КСК "ВОЛШЕБНЫЕ ГРАНИ"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 145 с углубленным изучением

экономики, английского языка, математики, информатики»

«Экономическая школа»

614022, г. Пермь, ул. Карпинского 87а, тел./факс: (342) 223-00-68

СОГЛАСОВАНО Руководитель ШМО __________________ В.П. Афанасьева Протокол № ________ от «___» августа 2015 г.

СОГЛАСОВАНО на методическом совете школы Заместитель директора по УВР ______________ О.А. Вандышева «_____» августа 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ Директор школы ____________________ Е.И. Шестакова «____» августа 2015 г.

«ВОЛШЕБНЫЕ ГРАНИ»

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ВЫБОРУ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-х КЛАССОВ

Составитель:

Учитель математики

МАОУ «Экономическая школа № 145»

Семёнова Л.М.

г. ПЕРМЬ

2015

Пояснительная записка

Цель курса - проявление интереса к математике, развитие пространственного воображения, создание ребенку условий для самореализации и самовыражения.

Задачи курса нацелены на формирование предметных, метапредметных и личностных результатов освоения учебного материала, развитие личности учащихся, их интересов и способностей.

Предметные: знакомство с объемными геометрическими фигурами, выполнение расчётов, измерений и изготовление макетов объёмных моделей.

Метапредметными результатами является формирование универсальных учебных действий:

регулятивные УУД: формулировать учебную проблему, выдвигать версии решения, составлять (индивидуально или в группе) план изготовления модели;

познавательные УУД:

создавать модели, определяя план действий, преобразовывать информацию

из одного вида в другой (схему в текст и наоборот),

уметь определять возможные источники необходимых сведений, самостояте-

льно производить поиск информации, используя компьютерные и коммуник

ационные технологии;

коммуникативные УУД:

самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе, опреде

лять общие цели, вести грамотно диалог, понимать позицию другого, раз-

личая в его речи мнение, аргументы, теории.

личностные УУД:

формирование независимости и критичности мышления, воспитание воли и

настойчивости в достижении цели, трудолюбия, побуждение к самостоятель

ному выбору решения, формирование упорства в достижении желаемого ре-

зультата, развитие мелкой моторики и координации движения рук.

Требования к знаниям и умениям обучающихся.

К концу обучения дети должны знать:

простые объёмные геометрические фигуры: правильные многогранники, тела вращения; делать расчёты и измерения, вырезать развёртки объёмных фигур, изготавливать макеты простых геометрических тел;

уметь: пользоваться геометрическими инструментами, знать правила безопасной работы с ними;

материалы для изготовления макетов и их свойства; технологический процесс изготовления макетов .

На занятиях используются различные методы обучения: словесные, наглядные, практические. Словесные методы – рассказ и беседа – сопровождаются демонстрацией пособий, иллюстрированного материала, образцов выполненных работ. Основное место на занятиях отводится практической работе, которая проводится на каждом занятии после объяснения теоретического материала.

 Система оценивания:

Во время работы на курсе «Волшебные грани» школьники создают свои варианты творческих изделий, фиксируют этапы деятельности на фотоаппарат или видеокамеру для создания презентации о проделанной работе. По окончании курса проходит выставка работ, по итогам прохождения КСК предполагается защита проекта «Волшебные грани» в форме фото–, видео– отчета о проделанной работе, презентации работ, который оценивается по пятибалльной шкале. В дальнейшем работы детей могут быть оформлены в кабинете математики, использоваться на уроках как наглядный материал и использоваться на практических работах по геометрии.

Критерии оценивания:

№	критерий	Позиции для оценивания	баллы
1	Качество выполненной работы	Работа выполнена полностью и соответствует предъявленным требованиям	2
		Работа выполнена с незначительными нарушениями технологии или не выполнена до конца или выполнена неаккуратно	1
		Работа не выполнена или выполнена не до конца и неаккуратно	0
2	Самостоятельность выполнения работы	Работа над изделием проходила самостоятельно, без помощи преподавателя	2
		Работа выполнялась частично с помощью преподавателя	1
		Работа не выполнена	0
3	Оригинальность выполнения работы	Работа выполнена аккуратно, сделаны свои расчёты	3
		Работа выполнена по образцу, однако внесена своя деталь	2
		Работа выполнена репродуктивно, следуя строго по образцу	1
		Работа не выполнена	0

