Лекция "Введение в Тригонометрию. Определение тригонометрических функций угла и числа".

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ШКОЛА «ТЕТ-А-ТЕТ»

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

ЛЕКЦИЯ ДЛЯ 10-КЛАССНИКОВ НА ТЕМУ «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Понятия синуса (sinsinsin), косинуса (coscoscos), тангенса (tgtgtg), котангенса (ctgctgctg) неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнем с самого начала и разберемся в понятии угла.

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор ABABAB «повернулся» относительно точки AAA на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол α\alphaα.

Что же еще необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в 1∘1{}^\circ1​∘​​ (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1360\frac{1}{360}​360​​1​​ части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из360360360 «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен 360∘360{}^\circ360​∘​​.

То есть на рисунке выше изображен угол β\betaβ, равный 50∘50{}^\circ50​∘​​, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером 50360\frac{50}{360}​360​​50​​ длины окружности.

Углом в 111 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображен угол γ\gammaγ, равный 111 радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина ABABAB равна длине BB'BB'BB​′​​ или радиус rrr равен длине дуги lll). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

l=θ⋅rl=\theta \cdot rl=θ⋅r, где θ\thetaθ - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

L=2π⋅rL=2\pi \cdot rL=2π⋅r

Ну вот, теперь соотнесем эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен 2π2\pi2π. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что 2π=360∘2\pi =360{}^\circ2π=360​∘​​. Соответственно, π=180∘\pi =180{}^\circπ=180​∘​​. Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют 60∘60{}^\circ60​∘​​? Все верно π3\frac{\pi }{3}​3​​π​​!

Уловил? Тогда вперед закреплять:

36∘=?36{}^\circ =?36​∘​​=?

π2=?\frac{\pi }{2}=?​2​​π​​=?

30∘=?30{}^\circ =?30​∘​​=?

π4=?\frac{\pi }{4}=?​4​​π​​=?

90∘=?90{}^\circ =?90​∘​​=?

2π3=?\frac{2\pi }{3}=?​3​​2π​​=?

45∘=?45{}^\circ =?45​∘​​=?

20∘=?20{}^\circ =?20​∘​​=?

π6=?\frac{\pi }{6}=?​6​​π​​=?

10∘=?10{}^\circ =?10​∘​​=?

π9=?\frac{\pi }{9}=?​9​​π​​=?

3π=?3\pi =?3π=?

720∘=?720{}^\circ =?720​∘​​=?

Возникли трудности? Тогда смотри ответы:

π5; 90∘;π6;45∘;π2;120∘;π4;π9;30∘;π18;20∘;540∘;4π.\frac{\pi }{5};\ 90{}^\circ ;\frac{\pi }{6};45{}^\circ ;\frac{\pi }{2};120{}^\circ ;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{9};30{}^\circ ;\frac{\pi }{18};20{}^\circ ;540{}^\circ ;4\pi .​5​​π​​; 90​∘​​;​6​​π​​;45​∘​​;​2​​π​​;120​∘​​;​4​​π​​;​9​​π​​;30​∘​​;​18​​π​​;20​∘​​;540​∘​​;4π.

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Итак, с понятием угла разобрались. А что же все-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Все верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона ACACAC); катеты – это две оставшиеся стороны ABABAB и BCBCBC (те, что прилегают к прямому углу), причем, если рассматривать катеты относительно угла BCBCBC, то катет ABABAB – это прилежащий катет, а катет BCBCBC - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике sinβ=BCAC\sin \beta =\frac{BC}{AC}sinβ=​AC​​BC​​.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике cosβ=ABAC\cos \beta =\frac{AB}{AC}cosβ=​AC​​AB​​.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике tgβ=BCABtg\beta =\frac{BC}{AB}tgβ=​AB​​BC​​.

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике ctgβ=ABBCctg\beta =\frac{AB}{BC}ctgβ=​BC​​AB​​.

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо четко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла β\betaβ. По определению, из треугольника ABCABCABC: cosβ=ABAC=46=23\cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}cosβ=​AC​​AB​​=​6​​4​​=​3​​2​​, но ведь мы можем вычислить косинус угла β\betaβ и из треугольника AHIAHIAHI: cosβ=AHAI=69=23\cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}cosβ=​AI​​AH​​=​9​​6​​=​3​​2​​. Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперед закреплять их!

