Логарифм ??ымы ж?не оны? ?асиеттері

Пән: Математика

Сабақтың тақырыбы: Логарифм және оның қасиеттері.

Сабақтың мақсаты: Логарифм ұғымы, негізгі қасиеттері, оның шығу тарихы және қолданылуы туралы мағлұмат беру;

Сабақтың міндеттері:

Білімділік: Студенттерге логарифм ұғымын, шығу тарихын түсіндіру, берілген санның логарифмін табуға, тепе – теңдіктерді, қасиеттерді тиімді пайдалануға үйрету;

Дамытушылық: Студенттердің көрсеткіштік функция, теңдеулер, теңсіздіктер туралы білімдерін жүйелеу, өздігінен ойлау және есеп шығару икемдіктерін, қабілеттерін дамыту;

Тәрбиелік: Бірлесе жұмыс істеуге, бір-бірлерін тыңдауға, шапшаңдыққа, жауапкершілікке, ұйымшылдыққа тәрбиелеу;

Сабақтың типі: аралас

Сабақтың түрі: дәстүрлі

Әдіс-тәсілі: Ұжымдық, жұптық оқыту, сұрақ-жауап, интербелсенді тақтамен жұмыс, презентациялық, бейнелік.

Технологиясы: ақпараттық-коммуникациялық технология

Сабақтың көрнекілігі: үлестірмелі материалдар, бағалау парағы, презентация, бейне ақпарат, трек – сызбалар.

Қолданылатын әдебиет: Абылқасымова А.Е. «Алгебра және анализ бастамалары» 11сынып, Алматы 2010.

Пәнаралық байланыс: физика, астраномия, биология, музыка, тарих.

Сабақтың жоспары:

1. Ұйымдастыру кезеңі

2. Үй жұмысын тексеру

- Ауызша есептеу

- Теорияны еске түсіру

- Деңгей бойынша тапсырма

3. Жаңа тақырыпты түсіндіру

4. Оқулықпен жұмыс

5. Бекіту

8. Қорытындылау және бағалау

9. Үйге тапсырма беру

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі:

-Топты түгендеу;

- Сабақтың мақсатымен, жоспарымен таныстыру.

Бағалау парағын тарату. Бағалау парағын жанындағы студентпен ауысып, бір-бірінің ұпайларын қоялары қажет.

Бағалау парағы:

Аты – жөні:

№	Тапсырмалар	Ұпайлар саны
1.	«График сызайық»
2.	«Теорияны еске түсірейік»
3.	«Үй жұмысын дұрыс орындадым»
4.	Деңгейлік тапсырмалар
5.	Жаттығу жұмыстарын орындау
6.	«Логарифм эстафетасы» ойыны
	Барлық ұпай саны:

ІІ. Үй жұмысын тексеру

1. «Ауызша есептеу» кезеңі.

Тақтада бірнеше теңдеулер жазылған. Оларды ауызша шешіп, нәтижесінде шыққан түбірлерден координата нүктелерін құрып, оны координата жазықтығына белгілеп, шыққан нүктелерді тізбектей қосыпграфик сызыңдар.

1) 5^х=625; 2^у=32.

2) 5^х-2=1; 6^у-3=36.

3) 3^х-4=1/9; 3^у=27.

4) 5^х-2=25; 5^-у=1/125.

5) 3^х-1=27; 2^-у=1/2.

6) 14^х=196; 5^у+2=125.

(Әр дұрыс табылған жауапқа 1 ұпайдан беріледі).

2. «Теорияны еске түсіру» кезеңі

Көрсеткіштік теңдіктер мен теңсіздіктерді шешу кезіндегі теориялық материалды еске түсіруіміз қажет. Мұнда жеңіл сұрақтар 1 ұпаймен (жасыл жетон), күрделі сұрақтар 2 ұпаймен (сары жетон), ал «қызықты» сұрақтар 3 ұпаймен (қызыл жетон) бағалансын.

Сонымен,

1 ұпаймен бағаланатын сұрақтар:

1. Көрсеткіштік функция дегеніміз не? Жауап: у ═ а^х, а≠1 түріндегі функция

2. Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы және мәндер жиыны.

3. Төменде берілген теңдеулердің қайсысы көрсеткіштік теңдеу?

1) х³=27; 2) 3•х=27; 3) 3^х=27.

4. Бірінші және екінші теңдеу қалай аталады?

1) х³=27; 2) 3•х=27; 3) 3^х=27.

5. Артық теңдеуді алып тастаңдар:

1)3^{х 2-х}=1; 2) √3^х =9; 3) х³=.

