Построение графиков функций при помощи производной и прикладной программы Gran1

   9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.)

− Что вы создали? (Мы создали алгоритм построения графика.)

− Где вы сможете применить новые знания?

План урока

1. Организация начала занятия.

2. Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности на уроке. Инструктаж по организации работы на уроке.

3. Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

4. Повторение и анализ основных теоретических фактов, связанных с изучаемой темой.

5. Применение знаний в стандартных или частично измененных ситуациях.

• Задание №1

• Устный тест №1

• Самостоятельная работа ( тест № 3)

1. Применение знаний для решения более сложных задач. Задача №1 с комментированием.

2. Введение нового материала- программа «GRAN 1»

3. Самостоятельная работа с графиками на компьютере.

4. Подведение итогов. Самооценка. Выставление оценок учащимися.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует учащихся ,настраивает на работу.

1. Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.

Вступительное слово учителя.

Мы завершаем изучение большой и важной темы: Производная. И сегодняшний урок хотим посвятить одному из серьезных ее разделов. Запишите тему : Применение производной для построения графиков функций. Но сегодня мы будем изучать и прикладную программу « GRAN 1» и графики строить и при помощи нее. А потом сравним результат.

1. Проверка домашнего задания.

Надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, понимаете геометрический и механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной, легко владеете компьютером. Я уверена, что вы продемонстрируете полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а так же навыки самоконтроля и самооценки.

За сегодняшний день вы сможете добавить к своему рейтингу 26 баллов за разные виды работ. ( у каждого на столе оценочный лист)

4.Повторение теоретического материала.

• Определение производной

• Условие параллельности, перпендикулярности двух прямых., угловой коэффициент.

• Применение производной к исследованию функций.

5. Проверка знаний в стандартных и нестандартных ситуациях.

Тестирование

Задание № 1

Заполнить пустые клетки в таблице

Таблица 1

Таблица 2

Найти критические точки функции

Таблица 3

Выбрать возрастающие функции

1. Построение графиков функций при помощи производной.

Задача №1 ( решаем с комментированием)

У= -2х +4

1. Находим производную функции у = 2х-2

2. Находим критические точки 2х-2=0 ; х=1

3. Находим промежутки возрастания и убывания функции

1. Находим значение функции в критической точке

2. У=1-2+4=3

Строим график функции.

1. Знакомство с программой «GRAN 1».

• Правила введения функций

• Порядок построения

• Вывести полученный график на печать

• Сравнить с тем, что получился ранее

1. Самостоятельная работа на компьютере.9.Подведение итогов. Самооценка. Выставление оценок преподавателем.

Пока группа экспертов проверяет работы учащихся пр шаблонам, учащиеся подводят итоги, отвечая на вопросы преподавателя.

• С какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения темы?

• Какие новые алгоритмы стали вам известны?

• Задачи какого рода решаются при помощи производной.?

• Назовите сферы применения производной.

В это время эксперты завершают работу по проверке. Полученные результаты доводятся до сведения учащихся, которые фиксируются в оценочных листах.

приложения

• Таблица производных

• Алгоритм построения графика функции

• Условные обозначения для программы «GRAN 1».

Список использованной литературы:

• Терешин Н.А., Терешина Т.Н. «2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 кл./

• -М.:Аквариум, К.: ГИППВ, 2000. 256 с. Стр.192-193; 216-217; 194; 200; 240.

• 2. Ф.Ф.Нагибин «Экстремумы»/- М. «Просвещение» 1966 г. Стр. 30-35.

• 3. Виленкин Н.Я. «Функция в природе и технике»: Кн. для внеклас. чтения IX-X кл. – 2-е изд., испр. –М.: Просвещение, 1985. – 192 с. Стр.88; 94.

• 4. О.Н. Афанасьева «Сборник задач по математике для техникумов» - М.:Наука 1992.-208 с. Стр.84.

• 5. Н.В. Мирошин «Сборник задач с решениями для поступающих в вузы.» - М.: ООО «Издательство Астрель» 2002.-832 с. Стр.496.

• 6. Вавилов В.В. «Задачи по математике. Начала анализа.»-М.: Наука.Гл. ред.физ.-мат.лит., 1990.-608 с. Стр. 411;412-413; 413-414; 416-417; 419-420; 432-433; 422; 423; 424; 430; 365.

• 7. Мышкис А.Д. «Лекции по высшей математике» Изд. «Наука» 1967 г. Стр. 135.

• 8. Глейзер Г.И. «История математики в школе» - М.: Просвещение, 1983 г. Стр. 42.

• 9. Волькенштейн В.С. «Сборник задач по общему курсу физики» М., 1979 г.

• 10. «Математический энциклопедический словарь.»/Гл.ред. Ю.В.Прохоров.-М:Сов.энциклопедия, 1988.-847 с.

• 11. «Задачник по курсу математического анализа». ч.II. Под ред. Н.Я.Виленкина.-М: «Просвещение», 1971.

• 12. «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.»/Под ред. Б.П.Демидовича- М: Физматгиз, 1963 г. 472 стр.

