Разработка уроков по теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»

Разработка уроков по теме: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» ( 9 класс).

По теме 4 урока.

Урок 1

Тип урока- знакомство с новым материалом.

Цели урока: - формирование умений и навыков решения задач с помощью систем уравнений второй степени;

- воспитывать чувство ответственности; формировать творческие способности, математическую культуру; навыки самоконтроля

- развивать логическое мышление, познавательный интерес к предмету.

План урока.

1. Устная работа. 1. Найдите f(3), f (0), f (-2), если f(х)=-3х+2.

2. Найдите область определения функции: у = 10-3х, у =-7, у =, у =, у =, у=.

3. Повторить формулы площади и периметра прямоугольника, теорему Пифагора, площадь прямоугольного треугольника.

2. Новая тема. Задача. Площадь прямоугольника равна 36 . Если одну из сторон прямоугольника уменьшить на 2 см, а другую увеличить на 2 см, то площадь нового прямоугольника составит 42 . Найдите периметр данного прямоугольника.

Схема решения задач с помощью системы уравнений.

Этапы решения
1. Обозначьте некоторые неизвестные числа буквами	Пусть длина прямоугольника х см, а ширина у см. Тогда стороны нового прямоугольника будут равны (х-2) см и (у+2) см.
2. Составьте систему уравнений, используя условие задачи	По условию задачи площади прямоугольников равны 36 и 42 . Составим систему уравнений:
3. Решите систему
4. Объясните полученный результат в соответствии с условием задачи и ответьте на вопрос задачи.	Стороны данного прямоугольника равны 9 см и 4 см, а его периметр Р = (9+4)2= 26 см.
5. Запишите ответ.	Ответ: 26 см.

3.По схеме решить стр.117 №455

Пусть одно число х, другое у. Их сумма равна 12, а произведение равно 35. Составим и решим систему уравнений:

Данные числа 7 и 5.

Ответ: 7 и 5.

Стр. 117 №457

Пусть одна сторона прямоугольника х см, другая у см. Диагональ прямоугольника 10 см, используем теорему Пифагора , т. к. периметр равен 28 см, то сумма этих сторон равна 14 см. составим систему уравнений:

, =6 , х , тогда или

Стороны прямоугольника 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.

Стр .118 №464

Пусть один катет х см, другой у см. Тогда площадь треугольника равна 24 , т. е. , а гипотенуза 10 см, т. е по теореме Пифагора имеем Составим систему уравнений: =t,

D = 10000-9216=784,

, т.к. у, то

=6, не удовлетво-

. ряет условию.

или

Один катет треугольника 6 см, другой 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.

4. Итог урока. Повторить схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени.

5. Домашнее задание. Стр. 117456, 458, стр.118 №460.

Урок 2.

Основная цель – формирование умений решать задачи «на работу» составлением систем уравнений.

План урока.

1. Проверить домашнее задание. Проверить составление систем к каждой задаче , какие формулы применялись для составления уравнений.

2. Устная работа. 1. Найти наименьшее значение трехчлена: а)

2. Решите неравенство: а)

3. Решите систему уравнений способом сложения: .

3. Решение задач. Для лучшего понимания условия задачи необходимо ставить перед учащимися следующие вопросы:

1. Какой процесс описывается в задаче? (процесс движения, работы и т. д.

2. Какими величинами характеризуется процесс? Как связаны эти величины? (S=vt, A=kt и т. д. ).

3. Сколько реальных вопросов описывается в задаче?

4. Какие величины известны?

5. Значение каких величин нужно найти?

6. Как сравниваются величины?

Можно опять вернуться к табличному способу оформления условия задачи.

Стр.118 №466.

	A	t	k
совместно	1	3 ч 45 мин =
1 экскаватор	1	х ч
2 экскаватор	1	у ч
		х-у=4	+=

Составим систему уравнений: х

15у+15(4+у)=4у(4+у),

4

27у – 30 = 0,

- не удовлетворяет условию задачи.

Первому требуется 10 ч, второму 6 ч.

Ответ: 10 ч, 6 ч.

Стр.11 №467.

	А	t	k
Совместно	1	35 ч
1 комбайн	1	х ч
2 комбайн	1	у ч
		х-у=24	=

Составим систему уравнений: где х

35у+35(24+у)= (24+у)у,

Одному потребуется 84 ч , другому 60 ч.

Ответ: 60 ч и 4 ч.

Стр. 119 № 471.

	Масса 1 детали	Масса всех деталей	Количество деталей
Старого типа	х кг	24 кг
Нового типа	у кг	22 кг
	х-у=0,2		-

Составим систему уравнений: где х

5

Масса детали старого образца 1,2 кг, нового 1 кг.

Ответ: 1,2 кг, 1 кг.

4. Итог урока. Чем похожи все рассмотренные задачи?

5. Домашнее задание. Стр.118 №468, стр.119 №474.

Урок 3.

Основная цель- сформировать умение решать задачи «на движение» составлением систем уравнений.

План урока.

1. Проверить домашнее задание. Собрать тетради на проверку.

2. Устная работа. 1. Решите уравнении: а)

Г)

2. Составьте уравнение с двумя переменными, если

А) периметр прямоугольника равен 14 см;

Б) площадь прямоугольного треугольника равна 16 ;

В) одна сторона параллелограмма на 8 см больше другой.