1. Y=2^x и y=(1/2)^x функция қасиеттерін анықта:

2 ұпаймен бағаланатын сұрақтар:

1. Көрсеткіштік теңдеуді шешу тәсілін көрсет:

5^3х-1=0,2.

1. Теңсіздікті шеш:

2^х .

1. Функциялардың анықталу облыстарын тап:

1. а –ның мәнін анықта:

Теңсіздік		Дұрыс жауабы:
а5a8	5	0
a0,8 1,7	0,8	a1
a-20-1	-2	0
a2,5 a3,6	2,5	0

1. Функцияның типін анықта:

y=(1,3)^x - өспелі

y = (0,8)^x - кемімелі

y = e^x - өспелі

y = ()^x - кемімелі

3 ұпаймен бағаланатын сұрақтар:

1. 3^x+2 + 3^x+1 + 3^x=39 теңдеуінің түбірі жатқан аралықты көрсет:

1)[-2;0]; (2) [2;4]; (3) (4;9]; (4) (0;2).

1. Теңдеуді шеш:

5 ^1-│х│=25.

Жетон бойынша ұпайларды санау және бағалау парағына белгілеу.

1. «Үй жұмысын дұрыс орындадым» кезеңі. Тақтаға үйге берілген тапсырмалардың дұрыс жауабын шығару. Қасындағы көршісі бірін – бірі тексеріп, бағалау парағына сәйкес ұпайды қою. Әр дұрыс тапсырмаға 1 ұпайдан қойылады.

2. Деңгей бойынша тапсырма (Студенттің таңдауы бойынша)

І деңгей ІІ деңгей ІІІ деңгей

1. 4^х = 16 2) 3^4-х = 27 1) 6^х + 6^х+1=2^х+2^х+1+2^х+2

Жауабы: Жауабы: Жауабы:

2) 7^х= 2) 2) 6·5^х+1-5^х+2+6·5^х̽55

Жауабы: Жауабы: Жауабы:

3) 7^х49 3) 3)

Жауабы: Жауабы: Жауабы:

ІІІ Жаңа тақырыпты түсіндіру.

Көрсеткіштік теңдеулерді шешу бойынша 2^х = 2, 2^х = 4, 2^х = 8 теңдеулерінің сәйкесінше х = 1, х=2 және х = 4 бір ғана түбірлері бар екенін білеміз. Ал, 2^х=7, 2^х = 6, 2^х = 3 көрсеткіштік теңдеуінің түбірін көрсеткіштік теңдеулерді шешудің әдістерін қолданып таба алмайды екенбіз. Бірақ бұл теңдеуді графиктік тәсіл арқылы шешіп, оның бір ғана түбірі бар екенін анықтауға болады.

Графиктік тәсіл арқылы анықтайық:

а^х = b теңдеуінің сол жақ бөлігі көрсеткіштік функцияны, ал оң жақ бөлігі y = b сызықтық функцияны береді. Бұл функциялардың графиктері бір нүктеде қилысады.

y=2^x функциясын және y=2, y=4, y=8 сызықтық функцияларын бір координаталық жазықтыққа салдық және абсцисса осімен қилысу нүктелерін анықтадық: x = 1, x=2, x=3.

Ал y = 2^x графигіне y=7, y=6, y=3 сызытық функцияларының да графигін салайық:

Сонда бұл теңдеулердің де бір түбірі бар екенін көруге болады: x  2,80, x  2,58, x  1,58.

а^х = b, мұндағы b  aⁿ көрсеткіштік теңдеуін шешу үшін жаңа ұғым – логорифм ұғымы қарастырылады.

Логорифмнің белгіленуі: log

Логорифмнің жалпы түрі: log_ab, Мұндағы, а – логарифм негізі, b– логорифм таңбасының ішіндегі өрнек.

Анықтама. Негізі а болатын b санының логорифмі деп b санына тең болатын негіздің с дәреже көрсеткішін айтамыз:

Мысалы:

log₅25=2, өйткені 5² = 25

log₂16=4, өйткені 2⁴ = 16

Логарифмді табу дәрежеге шығаруға кері амал ретінде қарастырылады.

2^х=7, 2^х = 6, 2^х = 3 теңдеулерінің түбірін x = log₂7, x=log₂6, x=log₂3 деп жазамыз. Бұлар иррационал сандар, яғни үтірден кейінгі цифрларды қайталамай шексіз жаза беруге болады. Сондықтан иррационал сандарды логарифм түрінде қалдырамыз.

