Методическая разработка по теме "логарифмическая функция, ее свойства и график"

Министерство здравоохранения Саратовской области

Аркадакский филиал

Государственного автономного профессионального образовательного

учреждения Саратовской области

«Балашовский медицинский колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

к занятию

по дисциплине: «Математика»

для студентов 1 курса 2 семестра

специальности 34.02.01. «Сестринское дело»

Тема: Логарифмическая функция, её свойства и график.

Автор: Князева Ольга Николаевна

Аркадак, 2017 г.

Аннотация

Данная методическая разработка выполнена преподавателем математики и информатики высшей квалификационной категории Аркадакского филиала Князевой О.Н.

Название: Методическая разработка к занятию по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса специальности 34.02.01. «Сестринское дело» Тема: Логарифмическая функция.

Данная методическая разработка предназначается преподавателю в качестве помощи при изучении темы «Логарифмическая функция». В основной части представлен учебный материал, вопросы по теме занятия для студентов, практические задания, примеры решения логарифмических уравнений и неравенств. Указано оснащение занятия, поставлены цели занятия, а также профессиональные компетенции, которыми должен владеть студент. Примеры выполнения учебных заданий позволят студентам самостоятельно решать подобные задания и отработать навыки решения задач по данной теме. Для проверки уровня усвоения данной темы прилагаются тренировочные задания. Для подготовки к занятию по данной теме преподавателем составлены рекомендации, при выполнении которых студент сможет успешно подготовиться к занятию.

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Курс: 1, уровень: базовый

Количество часов: 2

Тип занятия: «открытие нового знания» (ОНЗ)

Планируемые образовательные результаты:

1) личностные: формировать умения

- работать в коллективе;

- находить согласованные решения;

2) метапредметные: формировать умения самостоятельно

- планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;

- ставить цели;

- выбирать и создавать (конструировать) алгоритмы решения учебных математических задач;

3) предметные:

- познакомить с логарифмической функцией и ввести её определение;

- научить строить график логарифмической функции;

- научить применять логарифмическую функцию при решении большого круга задач.

Основные виды учебной деятельности (на уровне учебных действий): обучащийся научится:

- распознавать виды элементарных функций; строить график логарифмической функции по анализу её свойств, по точкам;

- описывать свойства логарифмической функции, заданной аналитически и графически;

- показывать схематически положение на координатной плоскости графика логарифмической функции при проведении всевозможных видов преобразований;

- применять полученные знания к решению различных видов задач: сравнение чисел, содержащих логарифм числа, решение уравнений (неравенств).

План занятия:

1.Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности.

2.Этап актуализации опорных знаний.

3.Этап выявления места и причины затруднения.

4.Этап построения проекта выхода из затруднения.

5.Этап реализации построенного проекта.

6.Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи.

7.Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.

8.Этап включения в систему знаний и повторения.

9. Рефлексия учебной деятельности.

1.Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности

Создать условия для возникновения внутренней потребности
включения в деятельность («хочу»); актуализировать требования к ученику со стороны учебной деятельности («надо»); установить тематические рамки учебной деятельности («могу»).

2. Этап актуализации опорных знаний

Повторение изученного материала в форме фронтального опроса:

1.Что такое функция?

2.Что такое график функции?

3.Что называется областью определения и областью значения функции?

4.Какие функции вам знакомы?

5.Перечислите свойства, характеризующие функцию.

6.Для чего нужно изучать функции и их свойства?

Предполагаемые ответы учащихся:

1.Функция это зависимость одной величины от другой

2. Графиком функции f, называют множество всех точек ( х;y) координатной плоскости, где Y= f(х) , а Х пробегает всю область определения функции f.

3. Областью определения функции это множество всех значений переменной х, при которой функция имеет смысл.

4.Линейная функция, обратная пропорциональность, степенные функции, тригонометрические функции, показательная функция.

5. С помощью элементарных функций можно описать реальные процессы в архитектуре, природе, космосе, медицине и т. д.

Посмотрите пожалуйста на перечисленные ниже функции и скажите все ли вам известны?

