«Проектирование многоуровневой системы задач с параметром «Линейные уравнения ». 7 класс

«Проектирование многоуровневой системы задач с параметром «Линейные уравнения ». 7 класс

ФИО (полностью)	Севрюгина Марина Александровна
Место работы	Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Студенцы
Должность	Учитель математики
Предмет	Алгебра
Класс	7
Тема	«Проектирование многоуровневой системы задач с параметром «Линейные уравнения »
Базовый учебник	Алгебра. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2010. — 215 с.

В объяснительной записке программ по математике для общеобразовательных учреждений говорится: «Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по алгоритму и конструировать новые». Конструированию нового всегда предшествует исследование.

Большим потенциалом в развитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать, выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др., безусловно, обладают задачи с параметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами), которые в последние годы стали широко использоваться как на школьных экзаменах, так и при поступлении в высшие учебные заведения.

Уравнения и неравенства с параметрами - эта тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание материала. Кроме того, учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, будут более творчески подходить к решению любой задачи.

Задачи такого вида интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, эти задачи позволяют ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: данные задачи могут быть как высокого уровня сложности, так и включают в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

К сожалению, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены в учебниках для массовых школ и, как правило, в школьном курсе на них мало обращают внимания. Это недостаток школьного обучения.

В последние годы в связи с изменениями в образовании, остро стоит вопрос об организации учебного процесса, направленного на развитие творческих способностей и навыков исследовательской деятельности.

Было установлено, что задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Они обладают большим потенциалом в развитии интеллектуальных качеств личности, так как развивают исследовательские способности, учат творчески мыслить, помогают сформировать и развить творческое мышление.

Решение уравнений и неравенств с параметрами является эквивалентом эксперимента. С одной стороны, способствует лучшему усвоению базового курса математики, а с другой - служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории.

Понимая, какое важное значение задачи с параметрами играют в развитии учащихся, и учитывая потенциальные возможности учеников среднего школьного возраста, был сделан вывод, что задачи с параметрами должны включаться в школьный курс математики, начиная с 7 класса. Конечно, уровень сложности предполагаемых заданий должен определяться уровнем подготовки всего класса в целом и каждого ученика в отдельности.

Цель изучения данных задач основана на формировании:

• целостной системы решения упражнений с модулями и параметрами,

• навыков организации учащимися самостоятельных

микроисследований.

Основные задачи достижения этой цели:

• способствовать развитию у учащихся поисковой активности, наблюдательности, сообразительности, смекалки;

• формирование самостоятельной проективной, преобразовательной, рефлексивной деятельности учащихся;

• развитие общекультурного кругозора учащихся.
  
  
  

Ожидаемые результаты:

• рост мотивации к дальнейшему изучению математики и овладение следующими умениями:

1.Обще-учебными (внимательно читать текст, находить ответ на вопрос, составлять таблицу, четко и полно оформлять запись найденного решения, контролировать выполненные действия).
2. Обще-логическими (выделять главное, проводить анализ, синтез, сравнение, обобщение, делать выводы, правильно формулировать вопросы)
3.Предметными (постановка вопроса к данному условию задачи, составление математической модели, овладение основными арифметическими и алгебраическими способами решения задач и др.).
4. Коммуникативными (принимать участие в совместной деятельности, работать в парах, в малых группах, вести диалог с учителем, с товарищами).

БЛОК БАЗОВЫХ ЗАДАЧ

Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

1.При каком значении коэффициента а прямая у=3ах – 2 проходит через точку А(1;-4).

Решение: у=3ах-2

Подставим х=1, у=-4, получим

-4=3а-2

3а=-4-2

а=-2

Ответ: а=-2

2.Найдите значение коэффициента а в уравнении 4x + аy = 10, если известно, решением этого уравнения является пара чисел (1;2).

3.При каком значении коэффициента а уравнение 3ах+4=2х имеет корень равный -1.

4. Решить уравнение ах=1.

Решение:

ах=1.

х=_

1. если а=0, то нет решений

если а≠0, то х=_

Ответ: если а=0, то нет решений; если а≠0, то х=_

5.Решить уравнение a x-5=0.

