kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка по математике на тему "Конструирование контекстных заданий".

Нажмите, чтобы узнать подробности

В разработке рассмотрены интересные методы решения конкретных задач, что позволяет учащимся изучать математику на более высоком уровне.  

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка по математике на тему "Конструирование контекстных заданий".»

3


«Конструирование контекстных заданий: Числа»


Пономарёва Ольга Фёдоровна, учитель математики

МКОУ Кумылженской СШ № 1 имени Знаменского А.Д.

Задача 1.

Сколько целых точек лежит на отрезке, соединяющим точки а) и ; б) и .

Решение.

a) I способ

Если (m, n) лежит внутри на таком отрезке и не совпадает с его началом, то m/n = 20/28 = 5/7. Поэтому m = 5k, n = 7k, где k целое. Если учитывать все точки, то 0 ≤ k ≤ 4, и таких точек будет 5. Это не что иное как НОД(20,28)+1.

Ответ: 5.

Решение.

a) II способ



у

А(20;28)


F (15; 21)


В(10;14)


С (5; 7)


х

О(0;0)



Воспользуемся прямоугольной системой координат на плоскости Оxy, О(0, 0) и А(20, 28) – две несовпадающие точки с заданными координатами.

Обозначим точкой В середину отрезка ОA.

Определим координаты х и у для точки В, используя формулу х=(х12):2; у=(у12):2.

В((0+20):2; (0+28):2), В (10; 14) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Обозначим точкой С середину отрезка ОВ. Определим координаты х и у для точки

С((0+10):2; (0+14):2), С (5; 7) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Обозначим точкой F середину отрезка ВА. Определим координаты х и у для точки

F ((10+20):2; (14+28):2), F (15; 21) – целая точка лежит на отрезке ОА.

Точки О (0, 0) и А (20, 28) являются концами отрезка ОА, которые так же являются целыми точками, лежащими на отрезке ОА.

Согласно изложенному выше, пять целых точек О, С, В, F, А лежат на отрезке, соединяющим данные точки.

Ответ: 5.



Решение.

б) I способ

Если (m, n) лежит внутри на таком отрезке и не совпадает с его началом, то m/n = -56/72 = 7/9. Поэтому m = -7k, n = 9k, где k целое. Если учитывать все точки, то 0 ≤ k ≤ 8, и таких точек будет 9. Это не что иное как НОД(-56,72)+1.

Ответ: 9.

Решение.

б) II способ



у

М(-56, 72)


Z (-49; 63)


S (-42; 54)

N (-35; 45)


K (-28; 36)

W (-21; 27)


Q (-14; 18)


P (-7; 9)


х

О(0;0)




Воспользуемся прямоугольной системой координат на плоскости Оxy, О(0, 0) и М(-56, 72) – две несовпадающие точки с заданными координатами.

Точка К – середина отрезка ОМ.

Определим координаты х и у для точки К, используя формулу х=(х12):2; у=(у12):2.

K((0-56):2; (0+72):2), K (-28; 36) – целая точка лежит на отрезке ОМ.

Обозначим точкой Q середину отрезка ОK. Определим координаты х и у для точки

Q ((0-28):2; (0+36):2), Q (-14; 18) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой S середину отрезка MK. Определим координаты х и у для точки

S ((-28-56):2; (36+72):2), S (-42; 54) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой P середину отрезка ОQ. Определим координаты х и у для точки

P ((0-14):2; (0+18):2), P (-7; 9) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой W середину отрезка QK. Определим координаты х и у для точки

W ((-14-28):2; (18+36):2), W (-21; 27) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой N середину отрезка KS. Определим координаты х и у для точки

N ((-28-42):2; (36+54):2), N (-35; 45) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Обозначим точкой Z середину отрезка SM. Определим координаты х и у для точки

Z ((-42-56):2; (54+72):2), Z (-49; 63) – целая точка лежит на отрезке ОM.

Точки О (0, 0) и M (-56, 72) являются концами отрезка ОM, которые так же являются целыми точками, лежащими на отрезке ОM.

Согласно изложенному выше, девять целых точек О, P, Q, W, K, N, S, Z, M лежат на отрезке, соединяющим данные точки.

Ответ: 9.

Задача 2.

Докажите иррациональность числа sin22, если известно, что sin88 иррациональное число.

Доказательство.

I способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos4 2º- 6 cos2 2º • sin2 2º+ sin4 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos3 2º-4 sin3 2º• cos 2º)= 1/2(cos4 2º-6 cos2 2º• sin2 2º+ sin4 2º)-2√3(sin2º• cos3 2º- sin3 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3(у• х3 - у3 • х) =1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3ху( х2 – у2).

