Разработка открытого занятия на тему: «Линейное векторное пространство. Решение задач»

ОСП «Индустриальный техникум»

ГОУ ВПО ЛНР «Донбасский государственный технический университет»

Методическая разработка

Открытого занятия

по дисциплине

"Линейная алгебра"

Алчевск, 2015

Разработал: Ленкова О. Ю. – преподаватель второй категории

«Утверждаю»

Заместитель директора по УВР,

председатель методического совета

______________ Л. Л. Кузьмина

«_____» ______________ 2015 г.

Рассмотрено и согласовано на заседании

цикловой комиссии «Информатики и

компьютерной техники»

Протокол от «____»____________2015 г. № ___

Председатель комиссии________ О.Ю. Ленкова

Тема: «Линейное векторное пространство. Решение задач»

Образовательная цель: повторить вопросы теории; научить студентов использовать знания о векторах при решении прикладных задач в физике, геометрии и при разработке компьютерных игр; закрепить умения вычислять координаты вектора, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, определение компланарности векторов; активизировать познавательную деятельность учащихся; развитие системы самооценки знаний студентов.

Развивающая цель: развивать интерес учащихся к изучению математики, физики и программирования, память, графические навыки, математическую речь, абстрактное мышление, пространственное воображение и интуицию, навыки логического мышления при решении задач;

Воспитательная цель: воспитывать самостоятельность, ответственность за себя и членов коллектива, аккуратность, познавательную потребность; воспитывать информационную культуру студентов; создание атмосферы доброжелательности на занятии.

Тип занятия: применение, обобщение и систематизация знаний.

Вид занятия: практическое занятие.

Методы проведения: проблемный с элементами деловой игры.

Оборудование: экран, персональные компьютеры, презентация в программе PowerPoint, карточки заданий по вариантам для самостоятельной работы, карточки с кроссвордами.

Литература

1. http://habrahabr.ru/post/131931/ Линейная алгебра для разработчиков игр

2. http://festival.1september.ru/articles/101427/ Применение математических знаний на уроках физики

3. http://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/2015/04/01/otkrytyy-urok-ispolzovanie-koordinat-i-vektorov Использование координат и векторов при решении прикладных задач

4. http://festival.1september.ru/articles/622804/ Векторы в пространстве.

5. http://festival.1september.ru/articles/533641/ Векторы. Метод координат на плоскости

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Мотивация.

3. Актуализация.

3.1. Теоретический опрос – «Эстафета».

3.2. Практическая часть.

3.2.1. Применение векторов для разработки игр.

3.2.2. Применение векторов в физике.

3.2.3. Применение векторов для вычисления площадей и объемов.

3.2.5. Домашнее задание.

3.2.6. Самостоятельная работа.

3.2.7. Разгадай кроссворд.

4. Итоги занятия.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

2. Мотивация учебной деятельности.

Сообщение темы, цели, задач занятия.

Эпиграф к занятию:

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Второй был тортом на столе,

Пока Т не убрали.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «НЕСУЩИЙ»

(от латинского vector, буквально несущий)

Напомню, что существуют такие величины: скалярные и векторные.

Скалярные значения хранят какую-то величину: масса, объём. То есть это сущность, которая характеризуется только одним числом (например, количество чего-либо).

Вектор в отличии от скаляра описывается с помощью двух значений: величина и направление.

Векторы были введены в математику в девятнадцатом веке, для описания величин, которые трудно было описывать с помощью скалярных значений.

Векторы интенсивно применяются при разработке компьютерных игр. Применяются они не только традиционно - для описания таких величин как сила или скорость, но и в областях, которые казалось бы никак не связаны с векторами: хранение цвета, создание теней.

3. Актуализация.

3.1. Теоретический опрос – «Эстафета». Вопросы отображаются на экранах компьютеров и на экране телевизора.

Первого отвечающего на вопрос выбирает преподаватель, а затем ответивший студент выбирает следующего, кто будет отвечать.

Вопросы:

1. Какую величину измеряет спидометр автомашины: векторную или скалярную?

2. Что такое вектор?

3. Что такое длина вектора?

4. Какой вектор называется нулевым?