Для треугольника ABCABCABC, изображенного ниже на рисунке, найдем sin α, cos α, tg α, ctg α\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alphasin α, cos α, tg α, ctg α.

sin α=45=0,8cos α=35=0,6tg α=43ctg α=34=0,75\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}​sin α=​5​​4​​=0,8​cos α=​5​​3​​=0,6​tg α=​3​​4​​​ctg α=​4​​3​​=0,75​​

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла β\betaβ.

Ответы: sin β=0,6; cos β=0,8; tg β=0,75; ctg β=43\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}sin β=0,6; cos β=0,8; tg β=0,75; ctg β=​3​​4​​.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным 111. Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиуса-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси xxx (в нашем примере, это радиус ABABAB).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси xxx и координата по оси yyy. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведенном выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ACGACGACG. Он прямоугольный, так как CGCGCG является перпендикуляром к оси xxx.

Чему равен cos α\cos \ \alphacos α из треугольника ACGACGACG? Все верно cos α=AGAC\cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}cos α=​AC​​AG​​. Кроме того, нам ведь известно, что ACACAC – это радиус единичной окружности, а значит, AC=1AC=1AC=1. Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

cos α=AGAC=AG1=AG\cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{1}=AGcos α=​AC​​AG​​=​1​​AG​​=AG.

А чему равен sin α\sin \ \alphasin α из треугольника ACGACGACG? Ну конечно, sinα=CGAC\sin \alpha =\frac{CG}{AC}sinα=​AC​​CG​​! Подставим значение радиуса ACACAC в эту формулу и получим:

sinα=CGAC=CG1=CG\sin \alpha =\frac{CG}{AC}=\frac{CG}{1}=CGsinα=​AC​​CG​​=​1​​CG​​=CG

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка CCC, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что cos α\cos \ \alphacos α и sinα\sin \alphasinα - это просто числа? Какой координате соответствует sinα\sin \alphasinα? Ну, конечно, координате xxx! А какой координате соответствует sinα\sin \alphasinα? Все верно, координате yyy! Таким образом, точка C(x;y)=C(cosα;sinα)C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )C(x;y)=C(cosα;sinα).

А чему тогда равны tgαtg \alphatgα и ctgαctg \alphactgα? Все верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что tgα=sinαcosα=yxtg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}tgα=​cosα​​sinα​​=​x​​y​​, а ctgα=cosαsinα=xyctg \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}ctgα=​sinα​​cosα​​=​y​​x​​.

А что, если угол будет больше 90∘=π290{}^\circ =\frac{\pi }{2}90​∘​​=​2​​π​​? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1C1G{{A}_{1}}{{C}_{1}}GA​1​​C​1​​G: угол C1A1G=180∘−β {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \C​1​​A​1​​G=180​∘​​−β  (как прилежащий к углу β\betaβ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла C1A1G=180∘−β {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \C​1​​A​1​​G=180​∘​​−β ? Все верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

sin∠C1A1G=C1GA1C1=C1G1=C1G=y;cos∠C1A1G=A1GA1C1=A1G1=A1G=x;tg∠C1A1G=C1GA1G=yx;ctg∠C1A1G=A1GC1G=xy\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\frac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\frac{x}{y}\end{array}​sin∠C​1​​A​1​​G=​A​1​​C​1​​​​C​1​​G​​=​1​​C​1​​G​​=C​1​​G=y;​cos∠C​1​​A​1​​G=​A​1​​C​1​​​​A​1​​G​​=​1​​A​1​​G​​=A​1​​G=x;​tg∠C​1​​A​1​​G=​A​1​​G​​C​1​​G​​=​x​​y​​;​ctg∠C​1​​A​1​​G=​C​1​​G​​A​1​​G​​=​y​​x​​​​

Ну вот, как видишь, значение синуса угла все так же соответствует координате yyy; значение косинуса угла – координате xxx; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиуса-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиуса-вектора – вдоль положительного направления оси xxx. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определенной величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиуса-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиуса-вектора по окружности составляет 360∘360{}^\circ360​∘​​ или 2π2\pi2π. А можно повернуть радиус-вектор на 390∘390{}^\circ390​∘​​ или на −1140∘-1140{}^\circ−1140​∘​​? Ну конечно, можно! В первом случае, 390∘=360∘+30∘390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ390​∘​​=360​∘​​+30​∘​​, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении 30∘30{}^\circ30​∘​​ или π6\frac{\pi }{6}​6​​π​​.

