МБОУ " Основная общеобразовательная школа № 17" г. Старый Оскол Белгородская область

О формуле суммы членов геометрической прогрессии

В. Е. Ольг ев (г. Горький)

Вывод формулы суммы п первых членов гео­метрической прогрессии в учебнике «Алгеб­ра 8» сложен. Предлагаем другой вариант до­казательства этой формулы.

Рассмотрим пример с числом зерен пшени­цы (см.: «Алгебра 8», с. 77).

S= 1+ 2+2²+2³+...+2⁶²+2⁶³,

S= 1+2•(1+2+ 2²+…+2⁶²).

Указание. S_∆mpt=Q—S_∆btc—S_∆amc — S_∆APB. Чтобы вычислить, например S_∆amc, надо через точку D провести DD₁║AL и затем рассмотреть отношение полученных отрезков.

Ответ: Q/7.

13. Решить предыдущую задачу при усло­вии, что АD: АВ = BL: ВС = CF: А С = 1: (Рис 2).

Ответ :

14. Р — произвольная точка внутри равно­стороннего треугольника ABC; PFX.AB, и PDBC и РЕАС (рис. 3). Доказать, что S_∆BPF+ S_∆PDC+ S_∆PEA= S_∆PDB+ S_∆PEC+ S_∆BPF.

Указание. Провести через точку Р А₂С₂║АС, A₁B₁║AB, B₂C₁║BC и рассмотреть образовавшиеся при этом попарно равные треугольники.

Часть из предложенных задач можно реко­мендовать для решения всем учащимся. За­дачи 11 —14 предназначены тем, кто проявля­ет повышенный интерес к изучению матема­тики.

Сумма в скобках в последнем равенстве мень­ше S на величину последнего слагаемого 2, т. е.

,

откуда S=.

Также легко можно получить формулу в об­щем виде для суммы п первых членов геомет­рической прогрессии:

откуда

Рассмотрим примеры .

1. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой

откуда

Отметим (см.: «Алгебра 8», с.79, пример 1), что применение формулы в общем виде не дает выигрыша в вычислениях. Кроме того , с момента применения формулы учащиеся перестают думать , а только напрягают память, чтобы вспомнить формулу.

1. Найти сумму

.

1. Найти сумму

1. Найти сумму

5 . Найти сумму

Перейдем теперь к понятию суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|

.

Чтобы глубже понять смысл этой записи, вычислим сумму первых п слагаемых.

При неограниченном увеличении разность становится сколь угодно близкой к числу , т.е. , отсюда запись

Затем полезно разобрать с учащимися , что происходит с суммами в примерах 3, 4 и 5 при неограниченном увеличении n.

Сделав соответствующие преобразования (с. 82-83 учебника) и дав определение суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Можно пользоваться приемом , который мы проиллюстрируем на примерах.

1. Найти сумму

.

Так как сумма бесконечна, то в скобках снова стоит исходное выражение , т.е

1. Найти сумму

,

Выполняя такие упражнения , необходимо помнить , что имеет смысл говорить о сумме лишь бесконечно убывающей геометрической прогрессии , т.е. при |q|

Например , применяя только рассмотренный прием для вычисления суммы 1=2=4=8=16=… .

(см. пример 5 ), получим

S=1+2(1+2+4+8+…),

S=1+2S , S=-1.