Применение теоремы косинусов при решении нестандартных заданий по алгебре.

Тема: Применение теоремы косинусов при решении нестандартных заданий по алгебре. 9-й класс.

Будзинская Мария Феликсовна, учитель математики

Донецкая СШ

Цель:

решение нестандартных заданий

развивать пространственное мышление

прививать любовь к математике

Сообщаются цели урока и план его проведения.

Учащимся заранее были предложены неравенства для решения в качестве домашней работы. Каждый выбирал задания того уровня сложности, который соответствовал степени усвоения данной темы. Учитель проверяет домашнее задание с помощью тест-контроля или с помощью тест-программы, которая составляется учителем заранее. Учащимся можно пользоваться своими решениями для выбора правильного ответа. На опрос отводится 7 – 10 минут. Количество неравенств, предлагаемых для контроля, выбирает учитель.

Примеры неравенств

Рисунок1

Рисунок2

Рисунок3

“Если поручить двум людям, один из которых – математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат незнакомой работы всегда будет следующим: математик сделает ее лучше”.

Г.Штенгауз

На данном уроке мы будем рассматривать применение теоремы косинусов при решении некоторых неравенств. Данные виды неравенств легко решаются с точки зрения геометрии, но не всегда можно найти быстрый способ решения с точки зрения алгебры. Это один из методов решения неравенств.

Если a o, b 0, то можно a и b выбрать как единичные отрезки и построить соответствующие треугольники.

Возьмем произвольно два отрезка

Рисунок4

Необходимо построить треугольник по двум заданным сторонам a и b и углу между ними. Величина угла задается следующая: 30⁰; 45⁰; 60⁰; 120⁰; 135⁰; 150⁰. Выполнение построения этих треугольников не вызывает затруднения, но в данной ситуации нас интересует, как можно задать формулой третью сторону треугольника, используя теорему косинусов. Так как величина a и b произвольная, то выражение третьей стороны будет в общем виде.

Предлагается заполнить таблицу, где в первом столбце – построение треугольника, а во втором – выражение третьей стороны через две стороны и угол между ними.

Рисунок5

Задание 1.

Доказать, что для любых a, b и c справедливо:

Рисунок6

Если учащиеся будут затрудняться в выполнении задания, учитель предлагает чертеж, с помощью которого решается данное задание.

Рисунок7

Задание 2.

Найти наименьшее значение выражения

Рисунок8

Для решения данного задания необходимо рассмотреть случаи:

1) если xx0)

2) если x=0 (тогда А примет значение, равное арифметическому корню из 2)

3) если x0, то изобразим соответствующие отрезки.

Вывод: наименьшее значение выражения при А равном арифметическому корню из 2.

Для более наглядного представления учитель может изобразить рисунок на доске.

Рисунок9

Задание 3.

Решить систему в положительных числах

Рисунок10

Указание: данная система имеет решение, если можно построить треугольник с заданными условиями. В данном случае эта система решений не имеет, так как треугольник не существует с заданными условиями. Обоснование решения данной системы можно предложить учащимся для самостоятельной работы.

Косинус угла B в данном случае равен – 9/14, то есть величина угла В больше 120⁰, а этого быть не может , так как угол 1 или угол 2 больше 60⁰ (тогда сумма углов треугольника больше 180⁰)

Рисунок11

Постройте график настроения на уроке.

Рисунок12

Для этого ответьте на поставленные вопросы по десятибалльной шкале

1) уровень моего интереса на уроке

2) все ли понятно в ходе урока

3) нравится решение нестандартных задач

4) хочу продолжить изучение темы

5) моя активность на уроке

6) мое общее настроение

3