Методическая разработка по математике на тему "Конструирование контекстных заданий".

3

«Конструирование контекстных заданий: Числа»

Пономарёва Ольга Фёдоровна, учитель математики

МКОУ Кумылженской СШ № 1 имени Знаменского А.Д.

Задача 1.

Сколько целых точек лежит на отрезке, соединяющим точки а) и ; б) и .

Решение.

a) I способ

Если (m, n) лежит внутри на таком отрезке и не совпадает с его началом, то m/n = 20/28 = 5/7. Поэтому m = 5k, n = 7k, где k целое. Если учитывать все точки, то 0 ≤ k ≤ 4, и таких точек будет 5. Это не что иное как НОД(20,28)+1.

Ответ: 5.

Решение.

a) II способ

у

А(20;28)

F (15; 21)

В(10;14)

С (5; 7)

х

О(0;0)

Воспользуемся прямоугольной системой координат на плоскости Оxy, О(0, 0) и А(20, 28) – две несовпадающие точки с заданными координатами.

Обозначим точкой В середину отрезка ОA.

Определим координаты х и у для точки В, используя формулу х=(х₁+х₂):2; у=(у₁+у₂):2.

В((0+20):2; (0+28):2), В (10; 14) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Обозначим точкой С середину отрезка ОВ. Определим координаты х и у для точки

С((0+10):2; (0+14):2), С (5; 7) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Обозначим точкой F середину отрезка ВА. Определим координаты х и у для точки

F ((10+20):2; (14+28):2), F (15; 21) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Точки О (0, 0) и А (20, 28) являются концами отрезка ОА, которые так же являются целыми точками, лежащими на отрезке ОА.

Согласно изложенному выше, пять целых точек О, С, В, F, А лежат на отрезке, соединяющим данные точки.

Ответ: 5.

Решение.

б) I способ

Если (m, n) лежит внутри на таком отрезке и не совпадает с его началом, то m/n = -56/72 = 7/9. Поэтому m = -7k, n = 9k, где k целое. Если учитывать все точки, то 0 ≤ k ≤ 8, и таких точек будет 9. Это не что иное как НОД(-56,72)+1.

Ответ: 9.

Решение.

б) II способ

у

М(-56, 72)

Z (-49; 63)

S (-42; 54)

N (-35; 45)

K (-28; 36)

W (-21; 27)

Q (-14; 18)

P (-7; 9)

х

О(0;0)

Воспользуемся прямоугольной системой координат на плоскости Оxy, О(0, 0) и М(-56, 72) – две несовпадающие точки с заданными координатами.

Точка К – середина отрезка ОМ.

Определим координаты х и у для точки К, используя формулу х=(х₁+х₂):2; у=(у₁+у₂):2.

K((0-56):2; (0+72):2), K (-28; 36) – целая точка лежит на отрезке ОМ.

Обозначим точкой Q середину отрезка ОK. Определим координаты х и у для точки

Q ((0-28):2; (0+36):2), Q (-14; 18) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой S середину отрезка MK. Определим координаты х и у для точки

S ((-28-56):2; (36+72):2), S (-42; 54) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой P середину отрезка ОQ. Определим координаты х и у для точки

P ((0-14):2; (0+18):2), P (-7; 9) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой W середину отрезка QK. Определим координаты х и у для точки

W ((-14-28):2; (18+36):2), W (-21; 27) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой N середину отрезка KS. Определим координаты х и у для точки

N ((-28-42):2; (36+54):2), N (-35; 45) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой Z середину отрезка SM. Определим координаты х и у для точки

Z ((-42-56):2; (54+72):2), Z (-49; 63) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Точки О (0, 0) и M (-56, 72) являются концами отрезка ОM, которые так же являются целыми точками, лежащими на отрезке ОM.

Согласно изложенному выше, девять целых точек О, P, Q, W, K, N, S, Z, M лежат на отрезке, соединяющим данные точки.

Ответ: 9.

Задача 2.

Докажите иррациональность числа sin22, если известно, что sin88 иррациональное число.