Итоговый балл: «5» - 7-6 баллов; «4» - 5-4 балла; «3» - 3 балла

Тематическое планирование

№	Тема занятия	Количество часов
1	Вводное занятие: необходимые материалы геометрические инструменты, рекомендации по их использованию	1 час
2	Виды объёмных тел: правильные многогранники. Расчёт и построение развёртки призмы или пирамиды (по выбору)	1 час
3	Изготовление макета призмы или пирамиды (по выбору)	1 час
4	Тела вращения. Расчёт и построение развёртки конуса или цилиндра (по выбору)	1 час
5	Изготовление макета конуса или цилиндра (по выбору)	1 час
6	Сложные многогранники.	1 час
7	Многогранники оригами	1 час
8	Итоговое занятие: подведение итогов. Защита проекта «Мой чудесный многогранник»	1час

 

1. Простые объёмные формы

Вид элемента определяется соотношением длины, ширины и высоты формы.

Помимо соотношения размеров объемные тела имеют и другие

характеристики, такие как характер очертания их поверхности.

По этому признаку можно разделить все объемные тела на четыре группы:

1. Тела, образованные плоскостями, имеющими перпендикулярные ребра

(кубы, прямые призмы);

2. Тела, образованные наклонными плоскостями (пирамиды, наклонные

призмы и др.);

3. Тела вращения и формы, образованные криволинейными поверхностями

(сфера, конус, цилиндр и др.);

4. Сложные стереометрические фигуры, имеющие прямолинейные и

криволинейные поверхности.

Изучение объемных форм мы начнем с простых геометрических тел, из

которых, как из детского конструктора, в дальнейшем будем создавать сложные

объемно-пространственные композиции.

1.1. Правильные многогранники (призмы, пирамиды)

Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное

многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Каждая

сторона многоугольника служит одновременно стороной другого. Сами

многоугольники называются гранями, а общие их стороны - ребрами, точки

пересечения трех и более ребер - вершины многогранника.

Для изготовления любого геометрического тела в макете необходимо вычертить его развертку. Разверткой поверхности геометрического тела является плоская фигура, которая получается в результате совмещения всех граней или всех поверхностей, ограничивающих тело, с одной плоскостью. 
 
Рис.1.
  
Начнем с наиболее характерного объема -куба (рис. 1, 2). У куба все ребра и грани равны, боковая поверхность состоит из четырех равных квадратов, основания куба - являются двумя квадратами, тождественные квадратам боковой поверхности. Построим на листе развертку боковой поверхности и граней основания. Затем по металлической линейке сделаем надрезы, вдоль ребер куба. Для того чтобы собрать полученную развертку, склеим грани. Если бумага достаточно плотная, то ее можно клеить встык, если бумага мягкая, то лучше сделать клапаны для склеивания. На развертке у каждой грани куба делают отвороты краев, т.е. откладывают от каждой стороны полоски шириной 3-5 мм. Затем делают с наружной стороны надрезы макетным ножом по линиям сгиба ребер. После чего вырезают развертку вместе с отворотами, сгибают развертку по ребрам и надрезанным отворотам, смазывают отгибы клеем ПВА и прижимают их к противоположенным граням. При достаточной аккуратности выполнения и точности вычерчивания развертки макет получится качественным. 
По тем же правилам делаются развертки правильных призм. Боковая поверхность любой правильной призмы состоит из прямоугольников, а оба основания представляют собой правильные многоугольники. 
К правильным многогранникам относятся и пирамиды. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота правильной пирамиды проходит через центр основания и перпендикулярна ему. 

   
Рис.2

Самостоятельная работа 
Упражнение 1. Изготовление макетов простых объемных форм. 
а) Макет куба 10x10x10 см, 
б) Макет шестигранной призмы с квадратным основанием 4x4 см и высотой 10 см. 
в)   Макет пятигранной пирамиды с длиной стороны основания 5 см и высотой 10 см. 
Цель задания. Научиться выполнять макеты простых геометрических тел. 
Методические указания. Склеить куб и пирамиду с помощью указаний изложенных выше. Линии сгибов граней призмы надсеките с внешней стороны бумаги примерно на 13 толщины листа бумаги. 

1.2. Тела вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная

вращением линии — прямой или кривой — вокруг неподвижной прямой, т. е.

оси вращения. Тип поверхности напрямую зависит от формы образующей и ее

положения относительно оси вращения.

