План-конспект урока математики в 10 классе "Тригонометрические уравнения"

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

Учитель Математики высшей категории

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

План – конспект по алгебре 
и началам анализа в 10 классе 

Тема урока: Тригонометрические уравнения. 
Подготовка к экзамену. 




Цели урока: обеспечить проверку и оценку знаний и способов действий учащихся по теме; продолжить формирование умений по нахождению корней тригонометрических уравнений, по использованию свойств тригонометрических функций при решении уравнений и преобразовании выражений; 
развивать у учащихся умения сравнивать, находить аналогии, предсказывать и предвидеть практический результат на основании теоретических суждений, образное мышление, способность к рефлексии; 
воспитывать аккуратность, самостоятельность, умение общаться. 

Тип урока: проверка и оценка знаний и способов деятельности учащихся. 

Логика учебного занятия: мотивация – самостоятельное выполнение заданий – контроль – анализ – оценка – коррекция – рефлексия. 

Оборудование: стенд «Сегодня на уроке», цели и план в виде схемы, мультивидеопроектор, презентация задач, схема классификации тригонометрических уравнений, карточки – инструкции, карточки для домашней работы, справочники, листы учета знаний. 

План урока. 

1. Организационный момент. Мотивация. 
2. Домашнее задание. 
3. Устная работа. 
4. Проверка домашнего задания с помощью таблицы классифицирующей тригонометрические уравнения. 
5. Работа в группах 1 состава с динамическими блоками. 
6. Презентация задачи, решенной несколькими способами. 
7. Дифференцированная самостоятельная работа в группах 2 состава. 
8. Итог урока. 
9. Рефлексия. 

Ход урока. 

1.Орг.момент. Здравствуйте! Кого сегодня нет в классе? Ребята, надеюсь вы в хорошем настроении? Знаете, однажды французский писатель Анатоль Франс заметил: « Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». 
Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при сдаче экзаменов. 
Сегодня урок посвящен, можно сказать, отдельному предмету «Тригонометрия». Но в основном мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая проводила анализ ошибок по ЕГЭ. 

2.Домашнее задание: п.3,п.п.8-11,повторить теорию; принести домашние тесты, индивидуальная работа по карточкам из 12 уравнений (выбор по желанию) все карточки разноуровнего содержания, по профориентационной направленности . 

Иду на экзамен 
1.(МГУ, факультет мехмат) 
Решите уравнение: 6sin x cos 2x = - 7sin 2x 
2.(МГУ, факультет почвоведения) 
Найдите все значение параметра а, при которых уравнение 
cos 2y + 4 a cos y + 2 a ² + 1 = 0, не имеет решений. 
3.(МГУ, факультет фундаментальной медицины) 
Решите уравнение: sin x + cos x = cos 2x (1- 2sin 2x) 
4.( БелГу, физмат) 
Решите уравнение: tg (x + 1) ctg (2x + 3) = 1 
5.( БелГу, информ.) 
Решите уравнение: sin 2x + 2 ctg x = 3 

Сейчас учащийся познакомит вас с историей развития тригонометрии. Сообщение с просмотром видеофрагментов по теме выступления. 

3. Устная работа: по заданиям в индивидуальных папках (отмечайте верные шаги в листах учета на каждом этапе урока) 

Ф.И учащегося 

№ Название этапа Количество верных шагов Оценка Оценка 
1 
Устная работа 

2. 
Классификация тригонометрических уравнений 
3. 


Динамичные блоки уравнений 

4. 
Презентация задач 

5. 

Дифференцированная самостоятельная работа 

6. Нестандартные задачи 

4. Проверка домашнего задания. Ребята, дома вы должны были классифицировать тригонометрические уравнения с помощью таблицы (таблица прилагается). Учащиеся обмениваются домашними тетрадями, на экране верное распределение по типам, методам решений идет взаимопроверка и снова верные шаги заносятся в лист учета своему соседу. 

5. Работа с динамическими блоками. Давайте поработаем в группах 1 состава. Руководитель группы подходит к столу и выбирает себе карточку того цвета, которая соответствует уровню знаний его группы (розовый цвет – обязательные результаты, желтый – средний уровень, голубой – высокий уровень, фиолетовый – очень высокий) 
Обратимся к динамическим блокам на сравнение, обобщение, выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма и т. д. 

Вопрос к блоку№1: О чем идет речь? Что особенное? 

? ОСОБЕННОЕ! 
1 sin x = √3/2 2 tg (2x – π /4) = √3/3 

3 cos x/2 = a² + 1 
4 ctg 3x = – √3 

Вопрос к блоку №2: Почему здесь употребляются два слова «нельзя и можно»? 

? ОСОБЕННОЕ! 
1 sin x = √3/2 2 tg (2x – π /4) = √3/3 

3 cos x/2 = a² + 1 
4 ctg 3x = – √3 

Вопрос к блоку №3: О чем говорит этот блок уравнения (лишнее, но!) 

? ЛИШНЕЕ, НО! 
1 2sin² 2x + 5sin 2x – 3 = 0 
2 6sin² x + 4sin x cos x = 1 
3 3tg x + 5ctg x = 8 
4 2sin² x/3 + 5cos x/3 + 1 = 0 

Вопрос к блоку №4: Найдите лишнее уравнение и раскройте идею его решения. 

