Онлайн урок "Геометрический смысл производной2.

Дистанционное обучение(2урока).11кл.,математика. Тема урока: «Геометрический смысл производной». Цель:показать учащимся уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой,научить находить тангенс угла наклона . Ход урока(вступительное слово учителя) :

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку  с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке  , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.

В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.

Список вопросов теста

Вопрос 1

Какой вид имеет уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке (x₀; f(x₀))?

Варианты ответов

• 1

• 2

• 3

Вопрос 2

Выберите верное равенство.

Варианты ответов

• 1

• 2

• 3

Вопрос 3

В чём состоит геометрический смысл производной?

Варианты ответов

• Значение функции f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x; f(x)).

• Значение производной функции f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x; f(x)).

• Значение производной функции f(x) в точке x равно квадрату углового коэффициента касательной к графику функции в точке (x; f(x)).

Вопрос 4

Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x³ в точке с абсциссой x₀ = 1?

Вопрос 5

Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = ln x в точке с абсциссой x₀ = 1?

Вопрос 6

Чему равен угол между касательной к графику функции f(x) = ln x в точке с абсциссой x₀ = 1 и осью Ox?

Варианты ответов

• 1

• 2

• 3

Вопрос 7

Чему равно значение производной функции f(x) = e^xln x в точке x₀ = 1?

Варианты ответов

• 1

• 0

• e

Вопрос 8

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ - 2x² + 1 в точке с абсциссой x₀ = 2.

Варианты ответов

• y = 4x - 7

• y = 1

• y = 4x + 3

Вопрос 9

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = sin 2x - ln(x + 1) в точке с абсциссой x₀ = 0. Варианты ответов

• y = -x

• y = x . у=-1