Во втором случае, −1140∘=−360∘⋅3−60∘-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ−1140​∘​​=−360​∘​​⋅3−60​∘​​, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении −60∘-60{}^\circ−60​∘​​ или −π3-\frac{\pi }{3}−​3​​π​​.

Таким образом, из приведенных примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на 360∘⋅m360{}^\circ \cdot m360​∘​​⋅m или 2π⋅m2\pi \cdot m2π⋅m (где mmm – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиуса-вектора.

Ниже на рисунке изображен угол β=−60∘\beta =-60{}^\circβ=−60​∘​​. Это же изображение соответствует углу −420∘,−780∘, 300∘,660∘-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ−420​∘​​,−780​∘​​, 300​∘​​,660​∘​​ и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти можно записать общей формулой β+360∘⋅m\beta +360{}^\circ \cdot mβ+360​∘​​⋅m или β+2π⋅m\beta +2\pi \cdot mβ+2π⋅m (где mmm – любое целое число)

−420∘=−60+360⋅(−1);−780∘=−60+360⋅(−2);300∘=−60+360⋅1;660∘=−60+360⋅2.\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array}​−420​∘​​=−60+360⋅(−1);​−780​∘​​=−60+360⋅(−2);​300​∘​​=−60+360⋅1;​660​∘​​=−60+360⋅2.​​

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

sin 90∘=?cos 90∘=?tg 90∘=?ctg 90∘=?sin 180∘=sin π=?cos 180∘=cos π=?tg 180∘=tg π=?ctg 180∘=ctg π=?sin 270∘=?cos 270∘=?tg 270∘=?ctg 270∘=?sin 360∘=?cos 360∘=?tg 360∘=?ctg 360∘=?sin 450∘=?cos 450∘=?tg 450∘=?ctg 450∘=?\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}​sin 90​∘​​=?​cos 90​∘​​=?​tg 90​∘​​=?​ctg 90​∘​​=?​sin 180​∘​​=sin π=?​cos 180​∘​​=cos π=?​tg 180​∘​​=tg π=?​ctg 180​∘​​=ctg π=?​sin 270​∘​​=?​cos 270​∘​​=?​tg 270​∘​​=?​ctg 270​∘​​=?​sin 360​∘​​=?​cos 360​∘​​=?​tg 360​∘​​=?​ctg 360​∘​​=?​sin 450​∘​​=?​cos 450​∘​​=?​tg 450​∘​​=?​ctg 450​∘​​=?​​

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

sinα=y;cosα=x;tgα=yx;ctgα=xy.\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\frac{y}{x};\\ctg\alpha =\frac{x}{y}.\end{array}​sinα=y;​cosα=x;​tgα=​x​​y​​;​ctgα=​y​​x​​.​​

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определенным мерам угла. Ну что же, начнем по порядку: углу в 90∘=π290{}^\circ =\frac{\pi }{2}90​∘​​=​2​​π​​ соответствует точка с координатами (0;1)\left( 0;1 \right)(0;1), следовательно:

sin90∘=y=1\sin 90{}^\circ =y=1sin90​∘​​=y=1;

cos90∘=x=0\cos 90{}^\circ =x=0cos90​∘​​=x=0;

tg 90∘=yx=10⇒tg 90∘\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circtg 90​∘​​=​x​​y​​=​0​​1​​⇒tg 90​∘​​ - не существует;

ctg 90∘=xy=01=0\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0ctg 90​∘​​=​y​​x​​=​1​​0​​=0.

