Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания

	Методическая разработка теоретического занятия
	Специальность «Лечебное дело», 1 курс
	УД «Математика»

УТВЕРЖДАЮ Зав. по УМР ______________Е.Г. Ярандаева «_____»__________20___г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

теоретического занятия

по предмету «Математика»

(специальность «Лечебное дело», 1 курс)

ТЕМА: «Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

Пояснительная записка

Методическая разработка теоретического занятия по теме «Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания» создана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности Лечебное дело и предназначена для проведения занятия со студентами 1 курса по дисциплине «Математика». Согласно рабочей программе и КТП на изучение данной темы отводится 2 часа. Материалы методической разработки теоретического занятия составляют три основных блока: методический, информационный и самоконтроля.

В методическом блоке даны рекомендации по работе с методической разработкой, определены цели занятия, актуальность темы, мотивация, место проведения занятия, оснащение, указаны междисциплинарные связи, список литературы, домашнее задание, задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов, представлена хронологическая карта занятия.

Информационный блок включает терминологический словарь, материалы теоретического задания, раздаточный материала для студентов.

Блок самоконтроля знаний включает в себя:

-контрольные вопросы для самоконтроля;

С целью улучшения восприятия темы предлагается визуализация информации с помощью мультимедийной обучающей системы, где представлены текстовый материал, иллюстративный материал, схемы и т.д., которые отражают основные моменты теоретического занятия.

Предложенные варианты внеаудиторной самостоятельной работы студентов, (написание сообщений, составление терминологического словаря, составление кроссвордов и т.д.) способствуют более углубленному и детальному изучению данной темы.

Предлагаемый в методической разработке материал может быть использован как дополнительный к учебнику для более качественного усвоения материала, обобщения ранее полученных знаний.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

В соответствии с требованиями ФГОС:

Студент должен уметь:

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

• решать задачи при освоении образовательной программы.

Студент должен знать:

• значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

• основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

• основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

• основы интегрального и дифференциального исчисления

• основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики, основные численные методы решения прикладных задач.

Цели занятия:

1. Дидактические: формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС:

• участие в формировании элементов общих и профессиональных компетенций в области математики:

• организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач (ОК2);

• отпускать лекарственные средства населению (ПК 1.2.)

• изготавливать лекарственные формы по рецептам (ПК 2.1.)

2. Развивающие:

1. развивать способность осуществлять поиск информации;

2. развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

3. развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях;

4. развивать вычислительные навыки.

3. Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к профессии мед.работника;

- воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

- воспитывать толерантность;

- продолжить формирование аккуратности и точности.

Тип занятия: лекция -дискуссия

Вид занятия: теоретическое занятие

Методы обучения: частично-поисковый

Оснащение: Мультимедийная презентация

Продолжительность занятия: 90 минут.

ИНТЕГРАЦИЯ УЧЕБНОЙ ИНФОРМАЦИИ ТЕМЫ.

1. Межпредметные связи

Обеспечивающие дисциплины	Обеспечиваемые дисциплины и МДК
	МДК 01.01 Здоровый человек и его окружение

2. Внутрипредметные связи

Обеспечивающие темы	Обеспечиваемые темы
Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.	Определение вероятности события. Изложение основных теорем и формул вероятностей.

Используемая литература:

Для студентов: Основная литература:

1. Пехлецкий И.Д. Математика. М.,2011.

2. Учебное пособие по математике. Иванова Н.Л., Костригина Т.А.2004г.

Для преподавателей:

1. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х ч. М., 1986

2. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983

ХОД ЗАНЯТИЯ

Основные этапы теоретического занятия и их содержание	Время мин.	Обоснование методических приемов
1. Организационный момент Проверка санитарного состояния аудитории и внешнего вида студентов; регистрация отсутствующих.	5	С целью настроить студентов на восприятие учебной атмосферы занятия, воспитания организованности и ответственности студентов.
2. Постановка целей и задач. Создание мотивационного пространства. Актуализация знаний. Сообщение темы занятия, плана теоретического занятия; информация о целях занятия, методах подачи теоретического материала. Указание на межпредметные связи и связь с будущей профессией. Актуальность темы. Мотивация. Актуализация опорных знаний	10	С целью мотивации необходимости  получения знаний, использования их  в  будущей практической деятельности.
3. Изложение нового материала с использованием активных методов изложения. План: Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.	60	Достигаются дидактические, развивающие и воспитательные задачи, происходит формирование общих компетенций.
5. Подведение итогов занятия.	10	С целью логического завершения занятия, создания ситуации для системного подхода в изучении дисциплины.
6. Сообщение домашнего задания	5	С целью координации самостоятельной работы студентов.

Приложение 1 Информационный блок

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – часть математики. Она изучает комбинаторные задачи. Это задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно осуществить то или иное требование, выполнить какое-либо условие, сделать тот или иной выбор.существует 3 основные комбинаторные операции:

1. Перестановки – P_n

2. Размещения - A_n^k

3. Сочетания - C_n^k

Комбинаторика рассматривает только натуральные числа.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, тогда каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из n элементов, называется перестановкой. Вычисляются перестановки с помощью факториала.

Обозначается – n! n! – произведение всех натуральных чисел от единицы до n.

0! =1; 1! = 1; 2! = 1· 2 = 2; 3! = 1· 2 · 3 = 6; u! = 1· 2 · 3· ... · u .

Перестановки вычисляются по формуле:

P_n = n!

Пример: Сколькими способами можно переставить слова: математика, латинский, химия?

n = 3  P₃ = 3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, тогда каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k.. Вычисляется по формуле:

n!

