Методическая разработка открытого урока" Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений".

Тема урока:

Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений.

Цель урока:

Научить студентов проводить тождественные преобразования показательных выражений и решать показательные уравнения.

Задачи урока:

• Актуализировать опорные знания при решении показательных уравнений.

• Развивать умения применять знания в конкретной ситуации.

• Развивать у студентов логическое мышление, умения устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы

• Развивать умения сравнивать, правильно формулировать и излагать мысли.

• Воспитывать культуры общения, умения работать в коллективе, в малых группах, взаимопомощи.

Ожидаемые результаты:

Студенты должны научиться выбирать способ решения показательного уравнения и решать показательные уравнения, применяя свойства степеней.

Обеспечение урока:

Раздаточный материал: таблица некоторых значений степеней, задания для малых групп; учебник; медиапроектор, электронная презентация.

ХОД УРОКА.

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические

уравнения: приведением их к самому простому виду.

Л.Н. Толстой

1. Организационная часть

Наш урок я хотела бы начать с притчи: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. «Произнеси это 5 раз.».  «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.  «Вот видишь», -сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

М.В.Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения». (Портрет ученого на презентации). Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сегодня вы будете много работать самостоятельно.

И ваше первое задание:

а) вычислить устно: 6²; ; 121⁰; ; ; 22¹; (записать примеры на доске).

б) найти значения степеней и записать в таблицу тему урока:

а	в	е	з	и	й	к	л	н	о
		-3				81	52		25
п	р	с	т	у	х	ш	ь	ы
		2						7-1

Тема урока:

6		4			2

3	32	81	0	-3	0	1		25	-1			0,5

7	6	0					2	10

Запишем тему сегодняшнего урока. И теперь переходим к следующему этапу урока.

2. Изучение и закрепление нового материала.

Определение: Уравнение вида а^х = в, где а, а и в – некоторые числа называют показательным.

Исторические сведения:

Понятие о степени с натуральным показателем возникло ещё в Др. Греции, но современное обозначение (типа a⁴, a⁵) в XVII веке ввёл Рене Декарт. Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени.

Свободно обращаться дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.

Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Фридрих Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Готфрид Фридрих Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости у =а^х экспоненциальной кривой для графика этой функции. Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.( презентация).

3. Виды и способы решения показательных уравнений.

Задание 1. Работа устно.

а) вспомним свойства степеней:

1. a^x ·a^y = a^x+y;

2. a^x ÷a^y = a^x-y;

3. (a^х)^у = а^ху;

4. (ав)^х = а^х·в^х;

5. = ;

6. а⁰ = 1;

7. а¹ = а;

8. = ;

9. ^-x = .

б) устно представить в виде произведения или частного степеней:

; ; ; ; .

Способы решения показательных уравнений.

Способ 1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию.

Пример. Решите уравнение .

Решение. ;

;

;

;

.

О т в е т: 3.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Представим числа 9 и 81 через степень с основанием 3:

и , тогда уравнение примет вид:

Решим пропорцию: 3^2х ·1 = 3·3⁴ ,

3^2х = 3⁵,

2х = 5,

х = 2,5.

Пример. Решите уравнение .

Решение. ;

;

;

;

.

О т в е т: 2.

Задание 2. Решить самостоятельно в группах следующие уравнения:

5^х = 625;

2^х = 1024;

3^х = 729;

7^{х = .}

2^х+3 = 64;

= 27.

Задание 3. Найдите ошибку в решении уравнений.

а) 2^2х = 128,

2^2х = 2⁶,

2х = 6,

х = 3.

б) = ,

,

Способ 2. Вынесение показательной функции за скобки.

Пример.

Решите уравнение

Решение. 3^х - = 63,

3^х - = 63,

3^х - 23^х = 63

3^х

3^х8 = 567,

3^х = ,

3^х = 81,

3^х = 3⁴,

х = 4.

Задание 4. Решить на доске:

3^х+2 + 3^х = 72.

Задание 5. Решить самостоятельно показательные уравнения в малых группах.

3^х+2 – 3^х+1 + 3^х = 21,

2^х – 2^х-4 = 15.

Задание 6. Решить у доски уравнение

4^х – 8·2^х + 16 = 0.

Задание 7. Решить самостоятельно в группах следующие уравнения:

49^х - 6·7^х + 5 = 0,

9^х - 2·3^х = 3.

4. Самостоятельная работа.

1 вариант.

а) = ;

б) 3^х+2 + 3^х = 30;

в) 36^х - 4·6^х – 12 = 0.

2 вариант.

а) = ;

б) 2^х+2 + 2^х = 5;

в) 9^х - 6·3^х – 27 = 0.

5. Рефлексия.

ОПРОСНЫЙ ЛИСТ

№	Вопрос	Варианты ответа (поставьте галочку)
1	На уроке я работал	активно пассивно
2	Своей работой на уроке я	доволен не доволен
3	Урок для меня показался	коротким  длинным
4	За урок я	не устал устал
5	Моё настроение	стало лучше стало хуже
6	Материал урока мне был	понятен не понятен полезен бесполезен интересен скучен

6. Домашнее задание:

01, гл 5, § 23, п 1-3, 03, гл 3, § 13. Типы показательных уравнений и способы их решения.

Используемая литература.

Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа ч2. Абылкасымова А.Е. Алгебра 11. Колмогоров А.Н. Алгебра 10-11.

ВалуцэИ.И. «Матем для техникумов» М 1990.