Учитывая, что cos2º=х иррациональное число, оценим разность 1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 ) - 2√3ху( х2 – у2), которая является иррациональным числом.

Доказали иррациональность числа sin22при условии, что sin88 иррациональное число.


Доказательство.

II способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos4 2º- 6 cos2 2º • sin2 2º+ sin4 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos3 2º-4 sin3 2º• cos 2º)= 1/2(cos4 2º-6 cos2 2º• sin2 2º+ sin4 2º)-2√3(sin2º• cos3 2º- sin3 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3(у• х3 - у3 • х) =1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3ху( х2 – у2) = 2√3(√3/12 (х4 -6 х2• у2 + у4) - ху( х2 – у2)).

Учитывая, что cos2º=х иррациональное число, оценим произведение 2√3(√3/12 (х4 - 6 х2• у2 + у4) - ху( х2 – у2)), которое является иррациональным числом. Значит, sin22 является иррациональным.

Утверждение доказано.

Доказательство.

III способ

sin88 иррациональное число по условию, тогда, используя формулу приведения, имеем:

sin88= sin(90º-2º)=cos2º, cos2º тоже иррациональное число.

Преобразуем sin22º, используя формулу сложения аргументов, формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вчетверо больше другого,

sin22º= sin(30º-8º)= sin30º•cos8º-сos30º•sin8º=1/2 cos8º-√3/2 sin8º=1/2 cos(4•2º)-√3/2 sin(4•2º) =1/2(cos4 2º- 6 cos2 2º • sin2 2º+ sin4 2º)-√3/2(4 sin 2º• cos3 2º-4 sin3 2º• cos 2º)= 1/2(cos4 2º-6 cos2 2º• sin2 2º+ sin4 2º)-2√3(sin2º• cos3 2º- sin3 2º• cos 2º).

Пусть х= cos2º, у= sin2º, тогда sin22º=1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3(у• х3 - у3 • х) =1/2(х4 -6 х2• у2 + у4 )-2√3ху( х2 – у2).

Предположим, что sin22º является рациональным, тогда из равенства следует, что число 2√3 также является рациональным, а это не верно. Следовательно, sin22º является иррациональным.

Утверждение доказано.

Задача 3.

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Доказательство.

I способ

Рассмотрим отдельно те цифры, которые встречаются конечное число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.

Дробь выражает рациональное число в том и только случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут являться пред периодом дроби. Далее запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять её бесконечное число раз. Таким образом, мы выпишем искомую периодическую дробь.

Утверждение доказано.

Задача 4.

Пусть a, b и c – различные простые числа. Докажите, что , и не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Доказательство.

I способ

Допустим, что числа  , и являются членами одной арифметической прогрессии, то для некоторых целых p и q будет выполняться равенство q(  -  ) = p(  - ),

q q = p  - p , p q p  + q или  (p + q) = p  + q . После возведения равенства в квадрат ( (p + q))2 = (p  + q )2; b (p2 + 2 p q+ q2) = p2 c + 2 pq +q2a получаем, что   — рациональное число. Но это невозможно, поскольку по условию a и c — различные простые числа.

Значит наше предположение, что числа  , и являются членами одной арифметической прогрессии, не верно.

Доказали, что , и не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Задача 5.

Докажите, что если , то число, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

Доказательство.

I способ

Докажем «методом перебора».

  1. Пусть m=37, тогда (37,30)=1. Определим период дроби 1/37 = 0,(027). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 207; 270; 702; 720.

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

207; 270; 702; 720 - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (2+0+7=9).

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

  1. Рассмотрим частный случай: m=13, тогда (13,30)=1. Определим период дроби 1/13 = 0,(076923). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 769230; 692307; 923076; 230769;307692;…

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

769230; 692307; 923076; 230769;307692;… - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (7+6+9+2+3+0=27).

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

II способ

Рассмотрим частный случай: m=11, тогда (11,30)=1. Определим период дроби 1/11 = 0,(09). Составим числа, состоящие из цифр периода дроби 9; 90.

Докажем, что полученные числа делятся на 9, используя признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

9; 90 - делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять.

Доказали: если числа взаимно простые и при делении 1 на m получается десятичная периодическая дробь, то числа, состоящее из цифр периода дроби делится на 9.

Замечание

Дробь должна быть периодической, представляется чисто периодической десятичной дробью с любым количеством цифр в периоде.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Методическая разработка по математике на тему "Конструирование контекстных заданий".

Автор: Пономарёва Ольга Фёдоровна

Дата: 05.06.2021

Номер свидетельства: 582642


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1720 руб.
2640 руб.
1360 руб.
2090 руб.
1290 руб.
1980 руб.
1630 руб.
2500 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства