Конспект урока математики в 10 классе "Однородные тригонометрические уравнения второй степени"

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.

(УМК А.Г. Мордковича и др. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс

М. «Мнемозина»,2013 года)

Тип урока: ОНЗ.

Тема урока: Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Учитель: Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.

Цели:

• ввести определение однородного тригонометрического уравнения второй степени; вывести алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.

• повторить и закрепить навык решения простейших тригонометрических уравнений; тренировать вычислительные навыки.

• развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.

Д

1. 2 tg² t – 5tg t +2 = 0

2. 2sin x – 3 cos x = 0

3. (sin x - ) (sin x + 1) = 0

4. sin 2x + cos 2x = 0

5. sin² x – 3 sinхcos x + 2 cos² x = 0

6. sin x + cos x = 2

a≠0 b≠0

емонстрационный материал:

Разделить обе части уравнения на cos x

Решить уравнение

a tg x +b = 0

Если a≠0 c≠0

Разделить обе части уравнения

на cos² x

Решить полученное уравнение, введя замену Z = tg x

Если а = 0 или с=0

Решить полученное уравнение методом разложения на множители

Если a≠0 c≠0

Разделить обе части уравнения

на cos² mx

Решить полученное уравнение, введя замену

Z = tg m x

Раздаточный материал:

Группа 1: Решить уравнение: sin² x + 2 sin х cos x - 3 cos² x = 0

Группа 2: Решить уравнение: sin² x - 4 sin х cos x + 3 cos² x = 0

Группа 3: Решить уравнение: sin² x + sin х cos x = 0

Группа 4: Решить уравнение: sin х cos x + cos² x = 0

Группа 5: Решить уравнение: 2sin² 2x - 5 sin 2х cos 2x + 2 cos² 2x = 0

Решить уравнения:

1) 3 sin² x + sin x cos x = 2 cos² x

2) cos²x = sinx cosx

3)* 3sin²3x +10sin3xcos3x +3 cos²3x = 0

Ход урока.

1. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности(«надо»).

2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»)

3) Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность(«хочу»)

- Чем занимались на прошлом уроке? (Решали простейшие тригонометрические уравнения; уравнения методом замены, разложением на множители, однородные уравнения первой степени.)

- Всё получалось? (Нет, но мы повторяли алгоритм решения таких уравнений, исправляли ошибки.)

- Какое предположение вы сделали в конце прошлого урока? (Что существуют более сложные виды тригонометрических уравнений и мы их сможем решить.)

- С чего начнём? (Повторим алгоритмы решения известных нам уравнений.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.

6) Мотивировать к пробному действию («надо» - «могу» - «хочу»).

7) Организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

-Решите уравнения:

Sin x =0 sin x = 1

Cos x =0 cos x = 1

tg x = 0 tg x = 1

ctg x = 0 sin x = - 1

Среди предложенных уравнений укажите:

1. 2 tg² t – 5tg t +2 = 0

2. 2sin x – 3 cos x = 0 1) уравнения, которые решаются

3. (sin x - ) (sin x + 1) = 0 методом замены; (1)

4. sin 2x + cos 2x = 0 2) уравнения, которые решаются

5. sin² x – 3 sinхcos x + 2 cos² x = 0 методом разложения на

множители (3)

6. sin x + cos x = 2 3) однородные тригонометрические

уравнения 1 степени (2,4)

- Сформулируйте алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой степени.

Учащиеся формулируют алгоритм. Алгоритм пошагово появляется на доске.

Оформление доски:

a≠0 b≠0

Разделить обе части уравнения на cos x

Решить уравнение

a tg x +b = 0

- Найдите среди предложенных уравнений, то которое будет пробным.

( №5)

- Рассмотрим его, чем оно отличается от остальных ? (Все одночлены в левой части – второй степени.)

- Уравнения вида а sin² x + b sin х cos x + c cos² x = 0

Называются однородными второй степени. Способ таких уравнений вам известен? (Нет.)

- Попробуйте решить уравнение № 5.

Учащиеся выполняют пробное действие.

-Удалось найти верный ответ? В чём затруднение?

(Нет, не удалось; решил, но не могу обосновать решение.)

3.Выявление места и причин затруднения.

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)

4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– В чём причина затруднения? (Мы не знаем алгоритма решения таких уравнений.)

Были ли уравнения

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.

3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)

4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

-Какова цель урока? (Составить алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Какова тема урока? (Однородные уравнения второй степени.)

