Методическая разработка фрагментов уроков по математике "Трансцендентные числа"

Данный методический материал используется учителем математики на уроках знакомства обучающихся с миром трансцендентных чисел. На всех этапах представления чисел в данной работе приведены фрагменты уроков.

МИР ЧИСЕЛ.

Что дала математика людям? Зачем ее изучать? Что явилось причиной ее возникновения? Еще в 18 веке английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон ответил: « Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества» А важнейшим разделом истории математики является история появления чисел. Поэт Гете И.В. писал; «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир». Сегодня мы знакомимся с трансцендентными числами.

Трансцендентные числа.

Латинское слово ”tyanscendentis” переводится как ”потусторонний”. Почему такое ”философское” слово пришло в математику? Если отталкиваться от натуральных чисел 1, 2, З, то с помощью четырёх арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления — получаются все рациональные числа, и только они. Добавив операцию извлечения корня п—й степени, можно получать ещё и другие числа. Доказано, что любое число является корнем того или иного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Правда, в 19 веке выяснилось, что далеко не все корни алгебраических уравнений удаётся выразить с помощью четырёх арифметических действий и извлечения корня.

К примеру, уравнение х⁵ + 4х — 2 = 0 не имеет решения ”в радикалах”, но оно имеет решение в других числах, которые и были названы ”потусторонними”, т. е. с другого конца математики.

Число π

В школе учащиеся впервые встречаются с примером трансцендентных чисел, например число π в математики 6 класса.

Фрагмент урока в 6 классе по теме

«Окружность. Длина окружности»

Учебный материал:

Отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение принято обозначать греческой буквой π (”пи”) — первой буквой слова ”периферия” (греческое слово ”окружность”). Общеупотребительным такое обозначение стало с середины 18 века. Число π выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближённо равно 3,141592653589...

Как запомнить первые цифры числа π

Три первые цифры числа (π = З, 14. . . запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться,

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

(С. Бобров. «Волшебный двурог»)

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π : 3,1415926...

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

«Что я знаю о кругах?» (π = 3,1416);

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π = 3,1415927);

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать»

(π =3,14159265359).

Поговорку «Что я знаю о кругах?» предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны». Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр. А так выглядит 101 знак числа π без округления:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

При изучении геометрии с 7 по 1 1 класс, постоянно ученики сталкиваются с числом π . Поэтому на уроках в более старших классах полезно говорить об необходимости появления трансцендентных чисел, об истории уточнения дробной части числа π

Фрагмент урока геометрии в 9 классе ”Площадь круга”.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в З раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: ”И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое. и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом“ (З Цар. 7. 23). Итак, первым приближённым числа π было З. Однако уже во 2 тысячелетии до нашей эры математики Древнего Египта находили более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется приблизительно 1650 г. до н. э., для числа π приводится значение ( 16 (9) 2, в десятичном приближении это 3,14. С 6 века до н. э, математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна её диаметру (l = 2 π R ; радиус — R окружности, I — её длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:

Это доказательство приписывают Евдоксу Книдскому и Архимеду. Они установили, что число π заключено в пределах от 3,1408 до 3,1428. Значение 3,1417 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач. Более точное приближение π = З, 14166 нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление. Индийцы и арабы полагали, что π Это значение приводит индийский математик 7 в. Брахмагупта. Китайские учёные в З в. использовали для π значение 3,15, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 в. Цзу Чун Чжи получил приближение π=3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г. Нидерландский учёный Лудольф ван Цейлен в 1615 г. нашёл для π 32 правильных десятичных знака, это приближение называли лудольфовым числом. С развитием математического анализа его методы начали применяться и для определения числа π. В этом принимали участие почти все известные математики, такие как Ф. Виет, Х. Гюйгенс, Дж. Валлис, Г. В. Лейбниц, Л. Эйлер. Они получали различные выражения для π в виде бесконечного произведения, суммы ряда бесконечной дроби.