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в 180∘, 270∘, 360∘, 450∘(=360∘+90∘) 180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\180​∘​​, 270​∘​​, 360​∘​​, 450​∘​​(=360​∘​​+90​∘​​)  соответствуют точки с координатами (−1;0), (0;−1), (1;0), (0;1)\left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)(−1;0), (0;−1), (1;0), (0;1), соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

sin 180∘=sin π=0\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0sin 180​∘​​=sin π=0

cos 180∘=cos π=−1\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1cos 180​∘​​=cos π=−1

tg 180∘=tg π=0−1=0\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\frac{0}{-1}=0tg 180​∘​​=tg π=​−1​​0​​=0

ctg 180∘=ctg π=−10⇒ctg π\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pictg 180​∘​​=ctg π=​0​​−1​​⇒ctg π - не существует

sin 270∘=−1\sin \ 270{}^\circ =-1sin 270​∘​​=−1

cos 270∘=0\cos \ 270{}^\circ =0cos 270​∘​​=0

tg 270∘=−10⇒tg 270∘\text{tg}\ 270{}^\circ =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circtg 270​∘​​=​0​​−1​​⇒tg 270​∘​​ - не существует

ctg 270∘=0−1=0\text{ctg}\ 270{}^\circ =\frac{0}{-1}=0ctg 270​∘​​=​−1​​0​​=0

sin 360∘=0\sin \ 360{}^\circ =0sin 360​∘​​=0

cos 360∘=1\cos \ 360{}^\circ =1cos 360​∘​​=1

tg 360∘=01=0\text{tg}\ 360{}^\circ =\frac{0}{1}=0tg 360​∘​​=​1​​0​​=0

ctg 360∘=10⇒ctg 2π\text{ctg}\ 360{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pictg 360​∘​​=​0​​1​​⇒ctg 2π - не существует

sin 450∘=sin (360∘+90∘)=sin 90∘=1\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1sin 450​∘​​=sin (360​∘​​+90​∘​​)=sin 90​∘​​=1

cos 450∘=cos (360∘+90∘)=cos 90∘=0\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0cos 450​∘​​=cos (360​∘​​+90​∘​​)=cos 90​∘​​=0

tg 450∘=tg (360∘+90∘)=tg 90∘=10⇒tg 450∘\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circtg 450​∘​​=tg (360​∘​​+90​∘​​)=tg 90​∘​​=​0​​1​​⇒tg 450​∘​​ - не существует

ctg 450∘=ctg(360∘+90∘)=ctg 90∘=01=0\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{0}{1}=0ctg 450​∘​​=ctg(360​∘​​+90​∘​​)=ctg 90​∘​​=​1​​0​​=0.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

sinα=y;cosα=x;tgα=yx;ctgα=xy.⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ Надо запомнить или уметь выводить!!!sin⁡α=y;cosα=x;tgα=yx;ctgα=xy.} Надо запомнить или уметь выводить!!!

А вот значения тригонометрических функций углов в 30∘=π6, 45∘=π430{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}30​∘​​=​6​​π​​, 45​∘​​=​4​​π​​ и 30∘=π6, 45∘=π430{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}30​∘​​=​6​​π​​, 45​∘​​=​4​​π​​, приведенных ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трех мер угла (30∘=π6, 45∘=π4, 60∘=π330{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\frac{\pi }{3}30​∘​​=​6​​π​​, 45​∘​​=​4​​π​​, 60​∘​​=​3​​π​​), а также значение тангенса угла в 30∘30{}^\circ30​∘​​. Зная эти 444 значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

sin30∘=cos 60∘=12  sin45∘=cos 45∘=2√2sin60∘=cos 30∘=3√2 \begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\frac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array}​sin30​∘​​=cos 60​∘​​=​2​​1​​  ​sin45​∘​​=cos 45​∘​​=​2​​√​2​​​​​​sin60​∘​​=cos 30​∘​​=​2​​√​3​​​​​ ​​

tg 30∘ =13√\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\frac{1}{\sqrt{3}}tg 30​∘​​ =​√​3​​​​​1​​, зная это можно восстановить значения для tg 45∘,tg 60∘\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circtg 45​∘​​,tg 60​∘​​. Числитель «111» будет соответствовать tg 45∘ \text{tg}\ 45{}^\circ \tg 45​∘​​ , а знаменатель «3√\sqrt{\text{3}}√​3​​​» соответствует tg 60∘ \text{tg}\ 60{}^\circ \tg 60​∘​​ . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего 444 значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (ее координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, ее радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка K(x0;y0)=K(3;2)K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)K(x​0​​;y​0​​)=K(3;2) - центр окружности. Радиус окружности равен 1,51,51,5. Необходимо найти координаты точки PPP, полученной поворотом точки OOOна δ\deltaδ градусов.