1) y= kx+b;

2) y=kx ;

3) y=xⁿ, n-нечетное;

4) y=tg x;

5) y= ,n- нечетное;

6) y=xⁿ, n- четное;

7) y=sin x;

8) y=cosx;

9) y=xⁿ+1, n-нечетное;

10) y=log₂x;

11) y=log½x.

Для нескольких графиков не знаем, какой элементарной функции они соответствуют, возможно, что среди них есть функция, содержащая логарифм числа, который мы изучали на прошлых уроках.

3.Этап выявления места и причины затруднения

Появляется на слайде портрет великого математика – Леонарда Эйлера и краткая справка о нём. - Как вы думаете в связи с чем появился портрет этого учёного?- Как вы считаете, зачем нужно изучать логарифмическую функцию? - Где мы можем встретить логарифмы?

Сформулируйте тему и цель урока. (Предполагаемые ответы)

- Логарифмическая функция, её свойства и график.

- определение логарифмической функции – это заслуга Леонарда Эйлера.

- в природе, технике, астрономии, психологии и т.д.

-сообщение студента (домашняя заготовка)

4. Этап построения проекта выхода из затруднения

Применение логарифмов в повседневной жизни.

Испокон веков математика считается главным посредником между человеком и природой. Именно в ней нашли своё отражение логика и порядок устройства Вселенной, которым подчинён весь окружающий мир. Эта наука настолько прочно проникла во все сферы жизни общества, что мы, даже не замечая этого, регулярно прибегаем к простейшим математическим вычислениям и терминологии. Точные формулы позволяют учёным детально описать, спрогнозировать и просчитать до мелочей результаты любого процесса и явления. А уж научно-технический прогресс своим стремительным развитием обязан исключительно математике, ведь без неё он бы так и остался фантастической идеей в умах миллионов. Ещё итальянский астроном Галилео Галилей сказал: "Великая книга природы написана математическими символами". Позднее эту гипотезу подтвердил на практике один из основоположников современной физики – Исаак Ньютон. Тем самым, навсегда сделав два важнейших научных направления единым целым. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математике, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль:

Спирали – плоские кривые линии, многократно обходящие одну точку из точек на плоскости, называемую полюсом спирали.

Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию.

Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Любому сомневающемуся в тесной и неразрывной связи математических явлений с явлениями природы стоит в качестве доказательства продемонстрировать яркие и удивительно наглядные примеры этого диковинного соседства: раковины улиток и моллюсков, морские коньки, папоротники, океанские волны, чешуйки сосновой шишки, паутина, которую плетут некоторые виды пауков, семена подсолнуха и пр. представляют собой не что иное, как математическую кривую — логарифмическую спираль.
Тому, кому этих примеров  недостаточно, можно  обратить свое внимание на более «высокие» сферы: галактики открытого космоса (в том числе галактика, включающая в себя Солнечную систему), облака, образующие циклоны, хвосты комет, ураганы, следы от врезавшихся в землю метеоритов и пр. — все это явления в природе логарифмической спирали, которую также называют равноугольной, изогональной, чудесной, спиралью роста, спиралью Декарта (открывшего ее в XYII веке) и спиралью Бернулли. Кроме того, желающие немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе могут согнуть указательный палец, который тут же примет форму золотой спирали — спирали, витки которой находятся по отношению друг к другу в пропорции золотого сечения. Особенность логарифмической спирали, имеющей бесконечное множество витков, состоит в том, что расстояние между ее витками  находится в зависимости от расстояния между ними и центром — полюсом — спирали: с увеличением этого расстояния в геометрической прогрессии увеличивается и расстояние между витками. Их форма никогда не подвергается изменениям. Мысленно проведя из центра спирали прямую, можно убедиться, что она всегда будет находиться под одним и тем же углом к любому из ее витков — именно в этой связи логарифмическую спираль также называют равноугольной.
Многие ученые, философы и даже поэты преклонялись перед красотой и изяществом логарифмической спирали:  И.-В.Гете признал эту кривую символом жизни и развития человеческой души, а швейцарский математик Якоб Бернулли сделал ее своеобразным символом воскресения.