Тарихи анықтама (бейне ақпарат)

Логарифмді ойлап тапқан және логарифмдік кесте құрастырған ғалым Джон Непер Шотландияда дүниеге келген. 16 жасында континентке кетіп, 5 жыл Европаның әртүрлі университетінде оқып, математиканы игерген. Кейін астрономия және математикамен терең айналысқан. Логарифмдік есептеулер идеясына Непер 16- ғасырдың 80-жылдарында келген, дегенмен өзінің кестесін 25 жыл есептеулерден кейін 1614 жылы ғана жариялаған. Ол «Логарифмдік керемет кестелер сипаты» деген атпен шыққан. «Логарифм» деген терминнің өзін де Непер ұсынған, ол оны «қолдан жасалған сан» деп аударған. Непердің кестелері мен идеялары тез таралып, қолданысқа түскен.

– негізгі логарифмдік теңбе-теңдік.

Логарифмдердің қасиеттері (a0, a≠1, b0)

1. 1 санының логорифмі нөлге тең:

log_a1 = 0;

1. Негізі а болатын а санының логорифмі бірге тең:

log_aа = 1;

1. Көбейтіндінің логорифмі көбейткіштердің логорифмдерінің қосындысына тең:

log_axy = log_ax + log_ay

1. Бөлшектің логорифмі алымының логорифмі мен бөлімінің логорифмінің айырымына тең:

log_a = log_ax - log_ay

1. Дәреженің логорифмі дәреженің көрсеткішін негіздің логорифміне көбейткенге тең:

log_ax^k = klog_ax

1. Түбірдің логорифмі түбір астындағы өрнектің логорифмін түбір көрсеткішіне бөлгенге тең:

log_a =

1. Жаңа негізге көшу:

log_ax ₌

Логарифм негізінің дәрежесі логарифмге кері сан болып көбейтіледі.

Негізі 10 саны болатын логарифмді ондық логарифм деп атайды және былай белгіленеді:

Математикада логорифмнің негізі есебінде алынатын е саны қарастырылады. Е саны ирроционал сан, е2,718.... Оның жүздік дәлдікпен алынатын жуық мәні е2,71.

Негізі е болатын логарифм натурал логарифм деп аталып, былай белгіленеді: .

Мысалдар қарастырайық:

1/

2/

3/

4/

5/

6/ 40

Енді логорифмі қандай да бір өрнектердің логорифмдері арқылы берілген өрнекті табуды қарастырайық. Мұндай түрлендіруді потенциалдау деп атайды.

Потенциалдау үшін келесі тұжырымды қолданамыз:

log_a = log_a s

(мұндағы a0, a1, t0, s0) теңдігі t = s болғанда ғана орындалады.

Мысалы: log_ax = 3log_a3 + log_a5 теңдігіндегі х-тің мәнін анықтайық.

Шешуі: Берілген теңдіктің оң жағындағы өрнекті логорифмнің қасиеттерін қолданып түрлендіреміз:

3log_a17 + log_a5 = log_a17³+ log_a = log_a17³

log_ax = log_a17³

Демек, потенциалдау бойынша x = 17³

VI. Оқулықпен жұмыс

1 ұпаймен бағалатын тапсырмалар:

1-тапсырма :

Берілген сандардың а негіздегі логарифмдерін табыңдар.

№204 (1,2)

№204 (3,4)

2 ұпаймен бағаланатын тапсырмалар:

№206

3 ұпаймен бағаланатын тапсырмалар:

№207

№211

V. Бекіту кезеңі: «Логарифмдер эстафетасы» ойыны

Интерактивті тақтада студенттер 2 топқа бөлініп, бір-бірлеріне қарындашты тапсырып жарысу арқылы есептеу жұмыстарын жүргізеді. Әр жауапқа бір ұпайдан беріледі.

Логарифмдерді есептеу:

1-топқа: ІІ-топқа:

8. + =

1. VІ. Қорытындылау:

2. А) Бағалау: Бағалау парағы бойынша барлық ұпайларды қостыру, нәтижесін әр студенттердің өздеріне айтқызып, жалпы ұпай санына байлансты бағаларын хабарлау.

3. Ә) Үйге тапсырма беру №214, №215

4. Б) Рефлексия

5. - Менің бүгінгі білгенім...

6. - Маған қызықты болғаны...

7. - Мен мынаны түсіндім...

8. - Мен мынаны түсінбедім...

9. - Менің түсінуіме қиын болғаны...

11. Сабағымызды француз математигі және астрономы Лапластың «Логарифмдердің ойлап табылуынан астрономның жұмысы қысқарып, өмірі ұзарды» деген пікірімен қорытындылаймын.