Как видно из рисунка, координате xxx точки PPP соответствует длина отрезка TP=UQ=UK+KQTP=UQ=UK+KQTP=UQ=UK+KQ. Длина отрезка UKUKUK соответствует координате xxx центра окружности, то есть равна 333. Длину отрезка KQKQKQ можно выразить, используя определение косинуса:

cos δ=KQKP=KQr⇒KQ=r⋅cos δ\cos \ \delta =\frac{KQ}{KP}=\frac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \deltacos δ=​KP​​KQ​​=​r​​KQ​​⇒KQ=r⋅cos δ.

Тогда имеем, что для точки PPP координата x=x0+r⋅cos δ=3+1,5⋅cos δx={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \deltax=x​0​​+r⋅cos δ=3+1,5⋅cos δ.

По той же логике находим значение координаты y для точки PPP. Таким образом,

y=y0+r⋅sin δ=2+1,5⋅sinδy={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \deltay=y​0​​+r⋅sin δ=2+1,5⋅sinδ.

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

x=x0+r⋅cos δy=y0+r⋅sin δ\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}​x=x​0​​+r⋅cos δ​y=y​0​​+r⋅sin δ​​, где

x0,y0{{x}_{0}},{{y}_{0}}x​0​​,y​0​​ - координаты центра окружности,

rrr - радиус окружности,

δ\deltaδ - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

x=x0+r⋅cos δ=0+1⋅cos δ=cos δy=y0+r⋅sin δ=0+1⋅sin δ=sin δ\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array}​x=x​0​​+r⋅cos δ=0+1⋅cos δ=cos δ​y=y​0​​+r⋅sin δ=0+1⋅sin δ=sin δ​​

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности? Тогда пробуй:

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки A(1;0)A\left( 1;0 \right)A(1;0) на 7π3\frac{7\pi }{3}​3​​7π​​.

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки A(1;0)A\left( 1;0 \right)A(1;0) на 750∘750{}^\circ750​∘​​.

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки A(1;0)A\left( 1;0 \right)A(1;0) на −225∘-225{}^\circ−225​∘​​.

4. Точка A(x0;y0)=A(5;7)A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7)A(x​0​​;y​0​​)=A(5;7) - центр окружности. Радиус окружности равен 222. Необходимо найти координаты точки PPP, полученной поворотом начального радиуса-вектора на −30∘-30{}^\circ−30​∘​​.

5. Точка A(x0;y0)=A(−7;6)A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6)A(x​0​​;y​0​​)=A(−7;6) - центр окружности. Радиус окружности равен 333. Необходимо найти координаты точки PPP, полученной поворотом начального радиуса-вектора на PPP.

Возникли проблемы/вопросы? Тогда разбирайся в решении.

1. Окружность единичная с центром в точке (0;0)\left( 0;0 \right)(0;0), значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

x=cos δ=cos7π3y=sin δ=sin7π3\begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos \frac{7\pi }{3}\\y=\sin \ \delta =\sin \frac{7\pi }{3}\end{array}​x=cos δ=cos​3​​7π​​​y=sin δ=sin​3​​7π​​​​

Можно заметить, что 7π3=6π+π3=2π+π3\frac{7\pi }{3}=\frac{6\pi +\pi }{3}=2\pi +\frac{\pi }{3}​3​​7π​​=​3​​6π+π​​=2π+​3​​π​​. А мы ведь знаем, что 2π2\pi2π соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на π3\frac{\pi }{3}​3​​π​​. Зная это, найдем искомые координаты точки:

x=cos7π3=cosπ3y=sin7π3=sinπ3\begin{array}{l}x=\cos \frac{7\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}\\y=\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\end{array}​x=cos​3​​7π​​=cos​3​​π​​​y=sin​3​​7π​​=sin​3​​π​​​​

