План-конспект урока по математике на тему "Теорема Виета"

Тема урока "Теорема Виета"

Тип урока: открытие новых знаний.

Формы урока: фронтальная, индивидуальная, в парах.

Цели урока:

Деятельностная цель: формирование умений в осуществлении исследовательской деятельности в рамках темы «Теорема Виета» (анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, выдвигать гипотезу, доказывать её справедливость, представлять информацию в символической и табличной формах), приводящей к научному открытию; формирование мотивации – интереса к изучению математики за счет включения примеров из биографии Виета, приема запоминания формулировки теоремы Виета, самостоятельного открытия знаний, выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности.

Содержательная цель: формирование знаний о Франсуа Виете, его знаменитой теореме (теореме Виета), о теореме обратной теореме Виета, первоначальных навыков в решении (устном) квадратных уравнений.

Ход урока:

1. Организационный этап

Ребята, у нас не совсем обычный урок, т.к. к нам пришли гости, учителя нашей школы, они хотят посмотреть, как вы работаете на математике, что знаете и умеете, как мыслите и рассуждаете. Давайте их порадуем хорошей работой.

На доске вывешены слова Аристотеля «Познание начинается с удивления».

Ребята, как вы понимаете эти слова? (Да, если мы чему-то удивились, то сразу задаём себе вопросы: «Как?, Почему?» т.е. начинаем думать, анализировать, а значит познавать.) Мне очень хочется, хотя бы чуть-чуть удивить вас на уроке, чтобы активизировать процесс вашего познания.

Обращаю ваше внимание на слова ещё одного великого человека Клода Адриана Гельвеция: «Чтобы удивиться достаточно одной минуты. Чтобы сделать удивительную вещь, нужны многие годы».

У нас нет много времени, мы ограничены рамками урока, потому я постараюсь дать направление вашей деятельности на пути к открытию.

1. Актуализация знаний

На доске записаны квадратные уравнения:

+6х+8=0; (+3х+4=0). Ответ: корней нет.

- 7х+10=0; От. 2; 5.

+4х=0; (+2х=0). Ответ: -2; 0.

- 100 =0; (- =0). Ответ: -5;5.

Вопросы к классу:

1. Что написано на доске? (Квадратные уравнения).

2. Докажите, что данные уравнения квадратные. (Уравнения имеют вид ах² + bx + c = 0, а  0).

3. Какие виды квадратных уравнений в зависимости от количества слагаемых вы знаете? (Полные и неполные).

4. Назовите полные квадратные уравнения. Почему они так называются?

5. Назовите неполные квадратные уравнения. Почему они так называются?

6. По какому ещё признаку квадратные уравнения делятся на две группы? (Если старший коэффициент равен 1, то это приведённое квадратное уравнение, если а  1, то это неприведённое квадратное уравнение).

7. Назовите приведённые и неприведённые уравнения.

8. Можно ли из неприведённого квадратного уравнения получить приведённое?

1. Проблемное объяснение нового знания

Ребята, вы много знаете о квадратных уравнениях, умеете их решать различными способами. Почему тогда автор нашего учебника Александр Григорьевич Мордкович предлагает изучить ещё одну тему, связанную с решением квадратных уравнений?

(!!! Значит, есть более рациональный и эффективный способ решения квадратных уравнений).

Чтобы узнать новый способ решения квадратных уравнений мы должны познакомиться с темой урока, которая зашифрована. Расшифровать сможем, решив следующие квадратные уравнения, используя формулы

Чтобы узнать новый способ решения квадратных уравнений мы должны познакомиться с темой урока, которая зашифрована. Расшифровать сможем, решив следующие квадратные уравнения, используя формулы:

( и= ,- формулы устанавливают зависимость корней уравнения от его коэффициентов).

+7х+12=0; Ответ: - 4;- 3.

- 9х+20=0; Ответ: 4; 5.

-х-6=0; Ответ: - 2; 3.

-8х+12=0; Ответ: 2; 6.

Шифр:

- 4 – Е (открывает позиции 2,5,10).

- 3 – Т (открывает позиции 1,11).

- 2 – М (открывает позиция 6).

2 – И (открывает позицию 9).

3 – А (открывает позиции 7,12).

4 – О (открывает позицию 3).

5 – Р (открывает позицию 4).

6 – В (открывает позицию 8).

Ученик, решивший уравнение, выписывает ответ на доске, а учитель «угадывает» корни уравнения, т.е. стремится удивить учащихся тем как быстро и, причём устно он решает эти уравнения. Затем ученик открывает нужные позиции. На доске появляется тема урока Теорема Виета.

Ребята, может быть вы предположите, каким образом я узнавала ответы? Может кто-то выдвинет гипотезу?

(Гипотеза. Существует связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, если да, то какая это связь).

Учитель предлагает ученикам записать число, классная работа, и тему урока.

Ученики формулируют цель урока, учитель осуществляет их коррекцию.

Занимаясь квадратными уравнениями, мы заметили некоторые связи, например и= ,

Можно записать короче .

