юры, семейный бюджет на месяц делится следующим образом:

Статья расхода	Процент от заработанной суммы
Оплата расходов на содержание квартиры	8
Плата за детский сад за 1 ребенка	6
Покупка продуктов	23
Непредвиденные расходы (покупка одежды, обуви, приобретение или ремонт электроприборов, если есть необходимость и т.д.)	23
В копилку	40

Задания:

1. Рассчитайте, какая сумма в рублях идет на каждую статью расхода, если Юрина мама зарабатывает 15 000 рублей, а Юрин папа 20 000 рублей в месяц.

2. Смогут ли Карповы съездить через 5 месяцев по путевке на юг, потратив на это деньги из копилки, если зарплату папе и маме поднимут единовременно на 15%, а цены на продукты ежемесячно будут расти в среднем на 5 %? Цена путевки на трех человек, включая дорогу) - 60 000 рублей.

ТАБЛИЦА ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

Доход семьи за месяц, руб.	Статья расхода	Процент от заработанной суммы	Сумма, руб.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

НАША ЦЕЛЬ

Обобщить знания по теме «Проценты»

и закрепить умения

решать задачи на проценты.

УСТНАЯ РАБОТА

Задание: в первой строке замените десятичные дроби процентами, а во второй строке проценты замените десятичными дробями.

0,13 1,09 0,8 0,45 0,006

43% 18% 40% 77% 112%

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ :

а) как найти процент от числа;

Найдите: 48% от 250

б) как найти по проценту целую величину;

Найдите: число, 8% которого равны 12.

в) как найти процентное соотношение одного числа от другого.

Сколько процентов составляет 150 от 600?

а) найти процент от числа;

б) найти по проценту целую величину;

в) найти процентное соотношение одного числа от другого.

А % от Б

Б ∙ 0,01А

А % это С

С : 0,01А

Б от С в %

(Б : С) ∙ 100%

Задание:

Выяснить какой класс лучше учится?

Если: в 5а 9 учеников учатся на отлично и хорошо, а в 5б -11, но в 5а- 16 учеников, а в 5б -20 учеников.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1) В классе 28 учеников, 19 из них учатся на “4” и “5”. Какой процент учащихся закончили четверть на“4” и “5”? Ответ округлить до десятых процента.

2) 12 учеников посещают спортивные секции, 1 6 учеников посещают различные кружки. Какой процент учащихся посещают спортивные секции, кружки?

ОТВЕТ:

• 67,9% учащихся закончили четверть на“4” и “5”
• 42,9% учеников посещают спортивные секции,
• 57,1% учеников посещают различные кружки.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• Товар подорожал на 30%, а затем подешевел на 30%. Как изменилась цена товара?

2) Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена товара?

ОТВЕТ:

• 1) товар подешевел на 9%
• 2) товар подорожал на 32%

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе?

ОТВЕТ:

• 10%;
• 7,5%

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРОДАВЕЦ - ПОКУПАТЕЛЬ

Вычислите скидку на два, выбранных покупателем товара, и стоимость его покупки.

Товар: скидка на товар:

Шуба - 38 500 рублей 14 %

Сапоги – 7 800 рублей 10%

Шапка - 2 200 рублей 8 %

Спортивный костюм - 3 200 рублей 11 %

Кроссовки – 1 850 рублей. 5 %

ОТВЕТ:

Товар: Скидка на товар Сумма к оплате:

(руб.) (руб.)

Шуба 5 390 33 110

Сапоги 780 7 020

Шапка 176 2 024

Спортивный костюм 352 2 848

Кроссовки 92,5 1 757,5

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ БУХГАЛТЕР – СОТРУДНИК

Ставка сотрудника – 13 500 рублей.

Доплата за совмещение обязанностей – 60 %.

Доплата на транспорт 10%.

Какова заработная плата сотрудника?

Прибавить к ней 45% от начисленной суммы - премия. И вычесть 13% - налоги. Какую сумму получит сотрудник?

ОТВЕТ:

• Заработная плата сотрудника 22 950 рублей,
• Премия 10 327,5 рублей,
• Общая сумма 33 277,5 рублей,
• Налог 4 326,08 рублей,
• Сумма, которую получит сотрудник

28 951,42 рубль.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Статья расхода

Процент от заработанной суммы

Оплата расходов на содержание квартиры

8

Плата за детский сад за 1 ребенка

6

Покупка продуктов

23

Непредвиденные расходы (покупка одежды, обуви, приобретение или ремонт электроприборов ,если есть необходимость и т.д.)

23

В копилку

40

Задания:

1. Рассчитайте, какая сумма в рублях идет на каждую статью расхода, если Юрина мама зарабатывает 15 000 рублей, а Юрин папа 20 000 рублей в месяц.

2. Смогут ли Карповы съездить через 5 месяцев по путевке на юг, потратив на это деньги из копилки, если зарплату папе и маме поднимут единовременно на 15%, а цены на продукты ежемесячно будут расти в среднем на 5 %? Цена путевки на трех человек, включая дорогу) - 60 000 рублей.