- Запишите тему в тетрадь.

-Какие приёмы вы предлагаете использовать для конструирования алгоритма? (Деление обеих частей уравнения на cos² x.)

Оформление доски

Если a≠0 c≠0

Если а = 0 или с=0

1.Разделить обе части уравнения

на cos² x

1.Решить полученное уравнение методом разложения на множители

2.Решить полученное уравнение, введя замену Z = tg x

- Как решить уравнение вида: а sin² mx + b sin cos mx + c cos² mx = 0

Оформление доски:

Если a≠0 c≠0

Разделить обе части уравнения

на cos² mx

Решить полученное уравнение, введя замену Z = tg m x

- Для выполнения построенного плана предлагаю объединиться в группы и решить задания:

Группа 1: Решить уравнение: sin² x + 2 sin х cos x - 3 cos² x = 0

Ответ:

Группа 2: Решить уравнение: sin² x - 4 sin х cos x + 3 cos² x = 0

Ответ:

Группа 3: Решить уравнение: sin² x + sin х cos x = 0

Ответ: -

Группа 4: Решить уравнение: sin х cos x + cos² x = 0

Ответ:

О

Группа 5: Решить уравнение: 2sin² 2x - 5 sin 2х cos 2x + 2 cos² 2x = 0

твет: , .

Учащиеся работают в группах. Записывают решение на заготовках для кодоскопа. Проверка через кодоскоп..

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

-Решим № 364 (в) проговаривая все этапы алгоритма.

Оформление доски:

sin² x + sin х cos x - 2 cos² x = 0 a≠0 c≠0

(Разделить обе части уравнения на cos² x)

tg ²x + tg x - 2=0

Z² + Z – 2 = 0 (Решим полученное квадратное уравнение)

Z₁= 1 Z₂ = -2

(Вернёмся к замене)

tg x = 1 или tg x = -2 ( Решим простейшие тригонометрические

уравнения).

х = , х = - (Запишем ответ уравнения).

ответ: х = , х = -

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) Организовать соотнесение работы с подробным образцом;

3) Организовать вербальное сопоставление работы с подробным образцом;

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

Самостоятельная работа

Решить уравнения:

1) 3 sin² x + sin x cos x = 2 cos² x

2) cos²x = sinx cosx

3)* 3sin²3x +10sin3xcos3x +3 cos²3x = 0

-Время на выполнение задания вышло. Проверьте свою работу по подробному образцу.

- С какого шага начнём проверку ( Проверим, чему равны коэффициенты.)

-Следующий шаг проверки ? (Разделить обе части уравнения на cos².)

- Дальше?(Вввести замену Z = tg x и решить полученное квадратное уравнение.)

-Следующий шаг проверки ? (Вернёмся к замене и решим простейшие тригонометрические уравнения.)

-Последний шаг проверки? (Проверка правильности записи ответа уравнения.)

- Кто ошибся при определении коэффициентов?

- Кто допустил ошибки при делении обеих частей уравнения на cos²?

- Кто неверно решил кв. уравнение?

- Кто неверно решил простейшее тригонометрическое уравнение?

8.Включение в систему знаний и повторение.

1) Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

-Рассмотрите уравнение. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени? (Нет.)

-А можно его привести к такому виду? (Да.)

- Что для этого нужно сделать? ( По основному тригонометрическому тождеству заменить 1 на sin² x + cos² x привести подобные слагаемые.)

- Решите это уравнение. (Ответ: х = -)

- Как вы думаете, а существуют другие виды тригонометрических уравнений? (Конечно.)

- Что может нам помочь в решении новых видов уравнений? (Тригонометрические формулы, которые мы знаем.)

-А много ли тригонометрических формул вы знаете?(Пока нет.)

-Сделайте предположение, что вы узнаете на следующих уроках? (Новые тригонометрические формулы.)

9. Рефлексия учебной деятельности.

1) Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения.

3) Выполнения требований, известных учащимся.

4) Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.

5) Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

- Что нового узнали на уроке? (Новый вид тригонометрического уравнения, способ его решения.)

- Достигли цель, поставленную в начале урока? (Да.)

- Почему? (Мы составили алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Где может пригодиться новое знание? (При решении более сложных тригонометрических уравнений.)

- Как вы оцените свою работу на уроке?

-Для чего нам необходимо выполнять домашнее задание? (Чтобы закрепить умение решать данный вид уравнений.)

- Предлагаю записать домашнее задание: № 363(г), № 362 (бв), дополнительно: №378.