kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Разработка уроков по математике для работы с одаренными детьми "Некоторые эвристические приемы решения задач"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработка уроков содержит конспект урока и презентацию с достаточно большим количеством задач на каждый прием. Приведены задачи для самостоятельнеого решения. Разработка расчитана на 5-6 классы. Можно использоватьпри подготовке детей к олимпиадам.

Тема: «Некоторые эвристические приемы решения задач»

Цели урока:

- предметные: рассмотреть некоторые эвристические приемы решения задач, познакомить с методами и приемами решения олимпиадных задач;

- метапредметные: развивать  умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать понятие площади;

 - личностные: развивать познавательный интерес через игровые моменты  взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости  интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта  настойчивости для достижения цели.

Тип урока: комбинированный.

Методы: по источникам знаний: словесные, наглядные, практический.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная

Оборудование: тетради, ручки, ноутбук или проектор для просмотра презентации.

Некоторые эвристические приемы решения задач

  • введение вспомогательной неизвестной
  • крайних случаев рассмотрение
  • контрольный и подтверждающий пример
  • перебор
  • перефразирование
  • прием получения следствий

Просмотр содержимого документа
«эвристич задачи»

Некоторые эвристические приемы решения задач

(методическая разработка урока)


Тема: «Некоторые эвристические приемы решения задач»

Цели урока:

- предметные: рассмотреть некоторые эвристические приемы решения задач, познакомить с методами и приемами решения олимпиадных задач;

- метапредметные: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать понятие площади;

- личностные: развивать познавательный интерес через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

Тип урока: комбинированный.

Методы: по источникам знаний: словесные, наглядные, практический.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная


Оборудование: тетради, ручки, ноутбук или проектор для просмотра презентации.


Некоторые эвристические приемы решения задач

  • введение вспомогательной неизвестной

  • крайних случаев рассмотрение

  • контрольный и подтверждающий пример

  • перебор

  • перефразирование

  • прием получения следствий







Ход урока.

  1. Организационные моменты.

Знакомство детей. Игра «Снежный ком».

Деление на 3 группы.

  1. Изучение нового материала

Введение вспомогательной неизвестной

Задача 1
Вычислить наиболее удобным способом

Введем вспомогательную переменную (замена)


Ответ: 9/125.

Задача 2
Вычислить: 2379 × 23782378 – 2378 × 23792379
Решение.
Выполним замену 2378 = х.

2379 = х + 1,

23782378 = 10000 х + х,

23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1
(x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)
Ответ: 0



Перебор
Задача 1
Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?
Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Задача 2
Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?
Решение
Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.
Ответ: 10.

Задача 3

Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Решение.
На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре, страниц 10-99 – по две цифры, страниц 100-500 – по три цифры, причем 1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392. Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.
Ответ: 500 страниц.

Крайних случаев рассмотрение

Задача 1
Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
Решение
Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.

Задача 2
Расстояние от пункта А до пункта В 6 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а) 19 км? б) 6 км? в) 10 км? г) 4 км?
Решение
Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет

Контрольный и подтверждающий пример

Задача 1
Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
Ответ: Нет. Например: 8 × 13 = 104 100, но 8
Задача 2
Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

Ответ: Да, можно. Например: 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15 × 3 × 1 × 1 × … × 1. 27 единиц

Задача 3
Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?
Ответ: Да. Например: 3/4 * 8/3 = 2.

Перефразирование
Задача 1
За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?
Решение.
Перефразируем задачу так: «Какова стоимость кухонного гарнитура, если ее половина равна 41600 рублей?»
Ответ: 83200 рублей.

Задача 2
Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?
Решение.
Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?»
Ответ: увеличится на 60.

Задача 3
Ученики одного класса в течении 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 р. 1 к. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?
Решение
Так как каждый месяц учащиеся вносили 64 001 : 7 = 9 143 коп, то число 9 143 является произведением числа учеников класса на ежемесячный взнос. Существуют лишь две возможности представления числа 9 143 в виде произведения натуральных чисел: 9 143 = 9 143 × 1 и 9 143 = 223 × 41. Исходя из условия задачи, получаем, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 р. 23 к.

Прием получения следствий
Задача 1
Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех Ваших прапрабабушек и прапрадедушек?
Решение
Так как у каждого человека было 8 прапрабабушек и 8 прапрадедушек, а у каждого из этих 16 человек так же было по 16 прямых предков в «четвертом колене», то искомое число равно
16 × 16 = 256.
Ответ: 256.

Задача 2
Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?
Решение
Делимое в 6 раз больше делителя означает, что частное равно 6. Отсюда, если частное равно 6, а делитель в 6 раз больше частного, то делитель равен 36. Окончательно получаем, что делимое равно 36 × 6 = 216.
Ответ: 216.