Цилиндр

Рис.3 Рис.4

Наиболее простым телом вращения является цилиндр. Цилиндр

проецируется на горизонтальную плоскость как круг, являющийся его

основанием. Боковая его сторона в развертке представляет собой прямоугольник,

высота которого равна высоте цилиндра, а ширина - периметру

основания. Для построения развертки возможно рассчитать все параметры

цилиндра, но есть более простой графический способ, в котором развертка

строится приближенным способом. Для этого окружность основания делим на

12 (16, 24 т. д.) равных частей, измерителем откладываем одну такую часть 12

(16, 24 и т. д.) раз на длинной стороне прямоугольника боковой поверхности.

Получили развертку боковой стороны цилиндра. Делаем на ней отворот.

Придание прямоугольнику боковой поверхности криволинейной формы

возможно сделать двумя путями:

1. Использовать прокатку через вал (карандаш, ручку и т. п.)

2. Поверхность боковой развертки разделить вертикальными линиями

через 3—5 мм, после чего надрезать с наружной стороны макетным ножом,

вырезать развертку, и прямоугольник сам сворачивается по кривой. Этот

способ более качественный. После чего склеить боковую поверхность. На

обоих кругах основания около каждой из 12 (16, 24 и т. д.) частей построить

отвороты в виде треугольников для склеивания основания с боковой

поверхностью цилиндра, затем надрезать отвороты с наружной стороны,

загнуть и склеить объем.

Конус

Другое простое тело вращения — конус. В основании конуса лежит круг.

Боковая поверхность конуса на развертке представляет собой круговой сектор,

радиус которого равен длине образующей. Для построения развертки

графическим способом также как и при построении развертки цилиндра,

разделим плоскость основания на 12 (16, 24 и т. д.) частей и отложим

измерителем 12 таких частей на длине окружности, проведенной радиусом,

равным длине образующей. Точность построения боковой развертки конуса

увеличивается с увеличением количества частей, на которые разбит круг. После

этого надсечем боковую поверхность через 3—5 мм снаружи, соединяя каждую

линию с вершиной конуса. Затем сделаем отвороты, как это мы делали в

развертке цилиндра, вырежем и соберем конус. Качество макета будет зависеть

от точности построения развертки.

   
Рис. 5 Рис. 6
Конус также является простым телом вращения (рис. 5, 6). В основании конуса лежит круг. Боковая поверхность конуса на развертке представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей. Для построения развертки конуса графическим способом разделим плоскость основания на 12 (16, 24 и т.д.) частей и отложим измерителем 12 таких частей на длине окружности, проведенной радиусом, равным длине образующей. Точность построения боковой развертки конуса увеличивается с увеличением количества частей, на которые разбит круг. После этого следует надрезать боковую поверхность конуса через 3-5 мм снаружи, вдоль образующей. Для изготовления макета конуса, как и для цилиндра, необходимо у оснований сделать монтажные отвороты. С их помощью можно будет склеить основания с боковой поверхностью. Качество макета будет зависеть от точности построения развертки. 
В макетировании часто используют усеченные объемные формы. Если плоскости основания параллельны секущей плоскости, то в сечении получается круг. В случаях, когда секущая плоскость направлена под углом 90° к плоскости основания и проходит через ось вращения цилиндра или конуса, то получается, соответственно, прямоугольник и треугольник. Если плоскость сечение направлена под произвольным углом, то сечение цилиндра представляет собой эллипс или его часть, а сечение конуса - гиперболу. 

Самостоятельная работа
Упражнение1. Цилиндр. 
Цель задания. Овладеть навыками макетирования простых геометрических тел на примере цилиндра. 
Методические указания. Склеить цилиндр высотой 14 см, и радиусом основания 3,5 см. Используйте методические указания данные выше. 
Упражнение2. Конус. 
Цель задания. Овладеть навыками макетирования простых геометрических тел на примере конуса. 
Методические указания. Склеить усеченный конус с параллельными плоскостями основания диаметрами 7 и 2 см, а

Высотой 10 см. Используйте методические указания данные выше.

    1.3.Сложные многогранники 
Правильные многогранники или «тела Платона», называются выпуклыми объемами. Все грани их являются одинаковыми и правильными многоугольниками. Все углы при вершинах правильного многогранника равные. Количество плоских углов при вершине правильного многогранника не превышает пяти. 
  
Еще в древности Евклид доказал существование пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. 
  
Тетраэдр - правильная пирамида. 
  
Куб и октаэдр получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и наоборот. 
  
Додекаэдр - двенадцатигранник, выпуклый объем которого ограничен в пространстве двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. В каждой вершине соединяются три пятиугольника. 
 
