kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

План-конспект урока математики "Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия"

Нажмите, чтобы узнать подробности

В предложенном материале представлен план-конспект урока для обобщения и закрепления знаний по данной теме. Предлагаются материалы различной степени сложности, представлены различные формы организации деятельности учащихся.

Просмотр содержимого документа
«План-конспект урока математики "Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия"»

Тема: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ,ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Урок повторения, обобщения и систематизации знаний

Воспитательно-развивающая цель: способст­вовать развитию познавательного интереса к предмету, воздейст­вуя на интерес старшеклассников к самопознанию.

На данном уроке реализовались цели:

  1. Обобщив и закрепив знания учащихся по данной теме, под­готовить их к оперативному контролю.

  1. Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме; способст­вовать развитию умения видеть и применять изученные законо­мерности в нестандартных ситуациях.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: фрон­тальная, самостоятельная работа учащихся обучающего характера, парная работа (взаимоконтроль).

Ход урока

1. Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.

Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель ак­центирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им воз­можность развивать как формально-логические умения по данной теме, так и уме­ния находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют возможность повысить свою математиче­скую культуру вычислений и повторить решение рациональных и дробно-рациональных уравнений, линейных и квадратичных неравенств. Учащимся со­общается план проведения урока.

  1. Проверка домашнего задания. (Проводится способом сличе­ния с доской.)

  2. Работа у доски. Два ученика решают следующие задания во время проведения устной работы:

1) Сколько членов последовательности уn=|n2 – 5n + 6|, n € N удовлетворяет неравенству 2≤yn ≤6

2) Решить уравнение (x + 1) + (x + 4)+… + (x + 28) = 155 .

После проведения устной работы выполненное задание оцени­вается.

Дополнительные вопросы:

  1. Какая последовательность называется арифметической (гео­метрической) прогрессией?

  2. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду - на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь секунд; за n секунд?

3. Устная работа. Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение последовательности, возрастающие и убы­вающие последовательности, способы задания последовательности, рекуррентный способ задания последовательности, определение арифметической и геометриче­ской прогрессии, их характеристические свойства.

1) Записать формулу общего члена последовательности:

1; - 4; 9 – 16; …

1; ; ; ; …

; ; ; …

  1. Является ли число -21 членом последовательности (bп), если bn = n2-10n?

  2. Могут ли числа быть членами одной арифметической (гео­метрической) прогрессии?

а) 1; ; 3 6)1; 15; 8; в) 2; 6; 4,5.

4) Известен a1 = - 81, q= - геометрической прогрессии (аn).

Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? От­вет объясните.

5) (bn) - геометрическая прогрессия, b3 = 8, b5 = 32. Найти b1 и b7.

П. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах.

Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющие у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе).

Знания и умения

Я

Другой

Знания формул n-го члена, суммы пер­вых членов прогрессии



Умение преобразований выражений



Вычислительная культура



Задание - заполнить пропуски в таблице, если п) - арифме­тическая и (bп) - геометрическая прогрессии.

a1

d

n

an

Sn

110

-10

11



5


26

105



3

12


210


2

15

-10



b1

q

n

bn

Sn

1

3

10




0,5

8

2


2


7

1458






Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооценивание. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера


III. «Я и мир логики».

1. Историческая справка о К. Ф. Гауссе.

На примере жизни и деятельности ученого учащиеся выясняют, что составля­ет основу математических способностей, выделяя умения анализировать, сравни­вать, наблюдать, находить главное, устанавливать закономерности, видеть новое в стандартных ситуациях.

Решение задач (устно).

  1. Вычислить: 1+2 + 3 + ...+99 + 100.

  2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не пре­восходящих 300.

  3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, де­лящихся на 7.

Следующее задание способствует тренировке смысловой памяти, наблюда­тельности, учит поиску закономерностей составления таблиц.

Учащимся показывается квадрат в течение одной минуты. Школьники долж­ны обнаружить закономерности составления таблиц, тогда запомнить расположе­ние чисел не составит труда.

Задание - запомнить все числа и затем их воспроизвести.

