Разработка открытого урока по математике «Решение показательных уравнений и неравенств» Урок семинар-решение проблемных задач (КТО).

КГУ «Акбастауская СОШ»

Разработка открытого урока

по математике

«Решение показательных уравнений и неравенств»

Урок семинар-решение проблемных задач (КТО).

Подготовила:

Мейрманова Ш.К.,

учитель математики.

2013-2014 учебный год

Тема: « Решение показательных уравнений и неравенств»

Тип урока: урок семинар-решение проблемных задач (КТО).

Цель: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия для коррекции, контроля знаний и умений учащихся.

Задачи :

образовательные: повторить и систематизировать знания по основным методам решения «Простейших показательных уравнений и неравенств», познакомить учащихся с историческими событиями, показать связь математики с другими науками;

развивающие : развивать интерес к изучению предмета, их стремление глубже усвоить предмет, учить проявлять математическую грамотность в широком спектре;

воспитательные: воспитывать нестандартно логически мыслящую личность, выражать свою точку зрения в соответствии с нормами этикета;

Форма организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная;

Методы: частично-поисковый, технология сотрудничества, самопроверка, взаимопроверка, наглядности, тестовая проверка знаний;

Оборудование: интерактивная доска, оценочный лист, презентация в программе Power Point, карточки с заданиями, сигнальные карточки ,рейтинговая таблица;

Эпиграф урока: «Доводы, до которых человек додумался сам, убеждают больше, чем те, которые пришли в голову к другим»

Структура урока

1. Организационное начало: (задачи урока, тип урока, ознакомление со структурой урока, экспресс-диагностика готовности учащихся к уроку)

Ф.И.ученика___________________________

Готов(а) работать на уроке: 1 2 3 4 5

Работал(а) на уроке: 1 2 3 4 5

1. Подготовка учащихся к активному усвоению знаний, то есть фронтальная работа по трем направлениям:

1)заполни пропуски (знание теоритического материала: определения, свойства, характеристики показательных уравнений и неравенств)

2)понимание теоритического материала (найди идеи решения показательных уравнений и неравенств)

3)применение теоритических знаний (объясни решение показательного уравнения и неравенства)

Работа строится с использования сигнальных карточек и оценочных листов. Во фронтальную работу входит по 10 вопросов. Каждый правильный ответ на вопрос соответствует 0,5 баллу. Значит, за первый этап урока ученик может набрать 5 баллов.

1. Исторический этап - история развития показательной функции.

Говорят, все в жизни начинается с истории. И наш урок не исключение. Не много из истории великих открытий. (Примерные справки учащихся)

Количество баллов за историческую справку – 2 балла

1. Основная часть «Решения проблемных задач»

Учащимся были даны неравенства и уравнения решаемые, сочетанием нескольких способов, функционально-графическим методом или несколькими способами.

Учащиеся предлагают свой вариант решения и защищают метод решения. Максимальное количество баллов за решение показательных уравнений или неравенств – от 5 до 10 баллов.

Примеры

Пример 1. Решите уравнение: 22^2x - 5^x + 33^2x = 0.

Решение.

22^2x - 5^x + 33^2x = 0 2^2x - 5^x3^x + 33^2x = 0 2 -  + 3 = 0

2^2x - 5^x + 3 = 0

Пусть t = ^x, t0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0   , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

     .

Ответ: 

Пример 2. Решите уравнение: 8^x + 18^x - 227^x = 0 .

Решение.

8^x + 18^x - 227^x = 0   +  - 2 = 0 2^3x + 2^x 3^2x - 23^3x = 0

  +  - 2 = 0   +  - 2 = 0.

Пусть  = t, t0 , тогда t³ + t - 2 = 0 (t³ - 1) + (t -1 )= 0 (t-1) (t² +t +1) + (t - 1) (t - 1) (t² + t +2) = 0    t - 1= 0 t=1. (t0)

Вернемся к переменной х:  = 1  =  x = 0 .

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :

= t , тогда =  .

Пример 3. Решите уравнение: 

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

 .

Ответ: .

Уравнения, имеющие вид Aa^m = Bb^m.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на a^m, либо на b^m. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7^х = 5^х.

Решение.

7^х = 5^х   = 1   =   x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ: 2.

Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение:  ^.

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

 ^(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение  не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение:  .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

 .

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение  не имеет.

Ответ: 1.

^{Графический способ решения уравнений вида f(x).}

^{Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение).}

^{Примеры.}

^{Пример 1. Решите уравнение: .}

^{Решение.}

^{1.Рассмотрим две функции: f(x) =  и g(x) = x+1.}

^{2.Графиком функции f(x) =  является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций:}

х	-1	0	1	2	3
f(x) =			1	2	4
х	0	3
g(x)= x+1	1	4

^{4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек:  . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:}

^{Ответ: 3;  .}

^{Пример 2. Решите уравнение:  .}

^{Решение.}

^{1. Рассмотрим две функции f(x) =  и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :}

 ^{= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .}

^{2. Функция f(x) = - показательная по основанию  и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.}

^{Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.}

х	-3	-2	-1	0	1	2
f(x) =	8	4	2	1
х	1	4
g(x) =		2

^{4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.}

^{Примечание:}

^{Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.}

^{В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.}

1. Тест-опрос « Удивительно ,но факт »(анализ применения методов решения показательных уравнений и неравенств) Тест- опрос активизирует познавательную деятельность учащихся, позволяет получить оперативный результат контроля усвоения материала ,снимает психологический барьер . За тест-опрос можно получить 3 балла.

Вопрос №1. О чем идет речь?

ОСОБЕННОЕ!
=36

Вопрос №1. О чем говорит этот блок показательных неравенств?

Лишнее, НО!

Вопрос №3. Что бы это значило?

Нельзя!

Можно!

1. Математический тренажер

№	Варианты заданий		Варианты ответов					Есть ли ошибка в решении
								Задача. Решите систему уравнений Решение: обозначим =а, =в, тогда система запишется так Решим эту систему способом подстановки: а=3в-5, -4в+3=0, Найдем значения а. Возвратимся к принятым обозначениям: = -8, данные уравнения решений не имеют, так как -8 2) = -14, данные уравнения решений не имеют, так как -14
	В – 1	В – 2	А	В	С	Д
1			1	0	-1	2
2			х	х≤1	х≥-1	х≥-1
3			х≤0	х≤-1	х≤3	х≥6
4			Х=1, Х=2	Х= -1	Х=1	Х= -1 Х=2
5			Х= -2	Х=2	Х=1	Х= -1

За урок можно набрать от 10 до20 баллов. Результаты вносятся после каждого этапа в рейтинговую таблицу, после проведения урока подводится итог, рефлексия.