Спираль -от лат "спира" - изгиб, извив

Логарифмическая спираль нередко  используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали — под постоянным углом к разрезаемой  поверхности, благодаря чему лезвие ножа  стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам,  инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их  подводит, и бабочки попадают в пламя по  скручивающейся логарифмической спирали.

5.Этап построения проекта выхода из затруднения

1. Понятие логарифма.

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.

В зависимости от значения основания приняты два обозначения

1. Если основанием является 10, то вместо log₁₀ x пишут lg x.

2. Для введения следующего определения стоит понимать что за число e.
Число е есть предел, к которому стремится при неограниченном возрастании n. Т.е

Вместо log_e x принято писать ln x.

Из определения логарифма следует следующее тождество:

Можно выделить три формулы

1. Графики логарифмических функций.

1. График функции y=lg x

2. График функции y=ln x

3. График функции y = log_a x, a1

4. График функции y = log_a x, 0a

5. Свойства функции f(x)=log_a x

1. D(f)=(0;+∞);

2. Не является ни четной, ни нечетной;

3. При a1 функция возрастающая, при 0a

4. Не ограничена;

5. Не имеет ни максимального, ни минимального значения;

6. Непрерывна;

7. E(f)=(- ∞;+ ∞);

8. Асимптота х=0;

9. Выпукла вверх при a1, выпукла вниз при 0a

Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

3. Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

2. Логарифм частного.

Логарифм частного равен логарифмов делимого без логарифма делителя:

3. Логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

4. Логарифм корня.

Логарифм корня равен отношению логарифма подкоренного выражения и показателя корня:

5. Переход от одного показателя к другому.

6. Свойства натуральных логарифмов.

Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:

Чтобы по известному натуральному логарифму числа х найти его десятичный логарифм, нужно умножить натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:

Число lg e=0.43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М.

6.Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи

1. Решение логарифмических уравнений

х ² = 5 х = 4^0.5

х = 2

Ответ: Ответ: х = 2

2. Решение логарифмических неравенств

2^х 2^log₂³

х = 0 х

Ответ: х Ответ: х ; +

7. Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону

1. Постройте график функции

а) y=log₂ x; б) y=log₂ (x-3); в) y=log½ x; г) y=log½ (-x).

2 . Решите уравнение

а) log₂x=5; б) log₃x=0,5; в) log₅x=-1; г) log_0,5x=2; д) log_0,3x=-1;

е) log_0,25x=-0,5.

3. Решите неравенство

а) log₂x1; б) log₃x-1; в) lg xlog₉x0; д) log₂x0; е) lgx-2.

Студенты выполняют задания под контролем преподавателя Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.

1. D(f)=(0;+∞);

2. Не является ни четной, ни нечетной;

3. При a1 функция возрастающая, при 0a

4. Не ограничена;

5. Не имеет ни максимального, ни минимального значения;

6. Непрерывна;

7. E(f)=(- ∞;+ ∞);

8. Асимптота х=0;

9. Выпукла вверх при a1, выпукла вниз при 0a

Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

8. Этап включения в систему знаний и повторения

Вопросы для самопроверки

1.Понятие логарифма

2.Как выглядит график функций y=lgX?

3.Как выглядит график функций y=lnX?

4.Как выглядит график функций y=log_aX при a1?

5.Как выглядит лагорифм функций y=log_aX при 0a

6.Кто открыл логарифмическую спираль?

7.Где можно наблюдать логаримитическую спираль в природе?

9. Этап рефлексии учебной деятельности

Организуется рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности на уроке.

Учащиеся соотносят цель и результаты своей учебной деятельности и фиксируют степень их соответствия.

Намечаются цели дальнейшей деятельности и определяются задания для самоподготовки (домашнее задание с элементами творческой деятельности).

Источники:

1. Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

3. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

4. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. Пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

5. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /(С.М. Никольский, М.К. Потапова, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин). – 7-е изд., с испр. – М.: Просвещение, 2014. – 430 с.: ил. – ISBN 978-5-09-018907-1.