Конспет:"Квадратные уравнения"

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики древнего Египта. Вавилоняне умели решать неполные квадратные уравнения, так же частные виды полных квадратных уравнений около 2 тысяч лет до нашей эры. Древнегреческие математикиумели решать некоторые виды квадратных уравнений, сводя их к геометрическим построениям. Примеры решения уравнений без использования геометрических знаний дает Диофант Александрийский (3 век). Диофант в своих книгах «Арифметика» изложил способ решения полных квадратных уравнений, однако эти книги не сохранились. В Европе формулы для решения квадратных уравнений были впервые изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году.

Общее правило решения квадратных уравнений, преобразованных в вид х² + bх = с, было описано немецким математиком М. Штифелем. Он и сформулировал в 1544 году общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду 
х² + bх + с = 0 при всевозможных вариациях знаков и коэффициентов b и с.

Франсуа Виет вывел формулы квадратного уравнения в общем виде, однако он работал только с положительными числами.

Тарталья, Кардано, Бомбелли – итальянские ученые, которые среди первых в XVI веке учитывают кроме положительных еще и отрицательные корни.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Одно свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).

После трудов нидерландского математика Альберта Жирара, а также Декарта и Ньютона, методы решения квадратных уравнений приняли современный вид.

Квадратные уравнения

1. Вспомним уже знакомые способы решения и исследования квадратных уравнений:

• выделение полного квадрата;

• по формуле корней для квадратного уравнения;

• по теореме Виета;

• на основании свойств квадратичной функции.

В процессе решения уравнений необходимо следить за множеством допустимых значений неизвестного, т.к. оно может изменяться. В случае его расширения следует проверять найденное решение, не является ли оно посторонним для данного уравнения. В случае, если произошло сужение, необходимо убедиться, не являются ли потерянные значения неизвестных решениями данного уравнения. Процесс нахождения выпавших решений не всегда легко выполним, поэтому желательно избегать сужение множества допустимых значений неизвестных уравнения.

2. Типичные ошибки при решении уравнений.

По  правилам можно преобразовывать исходное уравнение в равносильное ему, при этом, вы знаете, что: обе части уравнения можно делить или умножать на одно и то же, отличное от нуля, число.

1) Если уравнение имеет вид f(х) · g(х) = p(х) · g(х), то деление обеих частей на одинаковый множитель g(x), как правило, недопустимо. Данное действие может привести к потере корней: могут быть потеряны корни уравнения g(х) = 0, если ни существуют.

Пример 1.

Решить уравнение 2(х – 3) = (х – 3)(х + 5).

Решение.

Здесь нельзя сокращать на множитель (х – 3).

2(х – 3) – (х – 3)(х + 5) = 0, вынесем общую скобку:

(х – 3)(-х – 3) = 0, теперь

х – 3 = 0 или -х – 3 = 0;

х = 3 или х = -3.

Ответ: -3; 3.

2) Уравнение вида f(х) / g(х) = 0 можно заменить системой:

{f(x) = 0,
{g(x) ≠ 0.

Она равносильна исходному уравнению.

Или можно решить уравнение f(x) = 0, а уже затем исключить найденных корней те, которые обращают в нуль знаменатель g(x).

Встречаются дробно-рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

Пример 2.

Решить уравнение: (х + 3) / (х – 3) + (х – 3) / (х + 3) = 10/3 + 36/(х – 3)(х + 3).

Решение.

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель и заменив исходное уравнение целым, получим равносильную систему:

{3(х + 3)² + 3(х – 3)² = 10(х – 3)(х + 3) + 3 · 36;
{(х – 3)(х +3) ≠ 0.

В результате получим два корня: х = 3 или х = -3, но х ≠ 3 и х ≠ -3.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 3.

Решить уравнение: (х + 5)(х² + 4х - 5)/(х + 5)(х + 2) = 0.

Решение.

Часто ограничиваются таким решением:

(х² + 4х – 5) / (х + 2) = 0.
{х = -5, х = 1,
{х ≠ -2.

Ответ: -5; 1.

Правильный ответ: 1.

Пример 4.

При выполнении распространенных заданий на исследование квадратного уравнения следующего вида: «Не вычисляя действительных корней х₁ и х₂ уравнения 2х² + 3х + 2 = 0, найти значение х₁² + х₂²» банальная невнимательность приводит к грубой ошибке.

Действительно, по теореме Виета,

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² – х₁х₂ = (-3/2)² – 2 · 1 = 1/4.

Однако, теоремой можно было воспользоваться при существовании действительных корней. В данном примере D

Ответ: значение х₁² + х₂² не существует.

Пример 5.

Вычислить отрицательный коэффициент b и корни уравнения х² + bх – 1 = 0, если с увеличением каждого из этих корней на единицу они становятся корнями уравнения х² – b²х – b = 0.

Решение.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения х² + bх – 1 = 0. Тогда по т. Виета

х₁ + х₂ = -b и х₁х₂ = -1 (*). С другой стороны, по условию

(х₁ + 1) + (х₂ + 1) = b² и (х₁ + 1)(х₂ + 1) = -b.

Перепишем:

х₁ + х₂ = b² – 2 и (х₁ + 1)(х₂ + 1) = -b.

Теперь, учитывая условия (*), получим b² – 2 = -b, следовательно,

b₁ = -2, b₂ = 1. По условию подходит b₁ = -2.

Значит, исходное уравнение имеет вид х² – 2х – 1 = 0, корнями являются числа х_1,2 = 1 ± √2.

Ответ: b₁ = -2, х_1,2 = 1 ± √2.

Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения

Уравнения вида ах⁴ + bх² + c = 0, где а ≠ 0, называются биквадратными уравнениями с одной переменной.

Для решения биквадратного уравнения нужно сделать подстановку х² = t, найти корни t₁ и t₂ квадратного уравнения аt² + bt + c = 0 и решить уравнения х² = t₁ и х² = t₂. Они имеют решения лишь в случае, когда  t_1,2 ≥ 0.

Пример 1.

Решить уравнение х⁴ + 5х² – 36 = 0.

Решение.

Подстановка: х² = t.

t² + 5t – 36 = 0. По т. Виета t₁ = -9 и t₂ = 4.

х² = -9 или х² = 4.

Ответ: В первом уравнении корней нет, из второго: х = ±2.

Пример 2.

Решить уравнение (2х – 1)⁴ – 25(2х – 1)² + 144 = 0.

Решение.

Подстановка: (2х – 1)² = t.

t² – 25t + 144 = 0. По т. Виета t₁ = 9 и t₂ = 16.

(2х – 1)² = 9 или (2х – 1)² = 16.

2х – 1 = ±3 или 2х – 1 = ±4.

Из первого уравнения два корня: х = 2 и х = -1, из второго тоже: х = 2,5 и х = -1,5.

Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.

Таким образом, процесс решения любых уравнений состоит в последовательной замене данного уравнения другим, равносильным ему и более простым уравнением.