Dуравнение не имеет корней.

D=0, уравнение имеет 1 корень.

D0, уравнение имеет 2 корня.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты занесём в таблицу, как это обычно делают учёные.

Исследование – поиск путей решения проблемы.

• Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?

• Если существует, то какова эта связь?

План исследования

1. Заполните рабочий лист.

2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4. Гипотеза.

РАБОЧИЙ ЛИСТ

1	2	3	4	5	6
Приведённое квадратное уравнение	Второй коэффициент	Свободный член	Корни и	Сумма корней +	Произведение корней *
+7х+12=0
- 9х+20=0
-х-6=0
-8х+12=0

Работа по плану исследования.

1. Заполняем рабочий лист

ЗАПОЛНЕННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ

1	2	3	4	5	6
Приведённое квадратное уравнение	Второй коэффициент	Свободный член	Корни и	Сумма корней +	Произведение корней *
+7х+12=0	7	12	- 4;- 3	- 7	12
- 9х+20=0	- 9	20	4; 5	9	20
-х-6=0	- 1	- 6	- 2; 3	1	- 6
-8х+12=0	- 8	12	2; 6	8	12

1. Сравниваем результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, находим закономерность и делаем следующий вывод: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

2. Сравниваем результаты колонок №3и №6 по каждому уравнению, находим закономерность и делаем следующий вывод: произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену.

3. Гипотеза.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Предложение будет оставаться гипотезой до тех пор, пока мы его не докажем. Давайте попытаемся его доказать. Предложение истинность которого нужно доказать называется теоремой. Следовательно, нам нужно выделить условие и заключение теоремы.

Дано: x²+bx+c=0, и= - корни уравнения.

Доказать: 1. + = - b. 2.* = c.

Доказательство:

1. + +=b.

2. * *=….= с.

Откройте учебник на с. 181 и найдите утверждение, которое мы доказали. Прочитайте его два раза и попытайтесь пересказать.

Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение ах² + bx + c =0: а получим уравнение х² + x + =0.

Применяя доказанную нами теорему, имеем сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту взятому с противоположенным знаком т.е. b/а, произведение корней равно свободному члену т.е. с/а.

Откройте учебник на с.180 и найдите теорему, которая носит название теорема Виета. Прочитайте его два раза и попытайтесь пересказать.

Чтобы лучше запомнить эти формулы можно выучить стихотворение

«Теорема Виета».

Теорема Виета

По праву стихом быть достойным воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи постоянства такого

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, ну что за беда:

В числителе b, в знаменателе а.

В геометрии мы знакомились с понятие «Обратная теорема». Какая теорема называется обратной для данной теоремы. (Теорема, в которой условие и заключение меняются местами, называется обратной).

Давайте сформулируем теорему обратную теореме Виета .

(Если числа и таковы, что + =b, *=c, то эти числа – корни квадратного уравнения x²+bx+c=0).

Из истории математики

(сообщение ученика)

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603 гг).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, хобби, благодаря упорному труду он добился больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, стало возможным свойства уравнений и корней записывать общими формулами.

Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, и усложняло решение.

Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, т.е. той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».

IV. Первичное закрепление изученного материала

Ребята, мы рассмотрели теорему Виета для приведённого и неприведённого квадратного уравнения, рассмотрели также теорему обратную теореме Виета. А теперь хочу задать вам такой вопрос: «Зачем мы это делали? Зачем столько потратили времени, может она нам не пригодится?»

Показать примеры применения

прямой и обратной теорем Виета

№ 29.1

№29.2 (а)

№29.6 (а)

№29.9 (а)

V. Самостоятельная работа с самопроверкой

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

а) х² + 3х – 40 = 0, х₁ = –8, х₂ = 5;

б) х² + 2х – 3 = 0, х₁ = –1, х₂ = 3.

2. Определить знаки корней квадратного уравнения:

а) х² – х – 12 = 0;

б) х² – 7х + 12 = 0.

3. Определите корни квадратного уравнения, не используя формулу корней:

а) х² - 6х + 5 = 0; б) х² + 9х + 20 = 0.

4. Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни равны:

а) х₁ = –3, х₂ = 1; б) х₁ = 5, х₂ = 6.

Ответы:1.а) да, б) нет; 2.а)+,-;б) +,+; 3.а)1;5; б)-5; -4;

4 а) а) х² +2х - 3 = 0; б) х² – 11х + 30 = 0.

VI. Включение нового знания в систему знаний и повторение

Найдите: х₂, b, если известно х² + bх – 35 = 0, х₁ = 7.

Решение. х₁х₂ = –35, 7х₂ = –35, х₂ = –5; х₁ + х₂= –b, 7–5=–b, b= –2.

Ответ: х₂ = –5, b= –2.

Заполнение листов самооценки.

Выставление отметок.

Домашнее задание

Учебник: С. 180-181

Задачник:№29.2 (б-г) №29.6 (б-г) №29.9 (б-г)

Индивидуальное задание.

700x²-689x-11=0,

999x²+x-1000=0

9