Конспект урока "Применение интегралов для решения физических задач"

Конспект урока по теме «Применение интегралов для решения физических задач».

Преподавание по учебнику: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М., 2010.— 336 с.

Цели:

• закрепить умение находить площади фигур с помощью интегралов, показать использование интегралов на ЕГЭ;

• познакомить с применением интегралов для решения физических задач;

• развивать навыки применения анализа, синтеза, обобщения, умения делать выводы, развивать сообразительность, наблюдательность;

• формировать уверенность в своих силах, активность, сознательное отношение к учебе, умение работать в группе.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания и актуализация знаний.

А) 1 ученик у доски находит площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin x, y = 2sin x, x = 0, x = .

S₁ = dx = = + = 2

S₂ = dx = dx = = + 1

S = S₁ + S₂ = 3 –

Б) 2 ученик у доски находит площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = .

S_ABCD = dx = = 4

S_ABE = · 1 · 1 =

S_ECD = · 2 · 2 =

S = 4 2 = 2

В) класс решает задания из ЕГЭ.

1) На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) – F(3) , где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Ответ: 3

2) На ри­сун­ке изображен гра­фик некоторой функ­ции y = f(x). Поль­зу­ясь рисунком, вы­чис­ли­те определенный ин­те­грал

Ответ: 12

3) На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция  — одна из первообразных функции f(x) . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 8

4) На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x).

Функция   — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 12

2. Решение упражнений по теме «Вычисление площадей фигур с помощью интеграла». Работа в группах.

1 группа: На клетчатой бумаге изображена парабола у = 4х – х² и прямая, проходящая через точки А(1;3) и В(4;0) . Вычислите S_OAM , S_MAB , S_фиг .

2 группа: На рисунке изображена парабола у = 4х – х² и прямая у = х + 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной а)параболой и осью Ох; б)параболой и прямой; в)параболой, прямой и осью Ох.

3 группа: Запишите уравнение прямой АВ в виде у = kx + b, если А(1;3) и В(4;0). Найдите абсциссы х₁ и х₂ точек пересечения параболы у = 4х – х² и найденной прямой. Вычислите . Площадь какой фигуры вы нашли? Сделайте чертеж на доске.

Затем результаты работы учащиеся записывают на доске:

В ходе обсуждения выполнения заданий учащиеся приходят к выводу, что решали одну задачу, но разными способами. Обращают внимание, что площадь треугольника быстрее находить с использованием формулы S = ab.

1. Изучение нового материала.

Материал излагают подготовленные учащиеся.

• Скорость движения тела задается уравнением = 3 + 2t – 1 (м/с). Найдите путь, пройденный телом за 20 с от начала движения.

S = + 2t – 1)dt = ₀¹⁰ = 1000 + 100 – 10 = 1090(м)

• Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось со скоростью = 6 + 2t (м/с), другое = 4t + 5 (м/с). На каком расстоянии они будут друг от друга через 5с?

S₁ = dt = 250 + 25 = 275(м)

S₂ = 4t + 5)dt = 50 + 25 = 75(м)

S = 275 – 75 = 200(м)

• Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы в 60Н. Какую работу производит сила, растягивая пружину на 0,12м?

По законy Гука F = kx, k = , k = 60 : 0,02 = 3000(н/м). F = 3000x.

A = = 1500 · 0,0144 = 21,6(Дж)

1. Закрепление.

Учащиеся комментируют с мест решение заданий № 33 и № 34.

1) S = = ₀⁴ = 64 + 4 = 68(м)

2) S = dt = 18 + 4,5 = 22 = 21 (м)

3) S = dt = 27 + 12 – 12 – 8 = 19(м)

4) S = – t + 3)dt = + 15 = + = = 44(м)

Остановка произойдет, когда скорость станет равна 0, т. е. 4 = 0, t = 4.

S = dt = 32 = 10 (м)

5. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Наш урок подходит к концу. Пора подводить итоги. Чем мы занимались сегодня на уроке?

Находили площади фигур с помощью интеграла.

С каким новым применением интеграла вы познакомились сегодня?

Мы применяли интеграл для решения физических задач.

Какие задачи мы рассмотрели?

Нахождение пути по заданной скорости.

Вычисление работы переменной силы.

На следующем уроке алгебры мы обобщим знания по теме «Первообразная и интеграл», но с интегралами мы еще встретимся на уроках геометрии при вычислении объемов тел.

Домашнее задание:

1.Повторить теоретический материал главы IV.

2.Составить таблицу применения интегралов.

3. Составить задачи на вычисление работы переменной силы и нахождение пути.