План-конспект урока математики "Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия"

Тема: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ,ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Урок повторения, обобщения и систематизации знаний

Воспитательно-развивающая цель: способст­вовать развитию познавательного интереса к предмету, воздейст­вуя на интерес старшеклассников к самопознанию.

На данном уроке реализовались цели:

1. Обобщив и закрепив знания учащихся по данной теме, под­готовить их к оперативному контролю.

1. Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме; способст­вовать развитию умения видеть и применять изученные законо­мерности в нестандартных ситуациях.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: фрон­тальная, самостоятельная работа учащихся обучающего характера, парная работа (взаимоконтроль).

Ход урока

1. Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.

Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель ак­центирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им воз­можность развивать как формально-логические умения по данной теме, так и уме­ния находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют возможность повысить свою математиче­скую культуру вычислений и повторить решение рациональных и дробно-рациональных уравнений, линейных и квадратичных неравенств. Учащимся со­общается план проведения урока.

1. Проверка домашнего задания. (Проводится способом сличе­ния с доской.)

2. Работа у доски. Два ученика решают следующие задания во время проведения устной работы:

1) Сколько членов последовательности у_n=|n² – 5n + 6|, n € N удовлетворяет неравенству 2≤y_n ≤6

2) Решить уравнение (x + 1) + (x + 4)+… + (x + 28) = 155 .

После проведения устной работы выполненное задание оцени­вается.

Дополнительные вопросы:

1. Какая последовательность называется арифметической (гео­метрической) прогрессией?

2. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду - на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь секунд; за n секунд?

3. Устная работа. Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение последовательности, возрастающие и убы­вающие последовательности, способы задания последовательности, рекуррентный способ задания последовательности, определение арифметической и геометриче­ской прогрессии, их характеристические свойства.

1) Записать формулу общего члена последовательности:

1; - 4; 9 – 16; …

1; ; ; ; …

; ; ; …

1. Является ли число -21 членом последовательности (b_п), если b_n = n²-10n?

2. Могут ли числа быть членами одной арифметической (гео­метрической) прогрессии?

а) 1; ; 3 6)1; 15; 8; в) 2; 6; 4,5.

4) Известен a₁ = - 81, q= - геометрической прогрессии (а_n).

Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? От­вет объясните.

5) (b_n) - геометрическая прогрессия, b₃ = 8, b₅ = 32. Найти b₁ и b₇.

П. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах.

Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющие у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе).

Знания и умения	Я	Другой
Знания формул n-го члена, суммы пер­вых членов прогрессии
Умение преобразований выражений
Вычислительная культура

Задание - заполнить пропуски в таблице, если (а_п) - арифме­тическая и (b_п) - геометрическая прогрессии.

a1	d	n	an	Sn
110	-10	11
5		26	105
	3	12		210
	2	15	-10

b1	q	n	bn	Sn
1	3	10
	0,5	8	2
2		7	1458

Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооценивание. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера

III. «Я и мир логики».

1. Историческая справка о К. Ф. Гауссе.

На примере жизни и деятельности ученого учащиеся выясняют, что составля­ет основу математических способностей, выделяя умения анализировать, сравни­вать, наблюдать, находить главное, устанавливать закономерности, видеть новое в стандартных ситуациях.

Решение задач (устно).

1. Вычислить: 1+2 + 3 + ...+99 + 100.

2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не пре­восходящих 300.

3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, де­лящихся на 7.

Следующее задание способствует тренировке смысловой памяти, наблюда­тельности, учит поиску закономерностей составления таблиц.

Учащимся показывается квадрат в течение одной минуты. Школьники долж­ны обнаружить закономерности составления таблиц, тогда запомнить расположе­ние чисел не составит труда.

Задание - запомнить все числа и затем их воспроизвести.

5	-10	20
640	-2	-40
320	-160	80

Числа 5,-10, 20, 240, 80 ... -640 - гео­метрическая прогрессия со знаменате­лем равным -2. Запомнить надо два числа: -2 и 5.

10	12,5	15
17,5	5	17,5
25	22,5	20

Закономерности:

1. Числа 10,15, 20,25 - кратные 5.

2. Числа 12,5; 17,5; 22,5 - среднее арифметическое двух соседних.

3. 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5 - арифметическая прогрессия с раз­ностью 2,5.

Запомнить: 5; 10; 2,5.

1. 2	4	8	16
   0	2	6	14
   -2	0	4	12
   -4	-2	2	10

   В первой строчке геометрическая прогрессия со знаменателем равным 2.

2. В каждом столбце арифметическая прогрессия с разностью -2.

Запомнить: 2.

Задания способствуют формированию интереса к предмету.

IV. Фронтальная работа учащихся по решению задач про­дуктивного характера.

Задание: решить уравнения.

1)5²-5⁴-5⁶...5^2х = 0,04"²⁸

2)1+х + х² +...+х¹⁰⁹ = 0

3)2х+1+х² +х³ + х⁴ + х⁵ + ... = , |х|

При решении уравнений необходимо увидеть арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.

Ниже приводится решение данных уравнений.

1)5² * 5⁴ * 5^б... 5^2x = 0,04

5^2+4+6+…2x = 5⁵⁶

2 + 4 + 6+... + 2х = 56

Замечаем, что последовательность чисел 2, 4, 6, ... образует арифметическую прогрессию. S_n = 56, a₁ =2, d= 2, n = x

Переформулируем задачу: при каком n сумма данной арифме­тической прогрессии равна 56?

* n = 56

n² + n – 56=0

n₁ = 7, n₂ = -8 – не подходит, так как n € N

Ответ: 7.

2)1+х + х²+...+х¹⁰⁹ = 0

Последовательность 1, х, х², ... х¹⁰⁹ образует геометрическую прогрессию со знаменателем q=. По условию q≠1 = x ≠1.

Переформулируем задачу: сумма членов геометрической про­грессии 1, х, х²,... х¹⁰⁹ равна 0. Найти х.

х¹¹⁰-1=0

x¹¹⁰-1 = 0, x ≠ 1

x¹¹⁰ =1

x₁= -1, x₂1 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -1.

3)2х+1+х²-х³+х⁴-х⁵ + ... = ,|х|

3)2х+1+х²-х³+х⁴-х⁵+ ... =

бесконечная геометрическая прогрессия

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии.

S =

3x + =

В результате решения дробно-рационального уравнения имеем, что x₁ = и

x₂= -. Найденные решения удовлетворяют условию.

Ответ: -;

V. Итог урока. Решение нестандартных задач.
Вычислить:

1.

1-й способ.

5^1/2*3^1/4* 5^1/8* 3*3^1/32=

= 5+ 3=

= 5= 75

2-й способ.

= х, = у

5у=х² у =

х³ = 75 х =

3х=у² 3х =

2. 100²-99² + 98² - 97²+...+2²-1² =
199 + 195 +191+ ...+ 7 + 3 = 5050

арифметическая прогрессия

а₁ = 3, а₅₀ =199

3. (1 + 3² + 5² + ... + 199²) - (2² + 4² + ... + 200²) =
= 1-2² + 3²-4² + ... + 199²-200² =

-3-7-11...-399 = -20100

арифметическая прогрессия

а = -3, а = -399

VI. Постановка домашнего задания.

Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного пробела в знаниях. (Отчет анализа оформить письменно).

В каждой строке по трем данным вычислите неизвестные значения величин, если (а„) - арифметическая, (Ь„) - геометриче­ская прогрессии.

a1	d	n	an	Sn
-9	0,5			-75
-28		9		0
0,2			5,2	137,7
		30	15,75	146,25

b1	q	n	bn	Sn
	3		567	847
1 3	1 3
	-3	4		30

3. x₁, x₂ - корни уравнения х² - Зх + а = 0
x₃, x₄ - корни уравнения х² -12х + b=0

Известно, что х₁, х₂, х₃, х₄ составляют возрастающую геометри­ческую прогрессию. Найти а и Ь.

4. Корни уравнения х⁴ - 10х² + а = 0 составляют арифметическую прогрессию. Найти а.