А_n^k = (n – k)!

Пример: Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно A_n^k_.

n =7, k = 4, получаем A₇⁴ = 7!/ (7 – 4)! = 7· 6· 5· 4 = 840.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, тогда каждое его подмножество, состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k. Вычисляется по формуле:

n!

C_n^{k =} (n –k)! · k!

Пример: Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой 1 раз?

Здесь в матче играют две команды. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16

₂

элементов, т.е. их число равно C₁₆ = 16!/(16 – 2)! · 2! = 16!/14! · 2! = (16 · 15)/2 =120.

Основные свойства сочетаний.

1. Условились, что 

2. 

3. 

4. 

5. 

Сочетания и размещения широко используются при вычислении классической вероятности случайных событий.

Пример. В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких. Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди выбранных орехов содержатся 2 грецких.

Решение. Число исходов опыта . Случайное событие A - среди пяти выбранных орехов содержатся 2 грецких ореха. Число исходов, благоприятствующих событию A, равно:. Искомая вероятность  .

Задачи.

1. Найти вероятность того, что случайно выбранное 5-значное (десятичное) число не содержит цифры 5.

2. Предприятие располагает 5 вакансиями для мужчин, 5 вакансиями для женщин и 4 вакансиями для работников любого пола. В отдел кадров предприятия обратилось 20 человек, среди которых 12 мужчин и 8 женщин. Сколькими способами предприятие может заполнить имеющиеся вакансии?

3. В классе 25 учеников, из которых 13 юношей и 12 девушек. Сколькими способами 25 учеников могут встать в шеренгу так, чтобы юноши после удаления из строя девушек, оказались построенными по росту; аналогично девушки после удаления из строя юношей оказались построенными по росту?

В современной литературе наиболее употребителен для обозначения числа k-сочетаний из n элементов символ , n называют верхним индексом, k - нижним индексом. 
Используя свойства сочетаний 1, 2, 4, составим таблицу1.

Таблица 1.Треугольник Паскаля 

n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице1, арифметическим. Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий "Трактат об арифметическом треугольнике" (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи. 
Сочетания имеют многочисленные интерпретации и приложения. Сочетания  являются биномиальными коэффициентами в разложении бинома

     (1.4)

В этой интерпретации индексы могут принимать вещественные значения. Используя свойства биномиальных коэффициентов (при разных ограничениях на выбор верхних и нижних индексов), доказано громадное число комбинаторных тождеств, составивших самостоятельный раздел комбинаторной математики. В частности, из формулы 1.4 при x = 1, получим , при
x = -1, n 0, получим , продифференцировав равенство 1.4, получим при x = 1, и т.д. 
Существует тесная связь между подмножествами множества и разложениями целого (положительного) числа. Разложение n есть представление числа n в виде упорядоченной суммы положительных целых чисел. Например, существует восемь разложений числа 4, именно: 
1+1+1+1   3+1 
2+1+1      1+3 
1+2+1       2+2 
1+1+2         4 
Если разложение  содержит в точности k слагаемых, то говорят, что  имеет k частей и называется k-разложением. Для k-разложения  числа n: a₁ + a₂ + …+ a_n - определим 
(k - 1)-подмножество (  ), (n - 1)-множества {1, 2, …, n-1}, формулой.

 ( ) ={ a₁, a₁ + a₂,…, a₁ + a₂ +…+ a_k-1 }        (1.5)

Эта формула устанавливает биекцию между всеми k-разложениями числа n и (k - 1)-подмножествами (n - 1)-множества. 
Следовательно, существует k-разложений числа n и 2^n-1 разложений числа n. Биекцию  часто схематично изображают строкой, состоящей из n точек и k - 1 разделяющей вертикальной черты. Точки разделились по k линейно упорядоченным "купе"; числа точек в "купе" соответствуют слагаемым в k-разложении числа n. Например, строка  |  |  |  |   |  соответствует разложению 1+2+1+1+3+2. Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчёта числа N(n,k) решений уравнения

x₁ + x₂ + …+ x_k = n                (1.6)

Неотрицательные целые решения уравнения 1.6 называются слабыми k-разложениями числа n. Число неотрицательных целых решений уравнения 1.6 равно числу положительныхрешений уравнения

y₁ + y₂ + … + y_k = n + k,

то есть числу k-разложений числа n + k. Таким образом, N(n,k) =  .

Если k-сочетание содержит повторяющиеся элементы, то такое k-сочетание называют 
k-мультимножеством. Число всех k-сочетаний с повторениями из данного n-элементного множества обозначим через  , где

        (1.7)

Сочетание  можно интерпретировать, как распределение элементов n-множества S между двумя категориями, первая из которых содержит k элементов, вторая содержит n - kэлементов. Обобщим это представление. Пусть (a₁, a₂, …, a_m)- последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равна n. Рассмотрим m категорий C₁, C₂, … C_m. 
Обозначим символом         (1.8) 
число способов распределения n элементов среди категорий C₁, C₂, … C_m так, чтобы категории C_i принадлежало точно a_i элементов. Тогда         (1.9)

Вывод: Если множество состоит из n элементов, то

n + порядок P_n = n!

n!

Из n k + порядок A_n^{k =} (n – k)!

n!

k C_n^{k =} (n – k)!· k!

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение факториала

2. Дать определение перестановки, размещения, сочетания.

3. Обосновать основных понятия комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.

Лист регистрации изменений

№ изменения	Номера листов (страниц)			Всего листов (страниц) в документе	Вход. № сопроводительного документа и дата	Подпись ответственного за внесение	Дата
	Измененных	Новых	Аннулиро-ванных

Редакция: 1.0