5

-10

20

640

-2

-40

320

-160

80

Числа 5,-10, 20, 240, 80 ... -640 - гео­метрическая прогрессия со знаменате­лем равным -2. Запомнить надо два числа: -2 и 5.


10

12,5

15

17,5

5

17,5

25

22,5

20

Закономерности:

1. Числа 10,15, 20,25 - кратные 5.

2. Числа 12,5; 17,5; 22,5 - среднее арифметическое двух соседних.

3. 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5 - арифметическая прогрессия с раз­ностью 2,5.

Запомнить: 5; 10; 2,5.

  1. 2

    4

    8

    16

    0

    2

    6

    14

    -2

    0

    4

    12

    -4

    -2

    2

    10

    В первой строчке геометрическая прогрессия со знаменателем равным 2.

  2. В каждом столбце арифметическая прогрессия с разностью -2.

Запомнить: 2.

Задания способствуют формированию интереса к предмету.


IV. Фронтальная работа учащихся по решению задач про­дуктивного характера.

Задание: решить уравнения.

1)52-54-56...5 = 0,04"28

2)1+х + х2 +...+х109 = 0

3)2х+1+х2 3 + х4 + х5 + ... = , |х|

При решении уравнений необходимо увидеть арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.

Ниже приводится решение данных уравнений.

1)52 * 54 * 5б... 52x = 0,04

52+4+6+…2x = 556

2 + 4 + 6+... + 2х = 56

Замечаем, что последовательность чисел 2, 4, 6, ... образует арифметическую прогрессию. Sn = 56, a1 =2, d= 2, n = x

Переформулируем задачу: при каком n сумма данной арифме­тической прогрессии равна 56?

* n = 56

n2 + n – 56=0

n1 = 7, n2 = -8 – не подходит, так как n € N

Ответ: 7.

2)1+х + х2+...+х109 = 0

Последовательность 1, х, х2, ... х109 образует геометрическую прогрессию со знаменателем q=. По условию q≠1 = x ≠1.

Переформулируем задачу: сумма членов геометрической про­грессии 1, х, х2,... х109 равна 0. Найти х.

х110-1=0

x110-1 = 0, x ≠ 1

x110 =1

x1= -1, x21 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -1.

3)2х+1+х2345 + ... = ,|х|

3)2х+1+х2345+ ... =


бесконечная геометрическая прогрессия

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии.

S =

3x + =

В результате решения дробно-рационального уравнения имеем, что x1 = и

x2= -. Найденные решения удовлетворяют условию.

Ответ: -;


V. Итог урока. Решение нестандартных задач.
Вычислить:

1.

1-й способ.

51/2*31/4* 51/8* 3*31/32=

= 5+ 3=

= 5= 75

2-й способ.

= х, = у

5у=х2 у =

х3 = 75 х =

3х=у2 3х =

2. 1002-992 + 982 - 972+...+22-12 =
199 + 195 +191+ ...+ 7 + 3 = 5050


арифметическая прогрессия

а1 = 3, а50 =199

3. (1 + 32 + 52 + ... + 1992) - (22 + 42 + ... + 2002) =
= 1-22 + 32-42 + ... + 1992-2002 =

-3-7-11...-399 = -20100


арифметическая прогрессия

а = -3, а = -399

VI. Постановка домашнего задания.

Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного пробела в знаниях. (Отчет анализа оформить письменно).

В каждой строке по трем данным вычислите неизвестные значения величин, если (а„) - арифметическая, (Ь„) - геометриче­ская прогрессии.

a1

d

n

an

Sn

-9

0,5



-75

-28


9


0

0,2



5,2

137,7



30

15,75

146,25


b1

q

n

bn

Sn


3


567

847

1 3

1 3




-3

4


30

3. x1, x2 - корни уравнения х2 - Зх + а = 0
x3, x4 - корни уравнения х2 -12х + b=0

Известно, что х1, х2, х3, х4 составляют возрастающую геометри­ческую прогрессию. Найти а и Ь.

4. Корни уравнения х4 - 10х2 + а = 0 составляют арифметическую прогрессию. Найти а.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Автор: Галуза Людмила Николаевна

Дата: 07.08.2017

Номер свидетельства: 425016

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства