План-конспект занятия "Вычисление пределов функции"
План-конспект занятия "Вычисление пределов функции"
Целью данной методической разработки является закрепление и усовершенствование практических приемов вычисления предела функции у студентов 2 курса среднеспециального образовательного учреждения.
В начале занятия студенты вспоминают определения понятия "предел", а также его основные свойства. Затем в конспекте занятия приведены примеры с подробным решением. В начале занятия преподаватель может напомнить студентам как решаются данные задания, а затем предложить студентам поработать у доски, постоянно контролируя правильность решения заданий. В конце занятия предлагается провести мини-самостоятельную работу, чтобы закрепить полученные навыки. Варианты самостоятельной работы по данной теме представлены в приложении (всего 4 варианта по 5 заданий).
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«План-конспект занятия "Вычисление пределов функции" »
План урока
Тема: «Вычисление пределов функции»
Тип урока – практическая работа.
Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции.
Задачи:
Формировать умения и навыки вычисления пределов;
Познакомить учащихся со способами раскрытия неопределенностей ( ;
Сформировать у учащихся навыки вычисления предела многочлена и отношения многочленов;
Сформировать у учащихся навыки применения первого и второго замечательных пределов для раскрытия неопределенностей ( ;
Развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
Формировать умения и навыки самостоятельно умственного труда;
Способствовать воспитанию дисциплинированности, усидчивости, навыков самостоятельности и умения работать индивидуально.
Структура занятия:
Организационный момент (1-2 минуты)
Проверка домашнего задания (7-10 минут)
Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний (3-5 минут)
Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях (40-45 минут)
Применение знаний и умений в измененных ситуациях (25минут)
Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)
Задание на дом (1 минута)
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.
2. Проверка домашнего задания:
Выясняет, были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.
3. Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний
Сообщается тему урока: «Вычисление пределов». Вместе с учащимися формулирует цель урока.
Прежде чем начать вычислять значения пределов функции, просит учащихся дать определение предела функции и вспомнить основные свойства пределов.
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для всех значений x, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов;
Постоянный множитель можно выносить за знак предела;
Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен 0;
Предел положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной;
Если переменные x,y,z удовлетворяют неравенствам xyz и x-a, z-a, то и y-a.
4. Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях:
Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции в точке.
№120. Найти
Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент x его предельным значением:
№121. Найти
Решение. Проверим, не обращается ли знаменатель дроби в нуль при x=2: имеем . Подставив предельное значение аргумента, находим
Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.
№122. Найти
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x0 равны 0. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим
Следовательно,
№123. Найти
Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2. В результате получим
Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен 0, и, сократив дробь на этом сомножитель, найти предел частного.
№124. Найти
Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х+2.
Здесь предел делителя равен 0. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремиться к 0, а числитель приближается к -1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так: .
Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.
№131. Найти
Решение. При x-∞ имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x3.Тогда получим
№134. Найти
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x3 и перейдя к пределу, получим
поскольку числитель последней дроби стремиться к пределу, отличному от нуля, а знаменатель – к нулю.
№135. Найти
Решение. При стремлении аргумента x к бесконечности имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x. Тогда получим
№136. Найти
Решение. Предельный переход всегда можно заменить предельным переходом при , если положить а=1/x (способ замены переменной). Так, полагая в данном случае x=1/а, найдем, что при Следовательно,
№137. Найти
Решение. 1 способ. Разделив числитель и знаменатель на x2, находим
2 способ. Положим x=1/а; тогда что при . Значит
№142. Найти
Решение. Здесь требуется найти предел разности двух величин, стремящихся к бесконечности (неопределенность вида ∞-∞). Умножив и разделив данное выражение на сопряженное ему, получим
Следовательно .
Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.
№ 143. Найти
Решение. Произведем подстановку kx=y. Отсюда следует, что при , а x=y/k. Тогда получим
Так как
№ 144. Найти
Решение. Имеем
Здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на x (это можно сделать, так как но x0), а затем воспользовались результатом предыдущего примера.
№ 145. Найти
Решение. Преобразуем числитель к виду 1-cos8x=2sin24x. Далее находим
№ 146. Найти
Решение. 1 способ. Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Применяя известную тригонометрическую формулу и выполняя элементарные преобразования, получим
2 способ. Преобразуем числитель следующим образом:
Следовательно,
№ 147. Найти
Решение. Заменив tg x на sin x/cos x, получим
№ 154. Найти
Решение. Имеем
Положим x/2=y. Тогда при неограниченном возрастании x переменная y также будет неограниченно возрастать. Поэтому, используя второй замечательный предел, получим = Итак, .
№ 155. Найти
Решение. Запишем основание степени в виде , а показатель степени – в виде . Следовательно,
№ 156. Найти
Решение. Имеем
=
5. Применение знаний и умений в измененных ситуациях:
Предлагает учащимся выполнить самостоятельную работу (4 варианта, см. приложение).
6. Подведение итогов урока, рефлексия
Объявляет итог урока, называет оценки.
В качестве рефлексии учащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.