Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
Существуют формулы и правила для нахождения решений уравнений третей и четвертой степени, но эти формулы громоздкие и не удобные в применении, особенно в практических задачах. Если рассмотреть не алгебраические уравнения, то задача усложняется еще больше, потому что получить формулу для нахождения корней такого уравнения практически невозможно.
Трансцендентные уравнения – это уравнения в которых переменная x находится в нутрии тригонометрических функций, показательных, логарифмических функций.
Если записать уравнение в виде f(x)=0 , то известные алгоритмы обычно не накладывают не каких ограничений на конкретный вид функций f(x), чтобы найти корни такого уравнения, т. е. те значения x которые обращают уравнения тождества, необходимо подобрать численный метод этого решения, численный метод как правило дает приближенное значение.
Если имеется нелинейное уравнение , то в процессе приближенного отыскания обычно выделяют два этапа:
отделение корня;
уточнение корня.
Под отделение корня понимается определение промежутка содержащего один и только один корень. Вторая точка находится в зависимости от заданной точности и условия задачи, чаще всего процесс отделения корня уравнения не может быть алгоритмизирован, существуют только некоторые классы уравнений для которых разработаны специальные приемы позволяющие отделять корень. Эти приемы могут быть аналитические или графические.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Развивать познавательный интерес, навыки самоконтроля, умения работать с тестом смешанного типа.
Оборудование: доска, планшеты функций, карточки с заданием (тест).
План урока:
Орг. момент. (5 мин)
Целевая установка и актуализация знаний. (5 мин)
Решение уравнений(20 мин)
Самостоятельная работа студентов (тест). (10 мин)
Подведение итогов урока. Домашнее задание (5 мин)
Ход урока:
I. Орг. момент.
Приветствие, проверка присутствующих. Сегодня на уроке мы рассмотрим пример применения метода итераций для решения алгебраических уравнений. Вспомним алгоритм решения и численные, приближённые методы решения уравнений. В конце урока выясним, как каждый знает основные положения темы с помощью мини-теста.
II. Актуализация знаний.
Пресс-опрос.
Что называется уравнением?
Что является корнем уравнения?
Какие уравнения называют трансцендентными, и какие - алгебраическими?
Что значит непрерывная функция, приведите пример?
Вспомним алгоритм решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Из скольких этапов он состоит.
Отделение корня
Уточнение корня
Отделение корня
В каком случае говорят, что корень отделён?
f (х)непрерывна на [a;b]
Метод проб с десятичным делением
f (х) имеет на концах [a;b] разные знаки
Метод проб с половинным делением
f '(х) внутри [a;b] сохраняет знак
Метод хорд
К
Метод касательных
аким способом может быть отделён корень?
графический
Метод итераций
аналитический
Комбинированные методы
-Назовите методы уточнения корня.
-Чем похожи, и чем отличаются метод проб с десятичным делением и метод проб с половинным делением?
-Охарактеризуйте кратко остальные методы.
III. Решение уравнений.
1.На прошлом занятии мы рассмотрели теоретический блок метода итераций. Сейчас рассмотрим конкретный пример.
Пример. Дано уравнение х3+12х-2=0.
Пусть корень уравнения отделён и принадлежит интервалу [0,1; 0,2].
Для уточнения корня применим метод итераций. Представим уравнение в виде, удобном для применения метода
х= f(х).
Например, так
х=1/12 ∙(2-х3)
Проверим условия применимости метода. Найдем производную и сравним модуль её значения на заданном отрезке с1.
f '(х) = 1/12 ∙(-3х2) = -1/4 х2
Пусть х = 0,15, тогда f '(0,15) =-0,005625
Получили |-0,005625| f '(х) | значит, метод итераций применить можно.
Примем за начальное приближение любое число из данного интервала.
х0≈0,16 и будем вычислять последовательные приближения
f(х) = 1/12 ∙(2-х3)
х0≈0,1600,
х1≈0,1663,
х2≈0,1663.
Получили приближённое значение корня и ответ.
Ответ. х≈0,1663.
2.Решить уравнение 3х3-0,9х-6=0.
х=(3х3-6) / 0,9
(Отв.1,339)
IV. Самостоятельная работа студентов (тест).
(см. Приложение 1.)
V. Подведение итогов урока. Домашнее задание.
1.Решить комбинированным методом проб и хорд с точностью до 0,001:
2. Решить комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001:
х6+2х-1=0, (положительный корень). (Отв.0,493)
3.*Составить алгоритм и программу для нахождения приближенных решений алгебраических и (или) трансцендентных уравнений.
(см. Приложение 2.)
Использовалась литература.
1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.
2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.
3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.
4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Вариант для преподавателя Вариант №1
Блок А.
№
Задание (вопрос)
Эталон
ответа
Слож-ность
Цена
Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.
1.
Установите соответствие понятия определению:
1. Численные методы
2. Корень уравнения
3. Скорость сходимости
А) – это характеристика близости приближённого решения к точному решению при некоторых дополнительных ограничениях.
Б) позволяют получить численный ответ с помощью последовательности осуществимых численных операций.
В). – число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство.
1-Б,
2-В,
3-А.
6
1
2.
Установите соответствие уравнения его виду:
1. трансцендентное
2. алгебраическое
А) √х+3 + √3х-2 = 7; Б) lg х = 1 / х2;
В) х3-2х+1=0; Г) 2sin2х = 3cosх.
1-Б,Г,
2-А,В.
8
1
Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.
3.
Среди предложенных функций выберите непрерывную:
А) у = 5х4-7х2+4х+10, Б) у = tg х,
В) у = 18 / х, Г) у = 5 / (х-1).
А
4
1
4.
Решить уравнение х4-25х2+144=0
и выбрать правильный ответ.
А) (5;12); Б) (±2;±3); В) (±3;±4); Г) (6;7).
В
4
1
5.
Метод итераций можно применять для решения алгебраического уравнения, если:
А) | f '(x)| a,b];
Б) | f '(x)| 1 на отрезке [a,b];
В) | f '(x)| a,b];
Г) | f '(x)| 0 на отрезке [a,b].
А
4
1
Блок Б.
Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.
6.
Для уточнения корня методом хорд, если f '(х) и f ''(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..
х1=а-(f(a)/
(f(b)-f(a))
*(b-a)
1
1
7.
Для уточнения корня методом касательных, если f '(х) и f ''(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то
х0 =b и применяется формула………..
х1=а-(f(а)/
f '(а))
1
1
8.
Найти приближённое значение корня уравнения
х3+х2-3=0 на отрезке [1;1,5]., применяя метод хорд и метод касательных, с точностью до 0,01.
1,17
1
1
Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Вариант для преподавателя Вариант №2
Блок А.
№
Задание (вопрос)
Эталон
ответа
Слож-ность
Цена
Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.
1.
Установите соответствие понятия определению:
1. Открытый интервал
2. Условие сходимости метода
3. Численные методы
А) - раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения задач.
Б) - это минимальные по возможности ограничения, при которых приближённое решение задачи стремится к точному решению.
В) – совокупность всех действительных чисел х , удовлетворяющих неравенству: а х b, где а и b – данные числа. Обозначается так (а,b).
1-В,
2-Б,
3-А.
6
1
2.
Установите соответствие уравнения его виду:
1. трансцендентное.
2. алгебраическое.
А) sin3х = 2cosх; Б) 2х2-2х+1=0;
В) √х-5 + √х+8 = 1; Г) 2lg х = х-2 / х2.
1-А,Г,
2-Б,В.
8
1
Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.
3.
Среди предложенных функций выберите непрерывную:
А) у =, сtg х; Б) у = 3х4-5х2+2х+9;
В) у = 8 / х; Г) у = 15 / (х-2).
Б
4
1
4.
Решить уравнение х4 - 13х2+36=0
и выбрать правильный ответ.
А) (5;12); Б) (±2;±3); В) (±3;±4); Г) (6;7).
Б
4
1
5.
В процессе решения алгебраического уравнения отделение корня можно выполнить следующими способами:
А) практически; Б) аналитически;
В) графически; Г) на глаз.
Б,В
4
1
Блок Б.
Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.
6.
Для уточнения корня методом касательных, если f '(х) и f ''(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то
х0 =b и применяется формула………..
х1=b-(f(b)/
f '(b))
1
1
7.
Для уточнения корня методом хорд, если f '(х) и f ''(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..
х1=b-(f(b)/
(f(b)-f(a))
*(b-a)
1
1
8.
Найти приближённое значение корня уравнения
х3-2х-1=0 на отрезке [1,5;2]., применяя метод десятичного деления и метод проб, с точностью до 0,01.
1,62
1
1
Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Вариант №1
Блок А.
№
Задание (вопрос)
Ответ
Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.
1.
Установите соответствие понятия определению:
1. Численные методы
2. Корень уравнения
3. Скорость сходимости
А) – это характеристика близости приближённого решения к точному решению при некоторых дополнительных ограничениях.
Б) позволяют получить численный ответ с помощью последовательности осуществимых численных операций.
В). – число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство.
2.
Установите соответствие уравнения его виду:
1. трансцендентное
2. алгебраическое
А) √х+3 + √3х-2 = 7; Б) lg х = 1 / х2;
В) х3-2х+1=0; Г) 2sin2х = 3cosх.
Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.
3.
Среди предложенных функций выберите непрерывную:
А) у = 5х4-7х2+4х+10, Б) у = tg х,
В) у = 18 / х, Г) у = 5 / (х-1).
4.
Решить уравнение х4-25х2+144=0
и выбрать правильный ответ.
А) (5;12); Б) (±2;±3); В) (±3;±4); Г) (6;7).
5.
Метод итераций можно применять для решения алгебраического уравнения, если:
А) | f '(x)| a,b];
Б) | f '(x)| 1 на отрезке [a,b];
В) | f '(x)| a,b];
Г) | f '(x)| 0 на отрезке [a,b].
Блок Б.
Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.
6.
Для уточнения корня методом хорд, если f '(х) и f ''(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..
7.
Для уточнения корня методом касательных, если f '(х) и f ''(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то
х0 =b и применяется формула………..
8.