Рис.7 

  
Икосаэдр-двадцатигранник, выпуклая поверхность которого, составлена двадцатью равносторонними и равными треугольниками. При вершинах соединяются по пять треугольников (рис.7, проекции икосаэдра). 

 
Рис.8

В начале XIX века французский математик Л. Пуансо, основываясь на приведенном выше определении правильного многогранника, впервые описал четыре правильных невыпуклых многогранника, впоследствии названных «телами Пуансо». В таких «звездчатых» объемах либо грани пересекают друг друга, либо сами грани являются самопересекающимися многоугольниками. К примеру, форма правильного «звездчатого» додекаэдра образована совокупностью поверхностей двенадцати правильных пятигранных пирамид, совмещенных своими основаниями с гранями правильного выпуклого додекаэдра. 

1. Выполнение макетов простых геометрических тел.

Цель: Овладеть первичными моторными навыками макетирования.

Задачи: Познакомиться с основными начальными приемами

изготовления макетов объемных форм.

Требования: Выполнить макеты: куба (8x8 см), цилиндра (диаметр 8 см,

высота 16 см), пирамиды (сторона 8 см, высота 16 см), конуса (диаметр

8 см, высота 16 см) по предложенным образцам.

Методические указания: Приведенные на схеме развертки куба и

пирамиды (рис. 1) склеиваются встык клеем ПВА. Чтобы линии сгиба на

ребрах куба и пирамиды были ровными и четкими, необходимо с внешней стороны

бумаги по линии сгиба сделать надсечку. Надсечка делается на 0,5

толщины листа бумаги, это надо делать легко, чтобы не прорезать бумагу

насквозь. Затем нужно согнуть бумагу по этим линиям и склеить стыки.

Основания конуса и цилиндра (окружности) вырезаются ножом и подравниваются ножницами. Окружность можно вырезать и при помощи

измерителя, если очень хорошо заточить одну из иголок. Для склеивания

боковых поверхностей конуса и цилиндра можно предусмотреть

дополнительный клапан. Чтобы боковая поверхность цилиндра согнулась

ровно, можно на ее выкройку нанести надсечки через равные промежутки

(5 мм). Ровную кривизну можно получить также, если скручивать детали между

двух листов пленки, используемой для рентгеновских снимков.

На всех приводимых далее исходных чертежах приняты определенные

условные обозначения: самая толстая линия соответствует линии основного

контура и прорезается насквозь; пунктирная линия — невидимый контур, ее

надо надсечь с изнаночной стороны; самая тонкая линия соответствует

надсечке с лицевой стороны.

Чтобы качество макета было высоким, надо сделать очень точный чертеж,

сделать надсечки и прорези, а следы карандаша аккуратно стереть. Иногда

можно не пользоваться карандашом, а делать уколы измерителем в нужных

местах. Сначала на выкройках делаются надсечки, а потом сквозные прорези.

Рис.9
  
На основе пяти перечисленных выше правильных многогранников существует большое количество полуправильных «кристаллографических» выпукло-вогнутых объемов. 
  
Выше были приведены способы построения разверток куба и пирамиды. Макеты правильных выпуклых многогранников, таких как додекаэдр и икосаэдр, также можно выполнить в виде развертки на плоскости и собрать в объем. 
  
Построение развертки  правильного двенадцатигранника - додекаэдра. 

 
Рис. 10

  
Макет додекаэдра может быть собран из двух одинаковых частей-половинок (рис. 10). В основании элемента-«половины» находится правильный пятиугольник, на каждой стороне которого выполняется построение конгруэнтного пятиугольника. Для этого сначала построим правильный пятиугольник. Схема деления окружности приведена на рис.11. Прямая, проходящая через вершину правильного пятиугольника и центр окружности вспомогательного построения является серединным перпендикуляром стороны пятиугольника, лежащей напротив этой вершины (рис. 12). 
 
Рис. 11

 
Рис. 12

  
Соединив вершину А с центром окружности О, получим прямую, которая делит отрезок, ограниченный точками В и С, пополам в точке D. На продолжении прямой A-O-D отложим из точки D интервал, равный A-D, получим точку А1. Из каждой вершины пятиугольника повторим описанное построение, опустив серединный перпендикуляр к каждой стороне пятиугольника. Проведем из центра О окружность радиусом О-А1 и на пересечении этой окружности с построенными прямыми, проходящими через вершины пятиугольника и центр О, получим точки А2, A3, А4, А5. 
  