1766 г. немецкий математик Иоаганн Ламберт строго доказал иррациональность числа π : число не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. В конце 19 века профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Лидеман доказал, что π - число трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения апх^п + ап-1Х^{П 1} + . . . + чх + ао = 0 с целыми коэффициентами. В память об открытии трансцендентности числа в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π. В наше время с помощью компьютера число вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

Число е.

Второе трансцендентное число, с которым учащиеся встречаются в школьной программе — число е вводится в алгебре и началах анализа 10-11 классов.

Число е = 2,718281828459 — одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности

+ ^l /n)ⁿ при неограниченном возрастании п.

Обозначение е ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи. Число е — иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности числа е впервые дал французский математик Шарль Эрминт в 1873 г. Число е играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е, называемая экспонентой, - удивительная функция, производная которой равна ей самой:

Фрагмент урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Производная показательной функции. Число е».

Задача: Представителю знаменитой швейцарской династии математиков Якобу Бернулли принадлежит идея следующей задачи. Некий ростовщик дал взаймы купцу определённую сумму денег с условием, что через год тот вернёт заём в двукратном размере. Когда купец в следующий раз обратился к нему с просьбой дать денег, ростовщик изменил условия договора: за первые полгода подлежащая возврату сумма возрастёт в полтора раза, а по истечении второй половины срока вновь образованная сумма увеличится ещё в полтора раза. Ростовщик рассчитал, что таким образом он повысит первоначальную сумму займа в /4 раза, что, безусловно, выгоднее двукратного увеличения. Постепенно в голове ростовщика сложился ещё более хитрый план: сумму, подлежащую возврату, увеличивать непрерывно. А именно: весь срок, на который купцу одалживаются деньги, разделить на большое число п равных промежутков. По истечении каждого промежутка сумма долга должна возрастать в + ¹ /п раз. Так что к окончанию срока первоначальный заём увеличится в (1 + ¹ /п)^П раз. «Наверное, это очень большое число», - подумал ростовщик. Когда эту формулу вывел для себя купец, он рассудил так: «С одной стороны, показатель степени п, увеличиваясь, тянет за собой в бесконечность всю степень, поскольку основание её, 1 + ¹ /п, больше единицы. Казалось бы, непрерывное приращение долга в конце концов выльется в колоссальную денежную сумму — сверхприбыль для ростовщика и соответственно сверх убыток для меня. Но, с другой стороны, хотя основание 1+ ^l /n и больше единицы, с увеличением п оно всё стремительнее к ней приближается. А эту упрямую цифру в какую степень не возводи, всё равно лишь единицу получишь...». На самом деле выражение (1 + ¹/п)^П с ростом п стремится к числу е = 2, 718281828459045.. ., называемому также эйлеровым числом. Это одна из самых замечательных математических констант, основание натурального логарифма. Первые знаки числа е запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого — два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. Учащиеся на уроках математики встречаются тесно с двумя представителями трансцендентных чисел π и е. Поэтому полезно с одной стороны свести их в единой формуле, с другой стороны показать и другие трансцендентные числа.

Фрагмент урока в 11 классе по теме ”Число е”.

Судьбы двух констант — π и е — тесно переплелись. Эту пару, стоящую в одной формуле, можно встретить в самых разных областях математики: в теории чисел, теории рядов, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Вот, например, формула, открытая индийским математиком Сринивасой Рамануджаном. Если

а= 1+ 1/1*3+1/1*3*5+…

Эту формулу, без всяких сомнений, можно отнести к шедеврам математики. Ни бесконечный ряд, ни цепная дробь в левой её части в отдельности не выражаются через числа и е, а в сумме они дают такую поразительную комбинацию!

В определённом смысле трансцендентных чисел даже больше, чем алгебраических: если последние можно ”пронумеровать”, т. е. каждому алгебраическому числу поставить в соответствие отдельное натуральное число, то трансцендентные числа такого пересчёта не допускают — их несчётная рать! Ещё в 1744 г. Леонард Эйлер выдвинул гипотезу, что числа вида logab почти при всех рациональных а и b не могут быть корнями многочленов с целыми коэффициентами. К концу 19 в. уже была доказана гипотеза Эйлера, а Карл Вейерштрасс обосновал трансцендентность чисел sina и cosа почти для всех алгебраических