3. Решение задач

А ) Стр.119 №474

	v	s	t
M	х км/ч	0,5х км
N	у км/ч	0,5у км
		0,5х+0,5у=50

Скорость первого 60 км/ч, второго 40 км/ч.

Ответ: 60 км/ч , 40 км/ч.

Решение задач из сборника для подготовки к ГИА 2009, 2012 года под редакцией Ф. Ф. Лысенко.

Б) Стр 213 №495. Трое рабочих выполняют некоторую работу. Если бы работали только первый и второй рабочие или только первый и третий рабочие, то работа была бы выполнена за три дня. Если бы работали только второй и третий рабочие, то работа была бы выполнена за шесть дней. За сколько дней рабочие выполнят всю работу, если будут трудиться втроем?

	Работа	Производительность	Время
1 рабочий	1	x	=3
2 рабочий	1	y
3 рабочий	1	z
Вместе	1	x+y+z

.

x+y+x+z+y+z=

2(x+y+z)=, x+y+z=

Вместе работу выполнят за 2,4 дня.

Ответ: 2,4 дня.

В) Стр.235 №511. Моторная лодка, проехав по течению реки 6 км, вернулась назад, затратив на весь путь 35 мин. Найдите собственную скорость лодки, если известно, что 18 км по течению реки она проплывет на 15 мин быстрее, чем против течения.

Пусть собственная скорость лодки х км/ч, скорость течения у км/ч, тогда по течению скорость (х + у) км/ч, против течения (х - у) км/ч.Путь по течению 6 км, время , против течения путь тот же, время , все время . Известно , что по течению он проплывает 18 км на 15 мин быстрее, чем против течения, т. е. Составим систему уравнеий: Пусть , , тогда

Ответ: 21 км/ч.

4. Итог урока. Обратить внимание на способы решения последних двух задач.

5. Домашнее задание. Стр.119 № 473, Из сборника стр.233 № 496, стр.235 №512.

Урок 4

Цель- проверить умения учащихся решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

План урока.

1. Проверить домашнее задание, если необходимо, разобрать решение.

2. Устная работа. 1. Решите систему уравнений способом сложения:

А) б) в)

2. Составьте уравнение с двумя переменными, если:

- путь в 37 км первый пешеход прошел на 15 мин быстрее второго пешехода;

- из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, выехали одновременно два автомобиля и встретились через 2 ч.

3. Самостоятельная работа.

Вариант 1 рассчитан на слабо подготовленных учащихся. Он ориентирован на достижение учащимися обязательного уровня математической подготовки. Вариант 2 несколько сложнее, Он способствует достижению учащимися уровня обязательной подготовки, но и создает условия для овладения знаниями и умениями на более высоком уровне. Вариант 3 рассчитан на учащихся лицейских классов физико-математического профиля.

Вариант 1.

1. Пешеход прошел 9 км о проселочной дороге и 5 км по шоссе, затратив на весь путь 3 часа, найдите скорость движения пешехода на каждом участке пути, если известно, что по шоссе он шел со скоростью на 0,5 км/ч большей, чем по проселочной дороге.

Ответ: 4,5 км/ч, 5 км/ч

2. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а его периметр равен 34 см, Найдите стороны прямоугольника.

Ответ: 5 см и 12 см.

3. Прямоугольный участок земли площадью 3000 обнесен изгородью, длина которой равна 220 м, Найдите длину и ширину этого участка.

Ответ: 60 м и 50 м.

Вариант 2

1. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 10 с расстояние между ними стало равно 50 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое за 4 с проходит такое же расстояние, которое второе проходит за 3 с?

2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 54 км, выехали одновременно два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем другой, и прибыл в пункт В на 36 минут раньше. Найдите скорость каждого велосипедиста.

3. Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 ч больше времени, чем второй.

Вариант 3

1. Из города А в город В одновременно выехали два велосипедиста, один из которых поехал по шоссе, а другой- по проселочной дороге. Путь первого составил 45 км, а путь второго оказался на 13 км меньшим. Хотя первый велосипедист проезжал за один час на 2 км больше, он прибыл в В на полчаса позже второго. Определите с какой скоростью ехал каждый из велосипедистов.

2. На уборке урожая с участка сначала в течение 6 ч работала одна бригада, после чего к ней присоединилась вторая бригада и через 4 ч совместной работы бригады закончили работу. За сколько часов могла убрать урожай с участка каждая бригада, работая отдельно, если известно, что первой для этого требуется на 3 ч больше, чем второй.

3. одному рабочему для выполнения работы требуется на 3 ч больше, чем другому. Если первый рабочий будет работать того времени, которое требуется второму рабочему для выполнения всей работы, а затем второй рабочий будет работать времени, которое требуется первому рабочему для выполнения всей работы, то вместе они выполнят всей работы. За какое время может выполнить эту работу каждый рабочий, работая в отдельности?

4. Итог урока. Повторить какие процессы встречаются в задачах, какие формулы связывают эти процессы. Сколько переменных вводится для составления уравнений.

5. Домашнее задание. Стр.118 № 469, стр. 119 № 475.