5. Какой вектор называют единичным?

6. Какие вектора равные?

7. Что такое коллинеарные вектора?

8. Что такое компланарные вектора?

9. ABCD – параллелограмм. Докажите, что вектор AB равен вектору DC.

10. Два вектора равны друг другу по модулю, но направления различны. Можно ли сказать, что векторы равны?

11. Что такое орты?

12. Есть разложения векторов по единичным векторам:

a = – 6i+9j+2k n = – 8i+6j c =–7j

Назвать координаты векторов.

Ответы: a =(-6; 9; 2); n =(-8; 6; 0); c =(0; -7; 0)

Предлагается, используя рисунок ответить на вопросы:

1. Какой из данных векторов равен вектору 4i –2j

2. Назовите разложение вектора ОЕ по координатным векторам i и j

3. Найдите координаты вектора ОА

4. Какой вектор имеет координаты (-4;2)

5. Отложите от т.О вектор с координатами (2;-4)

3.2. Практическая часть.

Далее решаются задачи прикладного характера с использованием векторов. Перед решением задач преподаватель рассказывает о том, как используется то или иное понятие на практике. Перед решением задач преподаватель задает вопрос (вопросы), чтобы вспомнить понятия или формулы, необходимые для решения задач.

3.2.1. Применение векторов для разработки игр.

В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведён пример двухмерного вектора:

Вектор местоположения показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолёт перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.

Как можно заметить, вектор сам по себе всего лишь набор цифр, который обретает тот или иной смысл в зависимости от контекста. К примеру, вектор (1, 0) может быть как направлением для оружия, как показано на картинке, так и координатами смещения в одну милю к востоку от вашей текущей позиции. Или скоростью улитки, которая двигается вправо со скоростью в 1 милю в час.

Важно отслеживать единицы измерения. Допустим, у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трёх метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.

Сложение векторов

Вопрос к студентам: Как сложить два вектора?

Чтобы сложить вектора, нам надо просто сложить каждую их составляющую друг с другом.

Пример:

(0, 1, 4) + (3, -2, 5) = (0+3, 1-2, 4+5) = (3, -1, 9)

Зачем нам нужно складывать вектора? Любой физический объект будет иметь вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны изменять два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.

Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Показана его скорость.

Давайте рассмотрим первые кадры поподробнее, чтобы понять, как всё происходит.

Для первого кадра, мы добавляем скорость Марио (1, 3) к его местоположению (0, 0) и получаем его новые координаты (1, 3). Затем мы складываем ускорение (0, -1) с его скоростью (1, 3) и получаем новое значение скорости Марио (1, 2).

Делаем тоже самое для второго кадра. Добавляем скорость (1, 2) к местоположению (1, 3) и получаем координаты (2, 5). Затем добавляем ускорение (0, -1) к его скорости (1, 2) и получаем новую скорость (1, 1).

Обычно игрок контролирует ускорение игрового персонажа с помощью клавиатуры, а игра, в свою очередь, рассчитывает новые значения для скоростей и местоположения, используя физическое сложение (через сложение векторов).

Скалярное произведение векторов

Вопрос к студентам: Что такое скалярное произведение? Как вычислить скалярное произведение? (2 способа)

Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе

Пример: (3, 2) • (1, 4) = 3*1 + 2*4 = 11.

На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:

Студентам предлагается продолжить предложение. Если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение … (больше нуля). Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение … (равно нулю). И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение … (меньше нуля).

Задача 1. Допустим, у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1, 1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов G и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:

V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)

D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1

Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.

Векторное произведение

Вопрос к студентам: Определение векторного произведения. Как вычислить векторное произведение векторов?

Задача 2. Рассмотрим корабль. У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх (0, 1, 0) и направление ветра: север-северо-восток W (1, 0, 2). И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер».

Для решения этой задачи мы используем векторное произведение:

S = M x W.

S = MxW = (0, 1, 0) x (1, 0, 2) = ([1*2 — 0*0], [0*1 — 0*2], [0*0 — 1*1]) = (2, 0, -1).

3.2.2. Применение векторов в физике.

Практика рождается

из тесного соединения

физики и математики.

