kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка фрагментов уроков по математике "Трансцендентные числа"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данный методический материал может использоваться  на уроках математики в 6, 9, 11 классах для знакомства обучающихся с миром трансцендентных чисел. На всех этапах  представления трнсцендентных чисел  в работе приведены  фрагменты уроков.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка фрагментов уроков по математике "Трансцендентные числа"»

Данный методический материал используется учителем математики на уроках знакомства обучающихся с миром трансцендентных чисел. На всех этапах представления чисел в данной работе приведены фрагменты уроков.


МИР ЧИСЕЛ.

Что дала математика людям? Зачем ее изучать? Что явилось причиной ее возникновения? Еще в 18 веке английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон ответил: « Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества» А важнейшим разделом истории математики является история появления чисел. Поэт Гете И.В. писал; «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир». Сегодня мы знакомимся с трансцендентными числами.


Трансцендентные числа.

Латинское слово ”tyanscendentis” переводится как ”потусторонний”. Почему такое ”философское” слово пришло в математику? Если отталкиваться от натуральных чисел 1, 2, З, то с помощью четырёх арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления — получаются все рациональные числа, и только они. Добавив операцию извлечения корня п—й степени, можно получать ещё и другие числа. Доказано, что любое число является корнем того или иного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Правда, в 19 веке выяснилось, что далеко не все корни алгебраических уравнений удаётся выразить с помощью четырёх арифметических действий и извлечения корня.

К примеру, уравнение х5 + 4х — 2 = 0 не имеет решения ”в радикалах”, но оно имеет решение в других числах, которые и были названы ”потусторонними”, т. е. с другого конца математики.

Число π

В школе учащиеся впервые встречаются с примером трансцендентных чисел, например число π в математики 6 класса.


Фрагмент урока в 6 классе по теме

«Окружность. Длина окружности»


Учебный материал:

Отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение принято обозначать греческой буквой π (”пи”) — первой буквой слова ”периферия” (греческое слово ”окружность”). Общеупотребительным такое обозначение стало с середины 18 века. Число π выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближённо равно 3,141592653589...

Как запомнить первые цифры числа π

Три первые цифры числа (π = З, 14. . . запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться,

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

(С. Бобров. «Волшебный двурог»)


Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π : 3,1415926...

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

«Что я знаю о кругах?» (π = 3,1416);

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π = 3,1415927);

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать»

(π =3,14159265359).


Поговорку «Что я знаю о кругах?» предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны». Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр. А так выглядит 101 знак числа π без округления:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.


При изучении геометрии с 7 по 1 1 класс, постоянно ученики сталкиваются с числом π . Поэтому на уроках в более старших классах полезно говорить об необходимости появления трансцендентных чисел, об истории уточнения дробной части числа π


Фрагмент урока геометрии в 9 классе ”Площадь круга”.


В глубокой древности считалось, что окружность ровно в З раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: ”И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое. и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом“ (З Цар. 7. 23). Итак, первым приближённым числа π было З. Однако уже во 2 тысячелетии до нашей эры математики Древнего Египта находили более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется приблизительно 1650 г. до н. э., для числа π приводится значение ( 16 (9) 2, в десятичном приближении это 3,14. С 6 века до н. э, математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна её диаметру (l = 2 π R ; радиус — R окружности, I — её длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:

Это доказательство приписывают Евдоксу Книдскому и Архимеду. Они установили, что число π заключено в пределах от 3,1408 до 3,1428. Значение 3,1417 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач. Более точное приближение π = З, 14166 нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление. Индийцы и арабы полагали, что π Это значение приводит индийский математик 7 в. Брахмагупта. Китайские учёные в З в. использовали для π значение 3,15, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 в. Цзу Чун Чжи получил приближение π=3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г. Нидерландский учёный Лудольф ван Цейлен в 1615 г. нашёл для π 32 правильных десятичных знака, это приближение называли лудольфовым числом. С развитием математического анализа его методы начали применяться и для определения числа π. В этом принимали участие почти все известные математики, такие как Ф. Виет, Х. Гюйгенс, Дж. Валлис, Г. В. Лейбниц, Л. Эйлер. Они получали различные выражения для π в виде бесконечного произведения, суммы ряда бесконечной дроби.







1766 г. немецкий математик Иоаганн Ламберт строго доказал иррациональность числа π : число не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. В конце 19 века профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Лидеман доказал, что π - число трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения апхп + ап-1ХП 1 + . . . + чх + ао = 0 с целыми коэффициентами. В память об открытии трансцендентности числа в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π. В наше время с помощью компьютера число вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.


Число е.


Второе трансцендентное число, с которым учащиеся встречаются в школьной программе — число е вводится в алгебре и началах анализа 10-11 классов.

Число е = 2,718281828459 — одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности

+ l /n)n при неограниченном возрастании п.

Обозначение е ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи. Число е — иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности числа е впервые дал французский математик Шарль Эрминт в 1873 г. Число е играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е, называемая экспонентой, - удивительная функция, производная которой равна ей самой:


Фрагмент урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Производная показательной функции. Число е».


Задача: Представителю знаменитой швейцарской династии математиков Якобу Бернулли принадлежит идея следующей задачи. Некий ростовщик дал взаймы купцу определённую сумму денег с условием, что через год тот вернёт заём в двукратном размере. Когда купец в следующий раз обратился к нему с просьбой дать денег, ростовщик изменил условия договора: за первые полгода подлежащая возврату сумма возрастёт в полтора раза, а по истечении второй половины срока вновь образованная сумма увеличится ещё в полтора раза. Ростовщик рассчитал, что таким образом он повысит первоначальную сумму займа в /4 раза, что, безусловно, выгоднее двукратного увеличения. Постепенно в голове ростовщика сложился ещё более хитрый план: сумму, подлежащую возврату, увеличивать непрерывно. А именно: весь срок, на который купцу одалживаются деньги, разделить на большое число п равных промежутков. По истечении каждого промежутка сумма долга должна возрастать в + 1 /п раз. Так что к окончанию срока первоначальный заём увеличится в (1 + 1 /п)П раз. «Наверное, это очень большое число», - подумал ростовщик. Когда эту формулу вывел для себя купец, он рассудил так: «С одной стороны, показатель степени п, увеличиваясь, тянет за собой в бесконечность всю степень, поскольку основание её, 1 + 1 /п, больше единицы. Казалось бы, непрерывное приращение долга в конце концов выльется в колоссальную денежную сумму — сверхприбыль для ростовщика и соответственно сверх убыток для меня. Но, с другой стороны, хотя основание 1+ l /n и больше единицы, с увеличением п оно всё стремительнее к ней приближается. А эту упрямую цифру в какую степень не возводи, всё равно лишь единицу получишь...». На самом деле выражение (1 + 1/п)П с ростом п стремится к числу е = 2, 718281828459045.. ., называемому также эйлеровым числом. Это одна из самых замечательных математических констант, основание натурального логарифма. Первые знаки числа е запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого — два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. Учащиеся на уроках математики встречаются тесно с двумя представителями трансцендентных чисел π и е. Поэтому полезно с одной стороны свести их в единой формуле, с другой стороны показать и другие трансцендентные числа.




Фрагмент урока в 11 классе по теме ”Число е”.


Судьбы двух констант — π и е — тесно переплелись. Эту пару, стоящую в одной формуле, можно встретить в самых разных областях математики: в теории чисел, теории рядов, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Вот, например, формула, открытая индийским математиком Сринивасой Рамануджаном. Если

а= 1+ 1/1*3+1/1*3*5+…


Эту формулу, без всяких сомнений, можно отнести к шедеврам математики. Ни бесконечный ряд, ни цепная дробь в левой её части в отдельности не выражаются через числа и е, а в сумме они дают такую поразительную комбинацию!

В определённом смысле трансцендентных чисел даже больше, чем алгебраических: если последние можно ”пронумеровать”, т. е. каждому алгебраическому числу поставить в соответствие отдельное натуральное число, то трансцендентные числа такого пересчёта не допускают — их несчётная рать! Ещё в 1744 г. Леонард Эйлер выдвинул гипотезу, что числа вида logab почти при всех рациональных а и b не могут быть корнями многочленов с целыми коэффициентами. К концу 19 в. уже была доказана гипотеза Эйлера, а Карл Вейерштрасс обосновал трансцендентность чисел sina и cosа почти для всех алгебраических



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Методическая разработка фрагментов уроков по математике "Трансцендентные числа"

Автор: Лебединцева Елена Александровна

Дата: 20.10.2020

Номер свидетельства: 560666


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства