kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Разработка уроков по математике для работы с одаренными детьми "Некоторые эвристические приемы решения задач"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработка уроков содержит конспект урока и презентацию с достаточно большим количеством задач на каждый прием. Приведены задачи для самостоятельнеого решения. Разработка расчитана на 5-6 классы. Можно использоватьпри подготовке детей к олимпиадам.

Тема: «Некоторые эвристические приемы решения задач»

Цели урока:

- предметные: рассмотреть некоторые эвристические приемы решения задач, познакомить с методами и приемами решения олимпиадных задач;

- метапредметные: развивать  умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать понятие площади;

 - личностные: развивать познавательный интерес через игровые моменты  взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости  интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта  настойчивости для достижения цели.

Тип урока: комбинированный.

Методы: по источникам знаний: словесные, наглядные, практический.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная

Оборудование: тетради, ручки, ноутбук или проектор для просмотра презентации.

Некоторые эвристические приемы решения задач

  • введение вспомогательной неизвестной
  • крайних случаев рассмотрение
  • контрольный и подтверждающий пример
  • перебор
  • перефразирование
  • прием получения следствий
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«эвристич задачи»

Некоторые эвристические приемы решения задач

(методическая разработка урока)


Тема: «Некоторые эвристические приемы решения задач»

Цели урока:

- предметные: рассмотреть некоторые эвристические приемы решения задач, познакомить с методами и приемами решения олимпиадных задач;

- метапредметные: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать понятие площади;

- личностные: развивать познавательный интерес через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

Тип урока: комбинированный.

Методы: по источникам знаний: словесные, наглядные, практический.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная


Оборудование: тетради, ручки, ноутбук или проектор для просмотра презентации.


Некоторые эвристические приемы решения задач

  • введение вспомогательной неизвестной

  • крайних случаев рассмотрение

  • контрольный и подтверждающий пример

  • перебор

  • перефразирование

  • прием получения следствий







Ход урока.

  1. Организационные моменты.

Знакомство детей. Игра «Снежный ком».

Деление на 3 группы.

  1. Изучение нового материала

Введение вспомогательной неизвестной

Задача 1
Вычислить наиболее удобным способом

Введем вспомогательную переменную (замена)


Ответ: 9/125.

Задача 2
Вычислить: 2379 × 23782378 – 2378 × 23792379
Решение.
Выполним замену 2378 = х.

2379 = х + 1,

23782378 = 10000 х + х,

23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1
(x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)
Ответ: 0



Перебор
Задача 1
Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?
Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Задача 2
Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?
Решение
Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.
Ответ: 10.

Задача 3

Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Решение.
На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре, страниц 10-99 – по две цифры, страниц 100-500 – по три цифры, причем 1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392. Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.
Ответ: 500 страниц.

Крайних случаев рассмотрение

Задача 1
Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
Решение
Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.

Задача 2
Расстояние от пункта А до пункта В 6 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а) 19 км? б) 6 км? в) 10 км? г) 4 км?
Решение
Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет

Контрольный и подтверждающий пример

Задача 1
Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
Ответ: Нет. Например: 8 × 13 = 104 100, но 8
Задача 2
Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

Ответ: Да, можно. Например: 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15 × 3 × 1 × 1 × … × 1. 27 единиц

Задача 3
Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?
Ответ: Да. Например: 3/4 * 8/3 = 2.

Перефразирование
Задача 1
За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?
Решение.
Перефразируем задачу так: «Какова стоимость кухонного гарнитура, если ее половина равна 41600 рублей?»
Ответ: 83200 рублей.

Задача 2
Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?
Решение.
Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?»
Ответ: увеличится на 60.

Задача 3
Ученики одного класса в течении 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 р. 1 к. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?
Решение
Так как каждый месяц учащиеся вносили 64 001 : 7 = 9 143 коп, то число 9 143 является произведением числа учеников класса на ежемесячный взнос. Существуют лишь две возможности представления числа 9 143 в виде произведения натуральных чисел: 9 143 = 9 143 × 1 и 9 143 = 223 × 41. Исходя из условия задачи, получаем, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 р. 23 к.

Прием получения следствий
Задача 1
Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех Ваших прапрабабушек и прапрадедушек?
Решение
Так как у каждого человека было 8 прапрабабушек и 8 прапрадедушек, а у каждого из этих 16 человек так же было по 16 прямых предков в «четвертом колене», то искомое число равно
16 × 16 = 256.
Ответ: 256.

Задача 2
Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?
Решение
Делимое в 6 раз больше делителя означает, что частное равно 6. Отсюда, если частное равно 6, а делитель в 6 раз больше частного, то делитель равен 36. Окончательно получаем, что делимое равно 36 × 6 = 216.
Ответ: 216.

Задача 3
Жили дед и баба. Была у них курочка Ряба. Курочка несет каждое второе яичко простое, а каждое третье – золотое. Может ли такое быть?
Ответ: нет. Шестое яичко будет и вторым, и третьим, так как 6 : 2 и 6 : 3.