• 13. «Элементы высшей математики»: сб. заданий для практ. занятий: Учеб. Пособие/ С.В.Сочнев.-М: Высш.шк., 2003 г.- 192 с.

Содержание:

I. Симметрия в математике:

1. 
   Основные понятия и определения.

2. 
   Осевая симметрия (определения, план построения, примеры)

3. 
   Центральная симметрия (определения, план построения, при­меры)

4. 
   Обобщающая таблица (все свойства, особенности)

II. Применения симметрии:

1) в математике

2) в химии

3) в биологии, ботанике и зоологии

4) в искусстве, литературе и архитектуре

• 
   http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00071/07200.htm

• 
  http://www.raduga.edusite.ru/html/simmetr/index.html

• 
  http://www.reayu.narod.ru/sim/sim.ht

• 
  http://www.simgeomyz.narod.ru/index.html

1. Основные понятия симметрии и ее виды.

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого ор­ганизма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие ве­ликие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия по­нятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любо­вался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, живот­ными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симмет­рия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким обра­зом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

2. Осевая симметрия.

2.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендику­лярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симмет­рии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

2.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же рас­стояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и по­лучаем симметричную фигуру данной относительной оси.

2.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

3. Центральная симметрия

3.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА₁. Точка О считается симметричной са­мой себе.



Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

3.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно цен­тра О.

Чтобы построить точку, симметричную точке А относи­тельно точки О, достаточно провести прямую ОА (рис. 46) и по другую сторону от точки О от­ложить отрезок, равный отрезку ОА . Иными словами, точки А и ; В и ; С и симметричны относительно некоторой точки О. На рис. 46 по­строен треугольник, симметричный треуголь­нику ABC относительно точки О. Эти треугольники равны.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М₁,  N и N₁  симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

3.3 Примеры

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и паралле­лограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диаго­налей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окруж­ности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок сим­метричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметрич­ный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

4. Итог урока

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основ­ными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и системати­зируем полученные знания.

Обобщающая таблица

II. Применение симметрии

Тип урока: изучение нового материала с элементами конференции, интегрированный с краеведением, ботаникой, биологией, искусством

Цели урока:

• образовательные: изучение понятия зеркальной симметрий, проведение исследовательской работы по изучению явлений осевой и центральной симметрии в природе, архитектуре. искусстве, приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации;

• развивающие: развитие логического мышления, творческой активности, познавательного интереса;

• воспитательные: воспитание умения сплоченно и дружно работать в коллективе, внимательно слушать речь других.

Оборудование: мультимедийная аппаратура, раздаточный материал: бланки конспектов, карточки с проверочной работой, мультимедийные презентации: « Симметрия в архитектуре», «Симметрия в природе», «Виды симметрии».

Подготовка к уроку:

Урок в течение 2 недель готовят учитель, учащиеся 8 класса. Урок является итогом работы, которая состоит из нескольких этапов.

Этап 1. Учащиеся 8 класса разбиваются на 4 группы по интересам: теоретики, ботаники-биологи, архитекторы, художники.

Этап 2. Каждая из перечисленных групп получает определенное задание, в соответствии с которым учащиеся подбирают материал. Ребята обрабатывают большой объём информации, используя при этом дополнительную литературу и ресурсы сети Интернет.

Этап 3. Этап консультаций учащихся и учителя, этап непосредственного взаимодействия технических руководителей и их групп. В это время уточняются возникшие в ходе работы вопросы, готовится выступление, которое оформляется техническими руководителями в виде презентаций. Учитель готовит раздаточный материал.

Этап 4 – это итог совместной работы в форме конференции “Симметрия вокруг нас” и изучение нового вида симметрии – зеркальной.

ХОД УРОКА

I. Вводное слово учителя. (1-3 мин)

Тема нашего урока: “Симметрия ”. Сегодня у нас необычный урок, урок с элементами конференции: “Роль симметрии в окружающем мире”. Уважаемые участники конференции, несомненно, вы узнаете много нового в течение этого урока. Большое количество информации трудно запомнить сразу, поэтому прошу Вас открыть тетради, записать тему урока и в течение каждого выступления делать необходимые для Вас заметки по всем изученным видам симметрии. В конце урока Вас ждет небольшой тест.

II. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)

С понятием симметрии мы с вами знакомились в курсе математики 6 класса и изучали понятия осевой и центральной симметрии. Для вас приготовлен сюрприз - это ваши первые творческие работы, которые были связаны с темой сегодняшнего урока. Все показать невозможно, но некоторые сегодня посмотрим. ( демонстрация работ «Узнай чья работа»)

Слово “симметрия” - греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.
Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

Презентация « Виды симметрии», выступает группа теоретиков. По ходу выступления, учащиеся делают записи в тетрадях.

О каком новом виде симметрии вы услышали?