Доказательство.

I способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos⁴ 2º- 6 cos² 2º • sin² 2º+ sin⁴ 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos³ 2º-4 sin³ 2º• cos 2º)= 1/2(cos⁴ 2º-6 cos² 2º• sin² 2º+ sin⁴ 2º)-2√3(sin2º• cos³ 2º- sin³ 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3(у• х³ - у³ • х) =1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3ху( х² – у²).

Учитывая, что cos2º=х иррациональное число, оценим разность 1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ ) - 2√3ху( х² – у²), которая является иррациональным числом.

Доказали иррациональность числа sin22при условии, что sin88 иррациональное число.

Доказательство.

II способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos⁴ 2º- 6 cos² 2º • sin² 2º+ sin⁴ 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos³ 2º-4 sin³ 2º• cos 2º)= 1/2(cos⁴ 2º-6 cos² 2º• sin² 2º+ sin⁴ 2º)-2√3(sin2º• cos³ 2º- sin³ 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3(у• х³ - у³ • х) =1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3ху( х² – у²) = 2√3(√3/12 (х⁴ -6 х²• у² + у⁴) - ху( х² – у²)).

Учитывая, что cos2º=х иррациональное число, оценим произведение 2√3(√3/12 (х⁴ - 6 х²• у² + у⁴) - ху( х² – у²)), которое является иррациональным числом. Значит, sin22 является иррациональным.

Утверждение доказано.

Доказательство.

III способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos⁴ 2º- 6 cos² 2º • sin² 2º+ sin⁴ 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos³ 2º-4 sin³ 2º• cos 2º)= 1/2(cos⁴ 2º-6 cos² 2º• sin² 2º+ sin⁴ 2º)-2√3(sin2º• cos³ 2º- sin³ 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3(у• х³ - у³ • х) =1/2(х⁴ -6 х²• у² + у⁴ )-2√3ху( х² – у²).

Предположим, что sin22º является рациональным, тогда из равенства следует, что число 2√3 также является рациональным, а это не верно. Следовательно, sin22º является иррациональным.

Утверждение доказано.

Задача 3.

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Доказательство.

I способ

Рассмотрим отдельно те цифры, которые встречаются конечное число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.

Дробь выражает рациональное число в том и только случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут являться пред периодом дроби. Далее запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять её бесконечное число раз. Таким образом, мы выпишем искомую периодическую дробь.

Утверждение доказано.

Задача 4.

Пусть a, b и c – различные простые числа. Докажите, что , и не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Доказательство.

I способ

Допустим, что числа  , и являются членами одной арифметической прогрессии, то для некоторых целых p и q будет выполняться равенство q(  -  ) = p(  - ),

q - q = p  - p , p + q = p  + q или  (p + q) = p  + q . После возведения равенства в квадрат ( (p + q))² = (p  + q )²; b (p² + 2 p q+ q²) = p² c + 2 pq +q²a получаем, что   — рациональное число. Но это невозможно, поскольку по условию a и c — различные простые числа.

Значит наше предположение, что числа  , и являются членами одной арифметической прогрессии, не верно.

Доказали, что , и не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Задача 5.

Докажите, что если , то число, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

Доказательство.

I способ

Докажем «методом перебора».

1. Пусть m=37, тогда (37,30)=1. Определим период дроби 1/37 = 0,(027). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 207; 270; 702; 720.

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

207; 270; 702; 720 - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (2+0+7=9).

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

1. Рассмотрим частный случай: m=13, тогда (13,30)=1. Определим период дроби 1/13 = 0,(076923). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 769230; 692307; 923076; 230769;307692;…

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

769230; 692307; 923076; 230769;307692;… - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (7+6+9+2+3+0=27).

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

II способ

Рассмотрим частный случай: m=11, тогда (11,30)=1. Определим период дроби 1/11 = 0,(09). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 9; 90.

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

9; 90 - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять.

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

Замечание

Дробь должна быть периодической, представляется чисто периодической десятичной дробью с любым количеством цифр в периоде.