Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»

Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области

областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Белгородский строительный колледж»

Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ по теме

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Белгород 2015

_{ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1.}

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: Выработать навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса и арккотангенса числа а.

б) Перечислите свойства обратных тригонометрических функций.

в) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.

2. По образцу выполнить тренировочные задания.

3. Изучить условие задания для самостоятельной работы.

Теоретические сведения

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида: sin x = a, cos x = a, tg x a, ctg x=a.

ПРИМЕР 1. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ. По формуле частного случая:

.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Разделим левую и правую части уравнения на 2: .

По формуле x =  arccos a +2n получаем:

Разделим левую и правую части уравнения на 3: .

Ответ: .

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Выразим : .

По формуле x = arctg a +n получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на : .

Ответ: .

Пример 4. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Произведение равно нулю, если: 1. , то ;

2. , то , значит, .

Ответ: .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1 Решите уравнения: а) ; б) ; в); г) ; д) .	Вариант 2 Решите уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	Вариант 3 Решите уравнения: а) ; б) ; в); г) ; д) .
Вариант 4 Решите уравнения: а) ; б); в); г); д) .	Вариант 5 Решите уравнения: а) ; б); в) ; г) ; д) .	Вариант 6 Решите уравнения: а) ; б) ; в); г); д) .

_{ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.}

Тема: Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным.

Цель работы: 1. Повторить: определение и способы решения простейших тригонометрических уравнений; определение квадратного уравнения, формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения;

2. Сформировать знания об отличительных признаках и способах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным;

3. Сформировать умение выделять среди тригонометрических уравнений тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным и решать их.;

4. Развивать логическое мышление, память, внимание, речь; умения рассуждать и выделять главное; умение самостоятельно приобретать знания и применять их на практике, развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

_{ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:}

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Дайте определения тригонометрического уравнения.

б) Что такое простейшее тригонометрическое уравнение?

в) Что значит решить простейшее тригонометрическое уравнение?

г) Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

д) заполните таблицу:

а	Sin x= a	Cos x= a
0
1
-1

1. Изучить теоретические сведения и по образцу выполнить тренировочные задания.

2. Изучить условие задания для самостоятельной работы.

3. Выполнить самостоятельную работу.

_{ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ}

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.

2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Тригонометрические уравнения, решаемые путем приведения к квадратным.

1) Уравнения вида a sin² x +b sin x + c= 0 , где a  0, решаются приведением к квадратному путем замены sin x = t (аналогично решаются уравнения с cos x, tg x, сtg x).

2) Уравнения вида a sin² x+b cos x + c = 0, a cos ² x+b sin x + c = 0, a tg x +b ctg x+c=0. При решении справедливы тождества: sin² x = 1 – cos² x, sin² x = 1 – cos² x, ctg x = 1/tg x и т.д.)

3) Уравнения вида a sin² x +b sin x = 0 (c=0), sin x(a sin x + b)=0, sin x=0 или a sin x+b=0.

4) sin² x = a, . 5) cos² x = a, .

6) tg² x = a, . 7) ctg² t = x, .

Алгоритм решения:

– Если в уравнение входят различные тригонометрические функции, то надо выразить их через одну (используя тригонометрические тождества).

– Вводится обозначение (например, sinx = t, ). 

– Решается квадратное уравнение.

– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

ПРИМЕР 1. Решите уравнение .

Решение. Замена: sin x = t, |t| 1, тогда данное уравнение можно записать в виде .

D = (-6)² -4(-5)8= 90 – 2 корня. .

Возврат к замене: 1)

.

2) sin x= 5/4, - нет корней.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: 2 sin²x – 5 cos x +1 = 0.

Решение. Применив основное тригонометрическое тождество: sin²x = 1 – cos² x, получим:

2(1 – cos²x) – 5 cos x +1 = 0,

2 - 2 cos²x – 5 cos x +1 = 0,

2 cos²x + 5 cos x -3 = 0. Это уравнение является квадратным относительно .

Замена: cos x=t, |t|1, тогда 2t² + 5t – 3 = 0.

D = 5² -4(-3)2= 490 – 2 корня. .

Возврат к замене: 1) cos x = - 3, |-3|1 – нет корней,

2)

Ответ:

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: tg x + 3 ctg x = 4.

Решение. Применив основное тригонометрическое тождество ctg x = 1/tgx, получим:

, умножим левую и правую часть уравнения на tgx.

tg² x – 4 tg x +3 = 0, замена tg x = t, тогда данное уравнение можно записать виде: t² – 4 t +3 = 0.

D = (-4)² -43= 40 – 2 корня. .

Возврат к замене: 1) tg x = 3, x₁ = arctg 3 + n, nZ,

2) tg x = 1, x₂ = /4+ n, nZ.

Ответ: arctg 3 + n, nZ, /4+ n, nZ.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Решите уравнение:

1. cos 2x = 2sin²x; 2. 3. .

_{ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.}

Вариант 1. Решите уравнения: а) cos2x= ½; б) 3cos2x + 2cos x – 1 = 0; в) cos2x + 4sin x – 1 = 0; г) tg x + 3ctg x – 4 = 0.

Вариант 2. Решите уравнения: а) sin2x= 1/4; б) 2sin2x + 3sin x – 2 = 0; в) 4sin2x – 4cos x – 1 = 0; г) tg x – 2ctg x + 1 = 0.

Вариант 3. Решите уравнения: а) tg2x = 1/3; б)4cos2x + 4cos x – 3 = 0; в)cos2x – 2sin x +2 = 0; г)tg x + 2ctg x – 3 = 0.

Вариант 4. Решите уравнения: а) ctg2x = 3; б) sin2x - 4sin x + 3 = 0; в) 2sin2x + 3cos x – 3 = 0; г) tg x – 2ctg x – 1 = 0.