Ежедневно каждый из нас по нескольку раз в день видит отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться. Немецкий философ Иммануил Кант говорил о зеркальном отражении так: «Что может быть более похоже на мою руку или на моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место постоянной руки…»

III. Выступление ботаников - биологов. Презентация «Симметрия в природе»(10 мин)

Прежде чем познакомить Вас с результатами нашего исследования, мы представим вам науку Ботанику.
Ботаника – наука о растениях. Она охватывает огромный круг проблем: их систематику; развитие в течение геологического времени; возможности хозяйственного использования растений; закономерности внешнего и внутреннего строения растений.
Наше исследование было направлено на выявление примеров симметрии в растениях, то есть мы занимались последней из этих проблем – проблемой поиска закономерностей внешнего строения растений.
Этот вопрос возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.
Для представления итогов нашей работы мы выбрали растения, произрастающие в нашей местности. Это сделано для того, чтобы ещё раз обратить ваше внимание на бережное отношение к окружающей нас природной красоте.
Начнем с показа примеров осевой симметрии в ботанике.

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Сначала расскажем, что же такое зоология и чем эта наука занимается. Её предмет – изучение животного мира и именно строения и деятельности тела животных, их развития, распределения по земле и отношений к окружающей (животной и мертвой) природе. Конечная цель ее – выяснение законов, управляющих явлениями животного мира, объяснение с их помощью происхождение современного мира животных и установление естественной системы животных.

Существует множество таких законов и один из них это закон симметрии. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Наше исследование заключалось в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире.

Начнём с осевой симметрии. По нашим наблюдениям, она присуща большому количеству видов животных. Мы остановили свой выбор на тех животных, которые обитают в нашем крае, чтобы ещё раз подчеркнуть необходимость заботливого отношения к братьям нашим меньшим.

Выводы:

• По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям.

Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.

Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

Асимметрию можно наблюдать примере простейших животных

Дополнительный материал, приведённый учителем:

Почему в природе господствует симметрия?

Причина – сила тяготения, действием силы тяготения или отсутствием таковой объясняется то, что космические тела, плавающие во вселенной, и микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигура совпадает сама с собой). Пример – планеты Земля, Луна и другие. Все организмы, растущие в прикреплённом состоянии (деревья) или животные, для которых сила тяжести является решающей, обладают осевой симметрией, если кроме силы тяжести действует другие силы ( в воде) животные и растение могут обладать центральной симметрией. Если на животных действует коме направления силы тяжести направление движения, то такие животные имеют плоскость симметрии, которую биологи называют билатеральной.

IV. Выступление архитекторов. Презентация «Симметрия в архитектуре».(5 мин)

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия. Термин "симметрия" в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение вновь будут образовывать первоначальную фигуру. Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте.

Асимметрия - один из приемов ландшафтной архитектуры, который строится по закону динамического равновесия разнородных частей и предусматривает их контрастное сочетание по форме, высоте, колориту и освещенности.

Выводы:

1) принципы симметрии является основополагающими для любого архитектора, но вопрос о симметрии или асимметрии каждый архитектор решает по разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию симметричных элементов.

2) Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественными вкусом и его пониманием прекрасного.

V. Выступление группы художников. Демонстрация своих картин. Презентация(5 мин)

Изобразительное искусство так же нельзя представить без симметрии. В произведениях искусства примитивных цивилизаций и древней живописи, в средневековых религиозных картинах была широко представлена зеркальная симметрия. Композиция таких картин скучна, поскольку симметрия слишком уж очевидна. Ну а мы представляем сегодня работы наших хужожников.

Принцип симметрии используется в построении орнамента. Орнамент - узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия и т.д.) Демонстрация моделей(выставка).

Бордюр - периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте ( обои). Любой бордюр обладает переносной симметрией.

VI. Итоги конференции.(2-3 мин)

Итак, наша конференция подошла к концу. Попробуем подвести итоги. Вы прослушали сообщения исследовательской работы всех четырех групп. Выступление какой группы вам очень понравилось и почему? Чья работа заслуживает продолжения и представления на научно-практической конференции?

Мы увидели сегодня на уроке , что симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире – передается генетически из поколения в поколение.

Роль симметрии очень велика и мы можем сказать словами классика современного естествознания, мыслителя Владимира Ивановича Вернадского “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

VII. Устное решение задач на готовых моделях. (5 мин)

-Выбрать фигуры, имеющие – 1)центр симметрии, 2)ось симметрии, 3) провести все оси симметрии у квадрата, прямоугольника, ромба, круга.

-При изучении какой темы на уроках алгебры мы использовали осевую и центральную симметрии?

VIII. Итог урока - тест.

Итак, наш урок подходит к концу. Каждый из Вас получит отметку, которая будет складываться из трёх составляющих: ваша активность на уроке, ваш вклад при подготовке к конференции и результат теста.
Вы узнали много нового и, несомненно, по-другому будете смотреть на окружающий нас мир.

Задание: для каждого № определить, каким видом симметрии он обладает.

X. Домашнее задание: сделать бордюр-трафарет для кабинетов, работаете в группе, срок выполнения до 1 мая.

П.47,Вопросы 16-20 стр.115, №441,44

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №10»

Урок геометрии в 8 классе

по теме:

«Осевая и центральная симметрия»

Степанова Л.А., учитель математики

город Набережные Челны 2014 год