Контрольная работа по теории вероятностей и статистике
Тема: «Графы, вероятности, множества, комбинаторика»
Назначение работы:
Данная контрольная работа предназначена для проверки знаний, умений и навыков учащихся по ключевым разделам стохастической линии: классическое определение вероятности, операции над событиями (сумма и произведение), правило сложения вероятностей, условная вероятность, элементы комбинаторики при подсчете вероятностей, а также умение визуализировать вероятностные процессы с помощью графов (деревьев вариантов).
Работа представлена в двух вариантах одинаковой сложности (Вариант 1 и Вариант 2), что позволяет обеспечить индивидуальный подход и объективность оценивания. Каждый вариант состоит из пяти заданий, охватывающих различные аспекты изучаемой темы.
Структура и содержание заданий:
Задание 1 направлено на понимание логики вероятностных пространств и умение находить вероятность интервала (значения «ровно»). Учащимся необходимо проанализировать вероятности событий «решил больше N задач» и применить правило нахождения вероятности разности событий. Это задание развивает аналитическое мышление и аккуратность в работе с условиями «больше» и «меньше».
Задание 2 посвящено одному из базовых правил теории вероятностей — нахождению вероятности противоположного события. Задача проверяет понимание того, что сумма вероятностей события и его дополнения всегда равна единице. Это простое, но фундаментальное умение необходимо для решения более сложных задач.
Задание 3 относится к классической комбинаторике и вероятности. В задаче с многократным бросанием симметричной монеты проверяется умение строить вероятностное пространство равновозможных исходов (по правилу умножения) и вычислять вероятность события. В первом варианте это строгое количество (ровно два орла), во втором — неравенство (более двух раз), что требует дополнительного анализа благоприятствующих исходов.
Задание 4 иллюстрирует применение формулы сложения вероятностей для двух совместных событий. На примере с кофейными автоматами учащиеся должны понять разницу между вероятностью каждого отдельного события, вероятностью их пересечения (кофе закончился в обоих) и уметь находить вероятность общего объединения событий. Логическим завершением задачи является переход к событию «кофе остался», то есть снова применение правила противоположного события.
Задание 5 является комплексным и обязательным для иллюстрации темы «Графы». Оно требует от учащихся не просто вычислить вероятность по формуле полной вероятности, но и визуализировать процесс с помощью построения дерева вариантов (дерева вероятностей). На дереве необходимо отобразить доли продукции каждой фабрики (первый уровень) и проценты брака/качества (второй уровень). Это задание проверяет умение структурировать информацию, работать с условными вероятностями и вычислять итоговую вероятность сложного события (покупка бракованного или качественного стекла).
Методические рекомендации по выполнению:
При решении заданий необходимо четко обосновывать свои действия. К заданию 5 обязательно должно быть приложено схематичное изображение дерева, на ветвях которого подписаны соответствующие вероятности. Ответы должны быть представлены в виде десятичных дробей.
Критерии оценивания:
Оценка «5» (отлично) ставится за верное выполнение всех пяти заданий с полным и развернутым обоснованием хода решения, особенно при построении дерева.
Оценка «4» (хорошо) ставится, если правильно решены 4 задания, или допущена одна негрубая вычислительная ошибка при верном логическом ходе во всех задачах.
Оценка «3» (удовлетворительно) ставится за любые 3 верно решенные задачи.
Оценка «2» (неудовлетворительно) ставится, если выполнено менее трех заданий.
Контрольная работа рассчитана на один академический час (40-45 минут). Она позволяет выявить уровень усвоения материала и подготовленность учащихся к решению практических вероятностных задач.