Найти приближённое значение корня уравнения
х3+х2-3=0 на отрезке [1;1,5]., применяя метод хорд и метод касательных, с точностью до 0,01.
Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Вариант №2
Блок А.
№
Задание (вопрос)
Ответ
Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.
1.
Установите соответствие понятия определению:
1. Открытый интервал
2. Условие сходимости метода
3. Численные методы
А) - раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения задач.
Б) - это минимальные по возможности ограничения, при которых приближённое решение задачи стремится к точному решению.
В) – совокупность всех действительных чисел х , удовлетворяющих неравенству: а х b, где а и b – данные числа. Обозначается так (а,b).
2.
Установите соответствие уравнения его виду:
1. трансцендентное.
2. алгебраическое.
А) sin3х = 2cosх; Б) 2х2-2х+1=0;
В) √х-5 + √х+8 = 1; Г) 2lg х = х-2 / х2.
Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.
3.
Среди предложенных функций выберите непрерывную:
А) у =, сtg х; Б) у = 3х4-5х2+2х+9;
В) у = 8 / х; Г) у = 15 / (х-2).
4.
Решить уравнение х4 - 13х2+36=0
и выбрать правильный ответ.
А) (5;12); Б) (±2;±3); В) (±3;±4); Г) (6;7).
5.
В процессе решения алгебраического уравнения отделение корня можно выполнить следующими способами:
А) практически; Б) аналитически;
В) графически; Г) на глаз.
Блок Б.
Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.
6.
Для уточнения корня методом касательных, если f '(х) и f ''(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то
х0 =b и применяется формула………..
7.
Для уточнения корня методом хорд, если f '(х) и f ''(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..
8.
Найти приближённое значение корня уравнения
х3-2х-1=0 на отрезке [1,5;2]., применяя метод десятичного деления и метод проб, с точностью до 0,01.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Практическая работа № 5
Приближенное решение алгебраического уравнения комбинированным методом
Содержание работы. Отыскание корня алгебраического уравнения комбинированным методом (методом проб и хорд или методом хорд и касательных).
Тип задания. Дано алгебраическое уравнение степени выше второй f(x)=0. Даются указания, какой именно корень требуется найти. Ставится задача отыскания приближенного значения корня с заданной точностью.
Порядокпроведенияработы.
1. Графически отделить корень данного уравнения: найти отрезок [а; b] достаточно малой длины, внутри которого содержится искомый корень, и этот корень единственный.
Проверить аналитически, что:
1)f(a) и f(b) имеют разные знаки;
2) f″ (x) сохраняет постоянный знак на [а; b].
Методом проб уточнить корень, добившись того, что длина отрезка [а; b] станет равной 0,1.
Избрать один из рекомендуемых комбинированных методов, составить расчетный бланк для записи вычислений.
Провести вычисления в соответствии с разработанной схемой.
Проверить полученный результат путем подстановки найденного корня в уравнение.
1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.
2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.
3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.
4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.
Практическая работа №6*.
Приближенное решение трансцендентного уравнения
Тип задания. Найти корень данного уравнения F(x)=0 с заданной точностью одним из методов: 1) комбинированным методом проб и хорд;
2) комбинированным методом хорд и касательных;
3) методом итераций.
Порядокпроведенияработы.
Если решено применить метод (1) или (2), то порядок выполнения работы тот, который изложен в работе № 5. Заметим лишь, что при выполнении данной работы следует пользоваться таблицами тех трансцендентных функций, которые содержат в уравнении (логарифм, тригонометрические функции и др.).
Приведем план выполнения данной работы в случае применения метода итераций.
Графически или другим методом найти грубое приближенное значение корня . Отделить корень — найти отрезок [а; b] достаточно малой длины, в котором содержится корень (также находится в этом отрезке).
Привести данное уравнение F (х) = 0 к виду x = f (x). Из различных представлений уравнения в этом виде выбрать такое, при котором есть малое число, значительно меньшее единицы (чем меньше, тем лучше).
Убедиться в том, что для всех х отрезка [а; b] выполняется неравенство
где q—малое число, значительно меньшее единицы. (Если ) очень мало и длина отрезка [а; b] также очень мала, то эту проверку можно не выполнять.)
Составить расчетный бланк для вычисления последовательных приближений, приняв за начальное приближение или (если окажется удобным) любое другое число из отрезка [а; b]. (Обозначить начальное приближение х0.) Провести вычисление последовательных приближений с одним запасным знаком. Вычисления прекратить, когда совпадут два соседних приближения в пределах заданной точности.
Если окажется необходимым, произвести дополнительную оценку точности найденного корня.
Задание. Вычислить корень уравнения lg x+5x—2=0 с точностью до 0,0001 методом итераций.
Литература.
1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.
2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.
3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.
4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.
- х – 2 = 0
. Отделить корень — найти отрезок [а; b] достаточно малой длины, в котором содержится корень (
есть малое число, значительно меньшее единицы (чем меньше, тем лучше).
) очень мало и длина отрезка [а; b] также очень мала, то эту проверку можно не выполнять.)
с одним запасным знаком. Вычисления прекратить, когда совпадут два соседних приближения в пределах заданной точности.