Выберем циркульный радиус R, равный длине стороны построенного правильного пятиугольника. Проведем фрагменты циркульных дуг радиусом R, выбирая последовательно в качестве центров дуг точки А1, А2, A3, А4, А5, а также каждую из вершин равностороннего пятиугольника. На пересечении дуг получим точки, являющиеся вершинами конгруэнтных пятиугольников. 
Вторично выполнив описанное построение, получим аналогичную вторую половину выкройки. 
Из двух частей-разверток можно собрать макет сложного многогранника. Делая выкройку, учитывайте необходимые монтажные элементы - клапаны для склеивания. По линиям складок на выкройках макетным ножом выполняются надрезы на лицевой поверхности листа. 
Построение развертки правильного двадцатигранника - икосаэдра. 
Макет икосаэдра можно собрать по разверткам, вычерченным двумя способами (рис 13). 
 
Рис. 13

  
В первом варианте развертка икосаэдра состоит из трех параллельных полос равносторонних треугольников: десять фигур в центральной полосе и по пять таких же геометрических фигур в крайних полосах. В центральной «цепочке» равносторонние треугольники имеют общие боковые стороны, исключение составляют первая и последняя фигуры этого ряда, сохраняющие по одной боковой стороне, не состыкованной с другими треугольными элементами. Каждый из десяти равносторонних треугольников, лежащих по обе стороны от центральной «цепочки», имеют по одной общей стороне с фигурами центрального ряда. 
  
Во втором варианте в чертеже развертки икосаэдра дважды использована схема деления вспомогательной окружности на шесть равных частей. Вершины вписанных в окружности правильных шестиугольников соединены отрезками прямых с центрами своих окружностей, и по пять из каждых шести вершин последовательно соединяются между собой равными отрезками. Получаются развертки двух правильных пятигранных пирамид «основания» и «верхушки» икосаэдра. 
  
Центральная часть развертки двадцатигранника - «лента», состоящая из десяти равносторонних треугольников, длина стороны каждого из которых равна длине стороны, вписанного во вспомогательную окружность шестигранника. 
  
Развертки пирамид «верхушки» и «основания» двадцатигранника имеют по одному общему отрезку с равносторонними треугольными элементами центрального ряда. 
  
Развертки сложных многогранных объемов должны быть выполнены максимально качественно. Равные отрезки сторон треугольников точнее откладывать не по линейке, а при помощи циркуля: раствор циркуля должен соответствовать длине стороны равностороннего треугольника. 
  
Развертки икосаэдров дополнены клапанами для склеивания частей. Стороны смежных между собой фигур и отрезков, граничащих с полосками-клапанами, надрезают макетным ножом. Выкройки вырезают по контуру. Макет икосаэдра собирают, последовательно подклеивая при помощи клея ПВА клапаны к изнаночной стороне многогранного объема. 

  
Самостоятельная работа 
  
Упражнение 1. Изготовление макетов сложных правильных многогранников. 
а)  Макет додекаэдра.
б)  Макет икосаэдра. 
в)  Макет невыпуклого «звездчатого» объема на базе сложного правильного многогранника. 
Цель задания. Научиться выполнять макеты сложных правильных многогранников. 
Методические указания. Длина сторон многогранников выбирается произвольно, но не менее 30 мм, учитывая то обстоятельство, что чем мельче детали модели, тем сложнее выполнить макет качественно. Способы изготовления разверток были описаны выше. 
  
При изготовлении макета «звездчатого» выпукло-вогнутого многогранника, вначале собирается по выкройке однотонный правильный многогранник, а затем выполняется набор одинаковых пирамид, плоскость основания которых должна соответствовать грани центрального многогранного объема. Количество пирамид равняется количеству граней выбранного правильного многогранника. 

С целью выявления ажурности модели на ее гранях возможно выполнить прорези-«окошки» соответствующие заданной геометрии грани (рис. 14, 15). Такое решение требует внесения необходимых дополнений в чертежи разверток. 

 
Рис.14 

 
Рис.15

Макеты могут выполняться как однотонными, так и многоцветными. Цветными полосами бумаги могут быть «подчеркнуты» ребра многогранников. Отдельными накладными равносторонними пятиугольными элементами возможно оформить грани додекаэдра, а равносторонними треугольными элементами - икосаэдра. 

При введении в макет цвета не следует забывать общее правило: насыщенный, «агрессивный» цвет отвлекает зрительское восприятие от цельности объема.  Многогранники оригами

ПРИЛОЖЕНИЯ

Рис.4 Рис.5