  1. Самостоятельная работа по группам. (7 мин)

Задача 1

В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.

Ответ: а) 852 б) 352.


Задача 2

Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями? Ответ: нет.


Задача 3

Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?

Ответ: 420 дней.


Задача 4

Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Решение.

Если треть числа – это 1/2, то само число равно 3 * 1/2 = 3/2.

Ответ: 3/2.


  1. Подведение итогов. Рефлексия (самооценка).



Просмотр содержимого презентации
«эвристич задачи»

Некоторые эвристические приемы решения задач

Некоторые эвристические приемы решения задач

•  введение вспомогательной неизвестной •  рассмотрение крайних случаев •  контрольный и подтверждающий пример •  перебор •  перефразирование •  прием получения следствий

• введение вспомогательной неизвестной

• рассмотрение крайних случаев

• контрольный и подтверждающий пример

• перебор

• перефразирование

• прием получения следствий

Введение вспомогательной неизвестной Вычислить наиболее удобным способом   Решение

Введение вспомогательной неизвестной

  • Вычислить наиболее удобным способом
  •  

Решение

Введем вспомогательную переменную (замена)  
  • Введем вспомогательную переменную (замена)
  •  

Ответ: 9/125.

Задача 2 Вычислить: 2379 × 23782378 – 2378 × 23792379

Задача 2

  • Вычислить:

2379 × 23782378 – 2378 × 23792379

Выполним замену 2378 = х. 2379 = х + 1, 23782378 = 10000 х + х, 23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1   (x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)=   Ответ: 0

Выполним замену 2378 = х.

2379 = х + 1,

23782378 = 10000 х + х,

23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1

(x+1)*(10000x+x)-x* (10000 (х + 1) + х + 1)=

Ответ: 0

Перебор Задача 1  Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?   Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Перебор

Задача 1 Сколько имеется двузначных чисел, у которых

а) среди цифр есть хоть одна пятерка?

б) цифра десятков меньше цифры единиц?

в) цифра десятков больше цифры единиц?

Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Задача 2 Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?

Задача 2

Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?

Решение  Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.   Ответ: 10.
  • Решение Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.
  • Ответ: 10.
Задача 3   Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?   Решение.  На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре, страниц 10-99 – по две цифры, страниц 100-500 – по три цифры,

Задача 3

  • Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решение. На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре,

страниц 10-99 – по две цифры,

страниц 100-500 – по три цифры,

Причем  1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392. Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.   Ответ: 500 страниц.

Причем

1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392.

Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.

Ответ: 500 страниц.

Рассмотрение крайних случаев

Рассмотрение крайних случаев

  • Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
Решение  Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.
  • Решение Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.
Задача 2

Задача 2

  • Расстояние от пункта А до пункта В 6 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а) 19 км? б) 6 км? в) 10 км? г) 4 км?
В 6 км А С

В

6 км

А

С

6 км

6 км

Решение  Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А не расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км.  Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет
  • Решение Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А не расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км. Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет
Контрольный и подтверждающий пример Задача 1

Контрольный и подтверждающий пример

Задача 1

  • Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
  • Ответ: Нет. Например: 8 × 13 = 104 100, но 8
Задача 2

Задача 2

  • Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?
  • Ответ: Да, можно. Например: 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15 × 3 × 1 × 1 × … × 1. 27 единиц
Задача 3

Задача 3

  • Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?
  • Ответ: Да. Например: 3/4 * 8/3 = 2.
Перефразирование За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур? Решение.

Перефразирование

  • За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?

Решение.

  • Перефразируем задачу так: «Какова стоимость кухонного гарнитура, если ее половина равна 41600 рублей?»
  • Ответ: 83200 рублей.
Задача 2  Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?   Решение.   Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?»   Ответ: увеличится на 60.

Задача 2 Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?

Решение. Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?» Ответ: увеличится на 60.

Задача 3

Задача 3

  • Ученики одного класса в течении 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 р. 1 к. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?
Решение Так как каждый месяц учащиеся вносили

Решение

Так как каждый месяц учащиеся вносили

  • 64 001 : 7 = 9 143 коп, то число 9 143 является произведением числа учеников класса на ежемесячный взнос. Существуют лишь две возможности представления числа 9 143 в виде произведения натуральных чисел: 9 143 = 9 143 × 1 и 9 143 = 223 × 41. Исходя из условия задачи, получаем, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 р. 23 к.
Самостоятельная работа № 1 В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим. № 2 Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями? № 3 Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере? № 4 Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Самостоятельная работа

№ 1 В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.

№ 2 Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями?

№ 3 Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?

№ 4 Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Спасибо за урок!!!

Спасибо за урок!!!


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 5 класс.
Урок соответствует ФГОС

Автор: Редько Ксения Юрьевна

Дата: 18.06.2014

Номер свидетельства: 106785


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
2110 руб.
2640 руб.
1810 руб.
2260 руб.
1550 руб.
1940 руб.
1920 руб.
2400 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства