Логарифмические уравнения.Основные методы решения.

Тема урока по алгебре:

«Решение логарифмических уравнений».

11 класс

Тип урока: Урок повторного контроля знаний. Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по 1.Обучающая - вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок.

2.Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.

3.Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

ЗАДАЧИ УРОКА:

• выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.

• осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.

• использовать авторскую презентацию для

• познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений

Методы и педагогические приемы:

Методы самообучения
Приемы устного опроса.
Приемы письменного контроля.

Коллективная учебная деятельность.

Организация работы в группах.

Повышение интереса к учебному материалу.

Текстовой комментарий- пояснение

Данные слайды и материал мультимедийной разработки можно использовать как непосредственно на уроке алгебры, так и в качестве учебного пособия для домашней работы.

Программы необходимые для запуска проекта:

Microsoft Word, Miсrosoft PowerPoint, Проигрыватель Windows Media

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы

Конспект урока:

1. Решение простейших уравнений: Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a 0, a ¹ 1.

log _a f(x) = b, a 0, a ¹ 1.

log _f(x) b = c, b 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

если log_b a = c, то a = b^c.

Решить уравнение

log₂ x = 3.

Решение. Область определения уравнения x 0. По определению логарифма x = 2³, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a^b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

log₃(5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 0; х 1/5.
log₃(5х– 1) = 2,
log₃(5х – 1) = log₃3²,
5х - 1 =9,
х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х² – 2х – 1 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х² – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х² – 2х – 1 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х₁ = –1, х₂ = 2.

Уравнения вида log_f(x) b = с, b 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))^c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

log_x–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида log_a f(x) = log_a g(x) , а 0, а ¹ 1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения log_a f(x) = log_a g(x) к уравнению

f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) 0, g(x) 0,

а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение

log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

Потенцируя данное уравнение, получаем х² – 3х – 5 = 7 – 2х,

х² – х – 12 = 0, откуда х₁ = –3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x)

с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

 

• log_b a + log_b c = log_b (ac), где a 0; c 0; b 0, b ¹ 1,

• log_b a – log_b c = log_b (a/c), где a 0; c 0; b 0, b ¹ 1,

• m log_b a = log_b a ^m, где a 0; b 0, b ¹ 1; mÎR.

  Пример 1. Решить уравнение

log₆ (x – 1) = 2 – log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ (x – 1) + log₆ (5x + 3) = 2,

log₆ ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

  Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3x – 1)(x + 3) 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) ² = 0. По определению логарифма

(х + 3) ² = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Ответ. х = –4.

  Пример 3. Решить уравнение

log₂ (6 – x) = 2log₆ x.

Решение. На области определения 0 x x = x², откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида

 

Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

 

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 x

Так как 3 = log₂8, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

  Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Ответ. х = 6.

  Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x –1, x ¹ 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ¹ 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)–1)² = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3.Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида где a 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

 

Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид t² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) 0.

 

Пример 1. Решить уравнение lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х x | = –x и следовательно

Введём новую переменную t = log₃ (–x), tÎR. Квадратное уравнение

t ² – 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = –9.

 Уравнения вида где a 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа , A¹0, В¹0.

  

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) ¹0. Учитывая, что log_a f(x)× log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, tÎR приводит его к квадратному

At² + Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁ , log_b f(x)= t₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) 0, f(x) ¹1.

 

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+20, x+2 ¹ 1, т.е. x –2, x ¹ –1.

Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) ¹0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

t ² – t – 2 = 0, t₁ = –1, t₂ =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log₅ (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,

log₅ (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = –9/5, x = 23.

в) log₂х – 2 log_х2 = –1

Решение:

ОДЗ: x 0, х ≠ 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению

log_a f(x) = log_a g(x), который возможен если f(x) 0, g(x) 0, a 0,

a ¹ 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать :

Уравнения вида

Уравнения вида

Уравнения вида

Область определения уравнения – интервал (0, ¥). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно

log_a x.

 

Пример. Решить уравнение 3^2log4 ^x+2=16x².

Решение. Область определения x 0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Ответ x = 1/4

Уравнения вида

Область определения уравнения – интервал (0, ¥). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=log_a x , tÎR. Решив квадратное уравнение At² + (B–a)t–log_a C=0, найдем его корни t₁ и t₂. Значение x найдем из уравнений t₁ = log_a x и t₂=log_a x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

  Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х 0. Так как при х  0 обе части уравнения положительны, а функция y = log₃ t монотонна, то

(1 + log₃ x) log₃ x = 2.

Введём новую переменную t, где t = log₃ x, tÎR.

(1 + t) t = 2, t ² + t – 2 = 0, t₁ = –2, t₂ = 1.

log₃ x = –2 или log₃ x = 1,

x = 1/9 или х = 3.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

 

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х 1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log₂x, получим квадратное уравнение

t² - 3t + 2 = 0,

t₁ = 2, t₂ = 1, тогда log₂ x = 2 или log₂ x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.

Домашнее задание:

Проверочная работа

В работе предлагаются задания тренировочного и обобщающего характера.

Цели заданий:

проверить знание основных методов решения логарифмических уравнений,
проверить умение определять метод решения уравнения,
проверить умение реализовать выбранный метод.

Работа рассчитана на 40 минут, подготовлена в 8 вариантах.

Работа состоит из 3 частей. Задания первой части (базовой уровень) содержит задания с выбором ответа (А1-А3) . Задания второй части (повышенный уровень) с кратким ответом (В1-В3) . Третья часть – содержит задания с развернутым ответом. (С 1).

Материал по данной теме был усвоен учащимися следующим образом: обученность - 52% , качество 33%. В таблице дан подробный анализ работы:

А1	А2	А3	В1	В2	В3	С1
74%	68%	69%	45%	62%	37%	12%

Во второй строке таблицы указан процент правильно выполненного задания.

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о

том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Приложение