Применение свойсв при преобразовании ирационнальных выражений

Урок 33

Тема: Применение свойсв при преобразовании ирационнальных выражений

Цель урока: Продолжить работу по формированию умений выполнять преобразования иррациональных выражений.

Задачи:

Развитие умений правильно выполнять преобразования иррациональных выражений.

• развитие логического мышления, вычислительных навыков;

• формирование потребности в приобретении знаний.

Тип урока- урок закрепления полученных знаний.

Ход урока.

1. Организационный момент

-приветствие учащихся

- сообщение темы

2. Повторение

В предыдущих параграфах мы познакомились с операцией извлечениякорня п-й степени из действительного числа, изучили свойства этой операции, а именно (для неотрицательных значений а и b):

Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения корня (выражений с радикалами), — такие выражения называют иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразования иррациональных выражений.
Пример 1. Упростить выражения: 

Решение: а) Представим подкоренное выражение 32а⁵ в виде 16- а⁴- 2а и воспользуемся формулой (2); получим: 
Полученное выражение считается более простым, чем заданное, поскольку под знаком корня содержится более простое выражение. Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак радикала.
б) Воспользовавшись формулой (4), получим:

Представим подкоренное выражение а¹⁰ в виде а⁹ -а и воспользуемся формулой (2); получим:

Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак радикала.

Вспомните формулу  которую вы изучали в курсе алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного показателя корня 
Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет уверенности в том, что переменные принимают только неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня в выражении , следует (если о знаке числа х ничего не известно) рассуждать так:

Наряду с вынесением множителя за знак радикала в необходимых случаях используется и преобразование, так сказать, противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала. Это преобразование мы используем в следующих двух примерах.
Пример 2. Сравнить числа 
Решение. Имеем:

Пример 3. Упростить выражение 
Решение. Сначала внесем множитель х¹ под знак корня 3-й степени:

Теперь заданное выражение можно записать так: 
Воспользовавшись формулой (5), мы можем последнее выражение записать в виде

Пример 4. Выполнить действия:

Решение: а) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:

Воспользовавшись формулой (6), разделим в каждом из полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения на 2; это существенно упростит запись:

б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность кубов»:

Пример 5. Выполнить действия:

Решение: а) Поскольку перемножать можно корни только одной и той же степени, начнем с уравнивания показателей у имеющихся радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой (6):

А теперь воспользуемся формулой (2):

Осталось вынести множитель за знак радикала:

б) Первый способ. Преобразуем первый множитель в корень 4-й степени: 

Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным выражением во втором множителе. Имеем:

Разделив показатели корня и подкоренного выражения на 2, получим:  (формулой (6) мы здесь имеем право пользоваться, поскольку подкоренное выражение  — положительное число). Осталось выполнить умножение квадратных корней:

Пример 6. Разложить на множители: 

Решение. Заданное выражение можно переписать следующим образом: 
Теперь видно, что это — полный квадрат, квадрат разности выражений 
Окончательно получаем:

Пример 7. Сократить дробь 
Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать следующим образом:

Значит, есть резон представить числитель как «разность квадратов»:

Далее, имеем:

Второй способ. Введем новые переменные:

Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить иррациональное выражение (с переменными х и у) рациональным выражением (с переменными а и b). А оперировать с рациональными выражениями намного проще, чем с иррациональными. Имеем:

3.Итоги урока и домашнее задание

Выставление оценок и задание на дом № §9