Синус π3\frac{\pi }{3}​3​​π​​ и косинус π3\frac{\pi }{3}​3​​π​​ - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

x=cosπ3=12y=sinπ3=3√2\begin{array}{l}x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\\y=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}​x=cos​3​​π​​=​2​​1​​​y=sin​3​​π​​=​2​​√​3​​​​​​​

Таким образом, искомая точка имеет координаты (12;3√2)\left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)(​2​​1​​;​2​​√​3​​​​​).

2. Окружность единичная с центром в точке (0;0)\left( 0;0 \right)(0;0), значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

x=cos δ=cos750∘y=sin δ=sin750∘\begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos 750{}^\circ \\y=\sin \ \delta =\sin 750{}^\circ \end{array}​x=cos δ=cos750​∘​​​y=sin δ=sin750​∘​​​​

Можно заметить, что 750∘=360∘⋅2+30∘750{}^\circ =360{}^\circ \cdot 2+30{}^\circ750​∘​​=360​∘​​⋅2+30​∘​​. Мы знаем, что 360∘⋅2360{}^\circ \cdot 2360​∘​​⋅2 соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на 30∘30{}^\circ30​∘​​. Зная это, найдем искомые координаты точки:

x=cos750∘=cos30∘y=sin750∘=sin30∘\begin{array}{l}x=\cos 750{}^\circ =\cos 30{}^\circ \\y=\sin 750{}^\circ =\sin 30{}^\circ \end{array}​x=cos750​∘​​=cos30​∘​​​y=sin750​∘​​=sin30​∘​​​​.

Синус 30∘30{}^\circ30​∘​​ и косинус 30∘30{}^\circ30​∘​​ - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

x=cos30∘=3√2y=sin30∘=12\begin{array}{l}x=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\y=\sin 30{}^\circ =\frac{1}{2}\end{array}​x=cos30​∘​​=​2​​√​3​​​​​​y=sin30​∘​​=​2​​1​​​​

Таким образом, искомая точка имеет координаты (3√2;12)\left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2} \right)(​2​​√​3​​​​​;​2​​1​​).

3. Окружность единичная с центром в точке (0;0)\left( 0;0 \right)(0;0), значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

x=cos β=cos(−225∘)y=sin β=sin(−225∘)\begin{array}{l}x=\cos \ \beta =\cos (-225{}^\circ )\\y=\sin \ \beta =\sin (-225{}^\circ )\end{array}​x=cos β=cos(−225​∘​​)​y=sin β=sin(−225​∘​​)​​.

Можно заметить, что −225∘=−360∘+135∘;    −225∘=−180∘−45∘-225{}^\circ =-360{}^\circ +135{}^\circ ;\ \ \ \ -225{}^\circ =-180{}^\circ -45{}^\circ−225​∘​​=−360​∘​​+135​∘​​;    −225​∘​​=−180​∘​​−45​∘​​. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Радиус E1W{{E}_{1}}WE​1​​W образует с осью xxx углы, равные 45∘45{}^\circ45​∘​​ и 135∘135{}^\circ135​∘​​. Зная, что табличные значения косинуса и синуса 45∘45{}^\circ45​∘​​ равны 2–√2\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}​2​​√​2​​​​​, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

x=cos(−225∘)=−cos45∘=−2√2y=sin(−225∘)=sin45∘=2√2\begin{array}{l}x=\cos (-225{}^\circ )=-\cos 45{}^\circ =-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\sin (-225{}^\circ )=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}​x=cos(−225​∘​​)=−cos45​∘​​=−​2​​√​2​​​​​​y=sin(−225​∘​​)=sin45​∘​​=​2​​√​2​​​​​​​

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме "Формулы тригонометрии".

Таким образом, искомая точка имеет координаты (−2√2;2√2)\left( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)(−​2​​√​2​​​​​;​2​​√​2​​​​​).

4. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде x=x0+r⋅cos δy=y0+r⋅sin δ\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}​x=x​0​​+r⋅cos δ​y=y​0​​+r⋅sin δ​​, где

x0,y0{{x}_{0}},{{y}_{0}}x​0​​,y​0​​ - координаты центра окружности (в нашем примере, x0=5{{x}_{0}}=5x​0​​=5, y0=7{{y}_{0}}=7y​0​​=7

rrr - радиус окружности (по условию, r=2r=2r=2)

δ\deltaδ - угол поворота радиуса вектора (по условию, δ=−30∘\delta =-30{}^\circδ=−30​∘​​)

Подставим все значения в формулу и получим:

x=5+2⋅cos (−30∘)y=7+2⋅sin (−30∘)\begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )\end{array}​x=5+2⋅cos (−30​∘​​)​y=7+2⋅sin (−30​∘​​)​​.

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

Как можно заметить, значение xxx, то есть cos(−30∘)\cos \left( -30{}^\circ \right)cos(−30​∘​​) положительно, а значение yyy, то есть sin(−30∘)\sin (-30{}^\circ )sin(−30​∘​​) - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

cos(−30∘)=cos30∘=3√2sin(−30∘)=−sin30∘=−12\begin{array}{l}\cos \left( -30{}^\circ \right)=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin \left( -30{}^\circ \right)=-\sin 30{}^\circ =-\frac{1}{2}\end{array}​cos(−30​∘​​)=cos30​∘​​=​2​​√​3​​​​​​sin(−30​∘​​)=−sin30​∘​​=−​2​​1​​​​

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдем координаты:

x=5+2⋅cos (−30∘)=5+2⋅3√2=5+3–√y=7+2⋅sin (−30∘)=7+2⋅(−12)=6\begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}​x=5+2⋅cos (−30​∘​​)=5+2⋅​2​​√​3​​​​​=5+√​3​​​​y=7+2⋅sin (−30​∘​​)=7+2⋅(−​2​​1​​)=6​​

Таким образом, искомая точка имеет координаты (5+3–√;6)\left( 5+\sqrt{3};6 \right)(5+√​3​​​;6).

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде x=x0+r⋅cos δy=y0+r⋅sin δ\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}​x=x​0​​+r⋅cos δ​y=y​0​​+r⋅sin δ​​, где

x0,y0{{x}_{0}},{{y}_{0}}x​0​​,y​0​​ - координаты центра окружности (в нашем примере, x0=−7{{x}_{0}}=-7x​0​​=−7, y0=6{{y}_{0}}=6y​0​​=6

rrr - радиус окружности (по условию, r=3r=3r=3)

δ\deltaδ - угол поворота радиуса вектора (по условию, δ=60∘\delta =60{}^\circδ=60​∘​​).

x=5+2⋅cos (−30∘)=5+2⋅3√2=5+3–√y=7+2⋅sin (−30∘)=7+2⋅(−12)=6\begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}​x=5+2⋅cos (−30​∘​​)=5+2⋅​2​​√​3​​​​​=5+√​3​​​​y=7+2⋅sin (−30​∘​​)=7+2⋅(−​2​​1​​)=6​​

Подставим все значения в формулу и получим:

x=−7+3⋅cos60∘y=6+3⋅sin 60∘\begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ \\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ \end{array}​x=−7+3⋅cos60​∘​​​y=6+3⋅sin 60​∘​​​​

cos60∘\cos 60{}^\circcos60​∘​​ и cos60∘\cos 60{}^\circcos60​∘​​ - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

x=−7+3⋅cos60∘=−7+3⋅12=−5,5y=6+3⋅sin 60∘=6+3⋅3√2=6+33√2\begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ =-7+3\cdot \frac{1}{2}=-5,5\\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ =6+3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6+\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}​x=−7+3⋅cos60​∘​​=−7+3⋅​2​​1​​=−5,5​y=6+3⋅sin 60​∘​​=6+3⋅​2​​√​3​​​​​=6+​2​​3√​3​​​​​​​

Таким образом, искомая точка имеет координаты (−5,5;6+33√2)\left( -5,5;6+\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)(−5,5;6+​2​​3√​3​​​​​).