6.Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 6y - 20 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел (2;3).

7.Из уравнения 15а-5b=30 выразите переменную b через а

Решение:

15a-5b=30

-5b=30-15а

b= 3a-6

Ответ: b=3a-6

8.Из уравнения 3u + v = 5 выразите переменную v через u.

9. Решить уравнение (а+4)х-2=а, где а – параметр.

БЛОК МОДИФИЦИРОВАННЫХ ЗАДАЧ

В задачах этого блока требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Они видоизменены за счёт:

1. Увеличения технической сложности и трудности

2. Переформулирования условия задачи и создания способов её решения

3. Необычной формы представления условия задачи

1.Считая а данным числом, решите уравнение относительно x

3(x + a) = 2(x - a)

Решение:

3(х+а)=2(х-а) Умножим обе части уравнения на 0,5

1,5(x + a)= x - a

1,5х +1,5а – х + а=0

0,5x + 2,5a = 0

x = -2,5a : 0,5

х= -5а

Ответ: x = -5a.

2.Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-3)х=12является целым числом.

Решение:

(а-3)х=12

Выразим х через а

х = 12

а-3

1)если а = 3, то уравнение корней не имеет

2)если а≠ 3, то х = 12

а-3

Перебором находим, что а є {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15}.

Ответ: а є {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15}.

3. Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-3)х=10 является правильной дробью..

4.При каких значениях а уравнение 3(2х-3а)=3+ах не имеет решения.

Решение:

3(2х-3а)=3 +ах

Выразим х через а

6х-ах=3+9а

х(6-а)=3+9а

х= 3+9а

6-а

1)если а=6, то уравнение корней не имеет

2)если а≠ 6, то х= 3+9а

6-а

Ответ: а=6

5. Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными _

к виду линейной функции у=kх+n

6. При каких значениях параметра а уравнение 3(а+х)=2(1-х) имеет положительное решение

7.График функции 2х +bу=с проходит через точки А(10;-4), В(-6;2). Чему равны значения b и с?.

8.График функции 4х-7у-с=0 пересекает ось ординат в точке с ординатой 1. Найдите значение с.

БЛОК ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ

Задачи, для которых требуется найти все те значения параметра при которых указанная задача имеет заданное число решений. Они носят исследовательский характер. Их решение основывается на :

1.Методе выдвижения гипотез

2. Видения нового ракурса решения

3.Подключения новых идей и новых комбинаций

1.При каком значении а графики функций  

2х + 3y = 6 и 3x + ay =10 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

Решение:

Графики функций пересекаются в точке принадлежащей оси ординат, значит

эта точка имеет координаты (0;у).

составим уравнение и выразим у

2х+3у-6=3х+ау-10

2х-3у-6-3х-ау+10=0

-х-у(3+а)+4=0

-х-у(3+а)=-4

-у(3+а)=х-4

у=_

Т.к. х=0, то у= _

1) при а=3, точки пересечения нет

2)при а≠ 3, точка пересечения имеет координаты (0; у= _)

Ответ: при а≠ 3, точка пересечения имеет координаты (0; у_)

2. При каком значении k  прямые 3х + 2y = 5 и kx – 5y = 10 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

3. Решить уравнение_: | х- 1|=а

Решение:

По определению модуля а ≥ 0. При а

Решим уравнение графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций у= а, у= | х- 1|

Из графиков видим, что

1. при а=0 уравнение имеет один корень

2. при а 0 уравнение имеет два корня

х₁-1=а х₁=а+1

1-х₂=а х₂=1-а

Ответ: при а=0 уравнение имеет один корень

при а 0 х₁=а+1; х₂=1-а

4. Решить уравнение_: | 5х- 3|=а

5. Решить уравнение: _=0

Решение:

ОДЗ: уравнение имеет смысл при всех х≠-3

С учётом ОДЗ приведём уравнение к равносильному линейному

х-а=0

х=а

1.если а=-3, то уравнение решения не имеет

2. если а ≠-3, то х=а

Ответ: при а=-3, корней нет; а ≠-3, х=а

6. Решить относительно х уравнение +_=_

Решение:

ОДЗ: (m-2)(х+4) ≠ 0, т.е. т ≠ 2, х ≠ -4.

Умножив обе части уравнения на (т-2)(х+4) ≠0, получим уравнение

6x(т-1)=33-17т.

х =_, при т ≠ 1

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений т, при которых найденное значение х равно -4.

_ =-4 при т =-_

Таким образом, при т ≠2, т ≠ 1, т ≠ -_ уравнение имеет единственное решение

х =._,

При т=-_ и при т=1 решений нет, при т =2 уравнение не имеет смысла.

Ответ: при т ≠1, т ≠ 2 т ≠ -_, х = _,

при т=1 и при т= -_решений нет ;

при т =2 уравнение не имеет смысла.

Литература

1.  Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина,

Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2010.

2. Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия

«Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово –учебная книга», 2003. 

3. Макарычев Ю. Н., Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. «Алгебра 7 класс» под

редакцией С.А.Теляковского, Издательство: М., «Просвещение»

4 Г.В. Сычева, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев Алгебра. Нестандартные задачи. Экспресс –репетитор. М.Астрель.

Приложение

Б

2.Найдите значение коэффициента а в уравнении 4x + аy = 10, если известно, решением этого уравнения является пара чисел (1;2).

Решение: подставим координаты точек в данное уравнение

4х+2а=10

2а=6

а=3

ответ: а=3

3.При каком значении коэффициента а уравнение 3ах+4=2х имеет корень равный -1.

Решение: подставляя в уравнение вместо х (-1) и получаем уравнение

-3а+4=-2

-3а=-6

а=2

ответ: а=2

5. Решить уравнение a x-5=0.

Решение: 1)если а=0, то решений нет

2)если а≠0, то х=_

6.Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 6y - 20 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел (2;3).

Решение: подставим вместо х и у числовые значения

2а+18-20=0

2а=-2

а=-1

ответ: а=-1.

8.Из уравнения 3u + v = 5 выразите переменную v через u.

Решение: v=5-3u

9. Решить уравнение (а+4)х-2=а, где а – параметр.

Решение: 1) если а=-4, то решения нет

2) если а≠-4, то х=_

М.

3. Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-3)х=10 является правильной дробью..

Решение:1) если а=3 , то решения нет

2)если а≠3, то х=_

а-3_10

а_13

ответ: при а_13 корень уравнения будет правильной дробью.

5. Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными _

к виду линейной функции у=kх+n

решение: умножим обе части равенства на 4.

2х-у+4=0

у=2х+4

ответ: у=2х+4

6. При каких значениях параметра а уравнение 3(а+х)=2(1-х) имеет положительное решение

Решение:

3а+3х=2-2х

3а+3х-2+2х=0

3а=2-5х

а=_

7.График функции 2х +bу=с проходит через точки А(10;-4), В(-6;2). Чему равны значения b и с?.

Решение: подставим координаты точек в уравнение

_ -4=3c _c=-_{ }b=10_

8.График функции 4х-7у-с=0 пересекает ось ординат в точке с ординатой 1. Найдите значение с.

Решение: точка пересечения имеет координаты(0;1), подставим значения точки в уравнение 4х-7у-с=0 и получим с=-7

И

2. При каком значении k  прямые 3х + 2y = 5 и kx – 5y = 10 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

Решение: точка пересечения имеет координаты(х;0)

3х+2у-5=kх-5у-10

3х-kх+2у+5у-5+10=0

х(3-k)+7у+5=0

х=_, т.к. у=0, то х=_,

1)при k=3 точки пересечения нет

2) при k_3 точка пересечения имеет координаты (_;0)

4. Решить уравнение_: | 5х- 3|=а

Решение:

По определению модуля а ≥ 0. При а

Решим уравнение графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций у= а, у= | 5х- 3|

1. при а=0 уравнение имеет один корень

2. при а 0 уравнение имеет два корня

5х₁-3=а х₁=_

3-5х₂=а х₂=_

Ответ: при а=0 уравнение имеет один корень

при а 0 х₁=_; х₂=_