Бэкон Ф.

Физика как наука о явлениях природы опирается на строгий математический аппарат, без которого невозможно выразить ни одну закономерность. Великий А. Эйнштейн сказал: ”Что касается математики, то она интересует меня лишь постольку, поскольку я могу применить ее в физике”. И это применение безгранично.

Вопрос к студентам: Вспомните правило параллелограмма сложения векторов.

Рассмотрим векторное представление басни И. Крылова «Лебедь, рак да щука».

Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:

Предполагаемый ответ:

Векторная сумма сил, прикладываемых лебедем, раком и щукой, равна нулю, при условии, что эти вектора компланарны. На самом деле надо учитывать силу трения и силу нормального давления.

Такое бывает. Три да четыре не всегда дает в сумме 7, ответ может быть и 5, если три и четыре представляют собой векторные величины. Векторные величины складываются геометрически, скалярные – арифметически. Пример на рисунке.

Задача 3. Вычислить работу, совершаемую силой F=(1;2;3), при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В(1;0;0) в положение С(10;1;2).

Физический смысл скалярного произведения векторов, есть ни что иное, как работа А, совершенная силой F по перемещению из одной точки пространства в другую (из В в С)

Решение.

А = | F | • | BC | cos (F; BC),

т. е. A = F • BC - скалярному произведению

Так как: F= (1; 2; 3), BC = (9; 1; 2)

Получаем: А = 1•9 + 2•1 + 3•2 = 17 (ед. работы).

Таким образом, чтобы найти работу постоянной силы F при перемещении материальной точки вдоль отрезка ВС, достаточно вычислить скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения BC.

3.2.3. Применение векторов для вычисления площадей и объемов.

Вопрос к студентам: Геометрический смысл векторного произведения?

Задача 4. Даны вершины треугольника А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6). Найти его площадь.

Вопрос к студентам: Условие компланарности трех векторов.

Задача 5. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

Использовали свойство определителя, у которого два столбца одиноковы.

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Вопрос к студентам: Геометрический смысл смешанного произведения? Условие компланарности.

Задача 6. Найти объем пирамиды, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

3.2.5. Домашнее задание. Решить задачи 3-6 семестрового задания.

3.2.6. Самостоятельная работа (Приложение 1)

3.2.7. Разгадай кроссворд.

Тем студентам, которые справились с решением задач в карточках, предлагается разгадать кроссворды. (Приложение 2)

4. Итоги занятия.

Преподаватель благодарит студентов за участие в занятии. Отмечает самых активных учащихся и тех, кому необходимо усилить подготовку к занятиям.

И предлагает нарисовать вектор, который охарактеризует ваше отношение к проведенному занятию.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Кроссворд 1

По горизонтали:

Коллинеарные векторы с одинаковым направлением.

Наука, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур.

Вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема.

Сонаправленные векторы, имеющие равные длины.

Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам – это …вектора.

По вертикали:

Геометрическая фигура, при помощи которой складываются векторы.

Коллинеарные векторы, имеющие равную длину, но разное направление.

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Вектор, у которого начало совпадает с концом.

Кроссворд 2 . «Найди ключевое слово»

1. Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

2. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

3. Вставьте слово “Векторы называются равными, если они… и их длины равны”.

4. Вспомогательная теорема.

5. Вставьте слово “Произведение нулевого вектора на любое число, считается … вектором”.

6. Часть прямой, ограниченная двумя точками.

7. Какая линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

8. Сколько векторов, равных данному, можно отложить от точки?

9. Вставьте слово “Каждая координата … вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

10. Как надо учить правила и формулы по математике?

Приложение 2.

Задачи на «3» и «4»

Вариант1 Вычислить скалярное произведение векторов и , если Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Определить компланарны ли векторы

Вариант 2 Вычислить скалярное произведение векторов и , если Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Определить компланарны ли векторы

Задачи на «5»

Вариант 3 Определить угол между векторами и , если На векторах и построен треугольник. Вычислить его площадь, если Определить компланарны ли векторы

Вариант 4 Определить угол между векторами и , если На векторах и построен треугольник. Вычислить его площадь, если Определить компланарны ли векторы

21