1 sin 4x – sin 2x = 0 
2 arcsin (x + 1) = π/6 
3 5cos³ x + 4cos x = 0 
1 2cos 3x + 4sin x/2 = 7 
2 √3 cos x + sin x = 2 
3 cos x + √3 sin x = 1 
А) 

Б) 

После того как руководители групп защитили свой динамический блок, учитель задает вопросы: 

Учитель: назовите главный ключевой блок уравнений? 
Ответ: блок простейших уравнений, т.к. решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших. 
Учитель: назовите алгоритм решения 2 уравнения из блока №3. 
Ответ: сведение к одноименному уравнению; замена переменной; решение квадратного уравнения; решение простейших тригонометрических уравнений. 
(Заполните листы учета знаний) 
Учитель: теперь поработаем в группах второго состава. 

6. Презентация задачи: 

Учитель: представляется группа учащихся, создавшая презентацию двух задач, решенных несколькими способами. Пять учеников класса, получили домашнее задание из двух задач, представленных в БЕЛГУ и МГУ на вступительных экзаменах. Необходимо предложить как можно больше способов их решений. Трое из группы нашли 3 способа решения первой задачи, а другие два ученика нашли два способа решения второй задачи . 

7. Дифференцированная самостоятельная работа: в группах 2 состава (через копирку с самопроверкой). 

На экране задания групп А, Б, В. 
Группа А Группа Б 

1. 2 cos²x +3sinx=0 1. 2sin²x+cos2x=sin2x 
2. sin2x+sinx=0 2. sin7x+cos4x=sinx 

Группа В 

1. cos2xcosx=cos3x 
2. √3cosx+sinx=2 

Нестандартное уравнение: cos 5x + cos 3x = 2 

Учащиеся выбирают по желанию задание. Кроме двух заданий дается дополнительное наиболее сложное (нестандартное). После сдачи самостоятельных работ один экземпляр остается у учащихся, на экран проецируются решения, а дополнительное задание решается учеником на скрытой части доски 

ОТВЕТЫ: 
Группа А Группа Б 

1. x = (-1) k+1 π/6 + k, k Є Z. 1. x = π/4 + πn, n Є Z. 
2. x = ± 2 π/3 + 2 πn, n Є Z. 2. x = (-1) k+1 π/18 + πk, k Є Z 

Группа В 

1. x = πn/2, n Є Z 
2. x = n/6 + 2 πn, n Є Z. 

Ответ на нестандартное уравнение: 2 πn, n Є Z 
Идет проверка. Представляется учащимся на доске нестандартная задача. 
Во время выполнения самостоятельной работы, возможным было обращение за помощью внутри группы, пользование справочниками, карточками – инструкциями (например 

Карточка 1. 
( карточка – инструкция). 
Задание 1. Решите уравнение 
sin ² x – 9sin (π – x) +8 = 0 
Инструкция по выполнению задания: 

1. Рассмотрите заданное уравнение, выясните, нельзя ли применив известные формулы. 
2. Постарайтесь определить вид уравнения: является ли оно простейшим тригонометрическим уравнением, уравнением, сводящимся к квадратному и пр. 
3. В зависимости от вида уравнения, примените формулу корней тригонометрического уравнения или замените его квадратным уравнением, или выполните другое преобразование. 
4. Запишите ответ. 

Вариант объяснения решения: 

1.Заданное уравнение можно упростить, применив формулу приведения. Уравнение примет вид: 
sin² x – 9 sin x + 8 = 0 
2.После упрощения получим квадратное уравнение относительно sin х. 
3.Решим квадратное уравнение у²- 9у + 8 = 0 ( где у = sin x), получим, что у = 1 или у = 8. 
4.Возвращаясь к переменной х, имеем два простейших тригонометрических уравнения: 
sin x = 1 или sin x = 8. 
5.Решаем по формуле корней тригонометрического уравнения: 
а) sin x = 1, значит х = π/2 + 2πκ, где κ Є Z/ 
б) sin x = 8, уравнение не имеет решений, так как │sin x │≤ 1 
6. Решением уравнения будут числа вида 
Х = π/ 2 + 2πκ, κ Є Z 
Задание 2. 
Cos ² x – 2 sin ( π/ 2 + x ) – 3 = 0 
( выполнение задания самостоятельно.) 

8.Итог урока. Что вы узнали нового сегодня на уроке? 
Произвели классификацию тригонометрических уравнений, выделили ключевое тригонометрическое уравнение, алгоритм решения уравнений, отработали его применение на отдельных примерах, познакомились с исторической справкой, увидели презентацию задач, решенных несколькими способами. 
Оценивание учащихся с помощью листа знаний. Подсчет верных шагов. Выставление оценок. 
Урок окончен. Спасибо за урок. 

9.Рефлексия урока. Каждый ученик, выходя из класса, выбирает себе домашнее задание и отмечает на диаграммах, изображенных на доске, свое личное отношение к уроку и взаимоотношение в группах.