«Применение теоремы Виета для выяснения знаков корней уравнения ax2 + bx + c = 0»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Батагайская средняя общеобразовательная школа»

«Применение теоремы Виета для выяснения знаков корней

уравнения ax² + bx + c = 0»

Учитель математики

Винокурова Л.И.

Батагай

2013г.

План

1. Введение.

II. Применение теоремы Виета для выяснения знаков корней

уравнения ax² + bx + c = 0

1. Заключение

2. Литература

Профильное обучение в старших классах давно стало требованием времени, но переход к нему достаточно труден. Как учащемуся и родителям выбрать нужный профиль? Что же поможет сделать более осознанный выбор? Это элективные курсы, проводимые в 10 - 11 классах, которые и призваны помочь школьникам объективно оценить свои способности к обучению по различным профилям, осуществить выбор профиля, соответствующего способностям и интересам. Данный курс должен дать учащимся возможность самостоятельно или с помощью учителя ощутить вкус к математике, почувствовать ее красоту, обнаружить в себе математические способности, пробудить интерес к математике у тех, кто его до сих пор не испытал. Ведь знание математики необходимо во всякой технической, инженерной профессии, в любой отрасли естественно- научного знания, а без интереса к предмету не стоит выбирать и соответствующий профиль. Курсы профильной подготовки не должны дублировать базовый курс. Они должны подготовить ученика не только к сдаче экзаменов, но к успешному обучению в профильной школе. Основная задача элективного курса в 8 - 9 классах заключается в том, чтобы как можно полнее развить потенциальные и творческие способности каждого слушателя курса, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ), совмещающий выпускные школьные экзамены и вступительные испытания в ВУЗы прочно вошел в нашу жизнь с 2001 года. Также в течение многих лет на вступительных экзаменах по математике предлагаются задачи с параметрами. Их решение часто вызывает у абитуриентов и даже учителей определенные трудности, поскольку эти задания, как правило, связаны и исследованием искомых решений в зависимости от значений параметра.

Уравнения, содержащие параметр, встречаются впервые при изучении квадратных уравнений в школе. Обычно это задания на исследования количества корней уравнения в зависимости от значения параметра. И на этом почти прекращается использование параметра при изучении школьной программы по математике для средних общеобразовательных школ. Поэтому необходимо ввести ряд пунктов содержащих сведения, выходящих за рамки стандартной базовой школьной программы, что будет полезным для учащихся, которым интересна математика.

Предлагаемый курс «Применение теоремы Виета для выяснения знаков корней

уравнения ax² + bx + c = 0» направлен на расширение знаний учащихся, повышения уровня математической подготовки через решения достаточно большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих параметр, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических олимпиадах, конкурсах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.

В школьных учебниках отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Задачи по данной теме включаются в материалы итоговой аттестации учащихся за курс основной школы (малое ЕГЭ), в КИМ-ах ЕГЭ, в конкурсных задачах. Так как в 10-11 классах общеобразовательных школ на изучение математики выделяются 4 часа (2 алгебры и начала анализа и 2 часа геометрии), то более эффективно изучение данного класса задач на факультативных занятиях и на элективных курсах. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору дальнейшего обучения.

II. Соотношение между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603).

Теорема: Пусть x₁, x₂ – корни квадратного уравнения у = ax² + bx + c = 0.

Тогда сумма корней равна - , а произведение корней равно :

x₁ + x₂ = -

x₁ x₂ = .

Используем теорему Виета для выяснения знаков корней уравнения ax² + bx + c = 0.

I. если

Представим графическую иллюстрацию:

II. если

Представим графическую иллюстрацию:

III. если

Представим графическую иллюстрацию:

IV. если

Представим графическую иллюстрацию:

Рассмотрим ряд примеров:

1. Исследовать уравнение на знаки корней в зависимости от значений параметра a.

(a – 2)x² + 2(a – 3)x + a – 5 = 0

D = 4(a² – 6a + 9) – 4(a – 5)(a – 2) = 4a² – 24a + 36 – 4a² + 8a + 20a – 40 = 4a – 4 = 4(a – 1)

a) , если

Получим систему неравенств:

Графическая иллюстрация:

Нет решения,

b) если

Получим,

Графическая иллюстрация:

a

c) ,

Получим систему неравенств:

Графическая иллюстрация:

d) , если

Графическая иллюстрация:

Ответ:

1) При a .

2) При .

3) При .

4) Не существует значения параметра a, при котором оба корня были бы положительны.

2. Определить знаки корней в зависимости от параметра k

(k² – 1) x² + 2(k – 1)x + 2 = 0

D = 4 (k² – 2k + 1) – 8(k² – 1) = 4k² – 8k + 4 – 8k² + 8 = - 4k² – 8k + 12 = - 4(k² + 2k – 3) = - 4(k – 1) (k + 3) = 4(1 – k) (k + 3)

a) , если

Получим систему неравенств:

Графическая иллюстрация:

b) , если

Получим систему неравенств:

Графическая иллюстрация:

Не существует значений параметра k при которых оба корня отрицательны.

с) , если

Получим

Не существует таких значений параметра k при которых

.

d)

Графическая иллюстрация:

Ответ:

1) При .

2) Не существует значений параметра k при которых оба корня отрицательны.

3) Не существует таких значений параметра k при которых

.

4) При .

3. Исследовать уравнение и определить знаки корней в зависимости от значений параметра a

(a + 5)x² + (2a – 3)x + a – 10 = 0

D = 4a² – 12a + 9 – 4(a – 10)(a + 5) = - 12 + 9 – 20a + 40a + 200 = 8a + 209

Графическая иллюстрация:

a) При D

b) При D

x_1,2 = .

c) При a = - 26 D = 0 .

d) При a = - 5 0x² – 13x – 15 = 0

x = - .

e) , если

Получим систему неравенств:

Таких значений параметра a не существует.

f) ¸ если

g), если

i) При a = 10 15x² + 17x = 0

x(15x + 17) = 0

x = 0 или x = -.

l) При a = 1,5 6,5x² – 8,5 = 0

x² =

x =

Ответ:

1) При x_1,2 = , где .

2) При x_1,2 = , где .

3) При x_1,2 = , где .

4) При решений нет.

5) При a = - 26 .

6) При a = - 5 .

7) При a = 1,5 x = .

8) При a = 10 x = 0, x = -.

4. Дано уравнение 4x² – (3k + 2)x + k² – 1 = 0, где x₁, x₂ – корни данного уравнения. При каких значениях параметра k x₁ = 3x₂ ?

По теореме Виета запишем

Так как x₁ = 3x₂

Составим уравнение:

3(9k² + 12k + 4) = 64(k² – 1)

27k² + 36k + 12 = 64k² – 64

37k² – 36k – 76 = 0

D = 18² + 3776 = 324 + 2812 = 3136 = 56²

k₁ =

k₂ =

Ответ: при k = 2 или k = .

5. Дано уравнение

x² + (m – 1)x + m – 2 = 0

При каком значении параметра m сумма квадратов корней будет наименьшей?

Так как = ()² – 2x₁x₂, то = (1 – m)² – 2(m – 2) = 1 – 2m + m² – 2m + 4 = m² – 4m + 5 = (m – 2)²

Данное выражение достигает наименьшего значения при m – 2 = 0, т. е. m = 2

Если m = 2, то x² + x = 0

x(x + 1) = 0

x = 0 или x = - 1

Ответ: достигает наименьшего значения при m = 2.

6. Найти область изменения наибольших и наименьших значений для данной функции:

Графиком этой функции является парабола. Если p - 2, то ветви параболы направлены вверх. Если p x₀ = - , y₀ = - .

Обозначим

Тогда, - p² + 24p – 48 = 4t (p + 2)

- p² + 4(6 – t)p – 48 – 8t = 0

p² – 4(6 – t) + 48 + 8t = 0

D = 4(36 – 12t + t²) – 48 – 8t = 4(t² – 12t + 36 – 12 – 2t) = 4(t² – 14t + 24) = 4(t – 12)(t – 2) 0

Графическое решение:

Получили t 2 или t 12.

a) t 2

При p - 2 ветви параболы направлены вверх и t 2, т.е. y_наим 2.

b) t 12

Графическое решение:

При p t 12, т.е. y_наим 12.

Ответ:

1) При .

2) При .

Заключение.

Как говорилось выше, решению задач на параметры в стандартной базовой школьной программе уделяется очень мало внимания. Поэтому трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметры» смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться. Ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами

Список использованной литературы:

1. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. – М., «Просвещение», 1971.

2. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – М.: «Московский университет», 2006.

3. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами. – М.: «Московский университет», 2006.

4. Арлазаров В.В. и др. Лекции по математике для физико-математических школ. Часть I. – М.: «URSS», 2007.

5. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: «Илекса».,1998.