Задача 3
Жили дед и баба. Была у них курочка Ряба. Курочка несет каждое второе яичко простое, а каждое третье – золотое. Может ли такое быть?
Ответ: нет. Шестое яичко будет и вторым, и третьим, так как 6 : 2 и 6 : 3.


  1. Самостоятельная работа по группам. (7 мин)

Задача 1

В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.

Ответ: а) 852 б) 352.


Задача 2

Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями? Ответ: нет.


Задача 3

Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?

Ответ: 420 дней.


Задача 4

Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Решение.

Если треть числа – это 1/2, то само число равно 3 * 1/2 = 3/2.

Ответ: 3/2.


  1. Подведение итогов. Рефлексия (самооценка).



Просмотр содержимого презентации
«эвристич задачи»

Некоторые эвристические приемы решения задач

Некоторые эвристические приемы решения задач

•  введение вспомогательной неизвестной •  рассмотрение крайних случаев •  контрольный и подтверждающий пример •  перебор •  перефразирование •  прием получения следствий

• введение вспомогательной неизвестной

• рассмотрение крайних случаев

• контрольный и подтверждающий пример

• перебор

• перефразирование

• прием получения следствий

Введение вспомогательной неизвестной Вычислить наиболее удобным способом   Решение

Введение вспомогательной неизвестной

  • Вычислить наиболее удобным способом
  •  

Решение

Введем вспомогательную переменную (замена)  
  • Введем вспомогательную переменную (замена)
  •  

Ответ: 9/125.

Задача 2 Вычислить: 2379 × 23782378 – 2378 × 23792379

Задача 2

  • Вычислить:

2379 × 23782378 – 2378 × 23792379

Выполним замену 2378 = х. 2379 = х + 1, 23782378 = 10000 х + х, 23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1   (x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)=   Ответ: 0

Выполним замену 2378 = х.

2379 = х + 1,

23782378 = 10000 х + х,

23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1

(x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)=

Ответ: 0

Перебор Задача 1  Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?   Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Перебор

Задача 1 Сколько имеется двузначных чисел, у которых

а) среди цифр есть хоть одна пятерка?

б) цифра десятков меньше цифры единиц?

в) цифра десятков больше цифры единиц?

Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Задача 2 Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?

Задача 2

Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?

Решение  Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.   Ответ: 10.
  • Решение Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.
  • Ответ: 10.
Задача 3   Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?   Решение.  На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре, страниц 10-99 – по две цифры, страниц 100-500 – по три цифры,

Задача 3

  • Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решение. На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре,

страниц 10-99 – по две цифры,

страниц 100-500 – по три цифры,

Причем  1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392. Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.   Ответ: 500 страниц.

Причем

1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392.

Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.

Ответ: 500 страниц.

Рассмотрение крайних случаев

Рассмотрение крайних случаев

  • Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
Решение  Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.
  • Решение Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.
Задача 2

Задача 2

  • Расстояние от пункта А до пункта В 6 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а) 19 км? б) 6 км? в) 10 км? г) 4 км?
В 6 км А С

В

6 км

А

С

6 км

6 км

Решение  Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А не расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км.  Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет
  • Решение Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А не расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км. Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет
Контрольный и подтверждающий пример Задача 1

Контрольный и подтверждающий пример

Задача 1

  • Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
  • Ответ: Нет. Например: 8 × 13 = 104 100, но 8
Задача 2

Задача 2

  • Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?
  • Ответ: Да, можно. Например: 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15 × 3 × 1 × 1 × … × 1. 27 единиц
Задача 3

Задача 3

  • Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?
  • Ответ: Да. Например: 3/4 * 8/3 = 2.
Перефразирование За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур? Решение.

Перефразирование

  • За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?

Решение.

  • Перефразируем задачу так: «Какова стоимость кухонного гарнитура, если ее половина равна 41600 рублей?»
  • Ответ: 83200 рублей.
Задача 2  Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?   Решение.   Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?»   Ответ: увеличится на 60.

Задача 2 Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?

Решение. Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?» Ответ: увеличится на 60.

Задача 3

Задача 3

  • Ученики одного класса в течении 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 р. 1 к. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?
Решение Так как каждый месяц учащиеся вносили

Решение

Так как каждый месяц учащиеся вносили

  • 64 001 : 7 = 9 143 коп, то число 9 143 является произведением числа учеников класса на ежемесячный взнос. Существуют лишь две возможности представления числа 9 143 в виде произведения натуральных чисел: 9 143 = 9 143 × 1 и 9 143 = 223 × 41. Исходя из условия задачи, получаем, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 р. 23 к.
Самостоятельная работа № 1 В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим. № 2 Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями? № 3 Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере? № 4 Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Самостоятельная работа

№ 1 В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.

№ 2 Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями?

№ 3 Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?

№ 4 Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Спасибо за урок!!!

Спасибо за урок!!!


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 5 класс.
Урок соответствует ФГОС

Автор: Редько Ксения Юрьевна

Дата: 18.06.2014

Номер свидетельства: 106785

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства