Методы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений

Исследования методов решений квадратных и дробно рациональных уравнений

Выполнили:

Аббасов Руслан

Землянский Руслан

Голубцов Артур

Содержание

• Из истории
• Определение
• Классификация
• Способы решения
• Теорема Виета
• Проверка знаний
• Решение дробно рациональных уравнений
• Выдающаяся личность Виет

О математика. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Мы славим разум человека, Дела его волшебных рук, Надежду нынешнего века, Царицу всех земных наук. Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения Того, что каждый школьник должен знать – Историю квадратных уравнений.

Из истории

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Из истории

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратным уравнением называется уравнение вида где a , b, c , d – заданные числа, x – переменная. Числа a, b, c носят следующие названия: a - первый коэффициент, b второй коэффициент, с - свободный член.

КЛАССИФИКАЦИЯ

Полные: ax 2 + bx + c =0 ,

где коэффициенты b и с отличны от нуля ;

Неполные: ax 2 + bx =0, ax 2 + c =0 или ax 2 =0

т.е. хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю;

Приведенные: x 2 + bx + c =0 ,

т.е. уравнение, первый коэффициент которого равен единице (а=1).

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

• Решение полных квадратных уравнений
• Дискриминант
• Решение неполных квадратных уравнений
• Решение приведенного квадратного уравнения
• Графический метод решения квадратных уравнений
• Решение биквадратных уравнений

Решение полных квадратных уравнений

По формуле корней квадратного уравнения: a x 2 + b x + c =0 ,

Дискриминант

Дискриминант

при

квадратное уравнение имеет два корня

Дискриминант

при

квадратное уравнение имеет один корень

Дискриминант

при

квадратное уравнение не имеет корней

Формулы корней

Решение неполных квадратных уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов c или b равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным квадратным уравнением .

    1.Если c =0 и b =0 , то уравнение ax 2 =0 имеет один корень x =0 ;

2.Если c =0 , то уравнение ax 2 + bx =0 имеет два корня:

3.Если b =0 , то уравнение ax 2 + c =0

при не имеет корней,

при имеет два корня

Решение приведенного квадратного уравнения

3. По теореме обратной теореме Виета

x 2 + bx + c =0

х 1 +х 2 =- b,

x 1 ×x 2 =c .

1.По формуле корней квадратного уравнения

2. Метод выделения полного квадрата

Пример . x 2 +2x-3=0

x 2 +2x=3,

x 2 +2x+1=3+1

(x+1) 2 =4

x+1=2 или x+1=-2

x 1 =1 , x 2 =-3

Графический метод решения квадратных уравнений

Чтобы получить решение квадратного уравнения графическим способом Квадратное уравнение разделяют на две функции, линейную и квадратичную. А затем строят графики этих функций на одной координатной плоскости.

-

-

Квадратное уравнение

ах ^ 2 +bx+c=0

Разбивают на 2 части

y 1 =ax^2

y 2 =-(bx+c)

Графический метод решения квадратных уравнений

• Функция y1 это парабола. Функция y2 это прямая линия. Решением, корнями квадратного уравнения являются точки пересечения этих функций.
• При решении могут представиться три варианта:
• Функции имеют две точки пересечения - два корня квадратного уравнения действительны и различны между собой.
• Функции имеют одну точку пересечения - квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
• Функции не имеют ни одной точки пересечения - тогда оба корня квадратного уравнения мнимые, комплексные числа.

Решение биквадратного уравнения

Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .

• Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .
• Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .

Пример . 9 x 4 +5 x 2 -4=0

Обозначим x 2 = t . Тогда данное уравнение примет вид

9 t 2 +5 t -4=0

Откуда t 1 =9/4, t 2 =-1.

Уравнение x 2 =4/9 имеет корни x 1 =2/3, x 2 =-2/3 ,

а уравнение x 2 =-1 не имеет действительных корней.

Решение квадратных уравнений

Если все коэффициенты квадратного уравнения отличны от нуля, то находим дискриминант.

Если квадратное уравнение является приведенным, то можем его решить с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета.

Если x 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 +рх+ q =0 , то х 1 +х 2 = - р , х 1 . х 2 = q .

Если коэффициент при квадрате переменной равен 1, то уравнение называется приведенным.

Решите?

1.

2.

3.

4.

5.

Проверим…

1.

так как получили число меньше нуля, следовательно, уравнение корней не имеет

Проверим…

2.

Проверим…

3.

Проверим…

4.

найдем дискриминант

так как дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней

Проверим…

5.

Решение дробно рациональных уравнений

• При решении уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби сначала нужно избавиться от дроби.  Для этого находят наименьший общий знаменатель, и обе части уравнения умножают на этот знаменатель. Далее полученное выражение упрощают, и получается обыкновенное линейное или квадратное уравнение.
• Только нужно найти область допустимых значений выражения (ОДЗ). После того, как найдены корни уравнения, обязательно проверяем, входят ли они в ОДЗ.
• Вспомним два правила решения уравнений:
• 1) Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, корни уравнения не изменятся.
• 2) Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком .

Выдающаяся личность Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и, отчасти, благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.