Конспект урока на тему:«ВИЕТ ТЕОРЕМАСЫ»

ТАҚЫРЫБЫ: ВИЕТ ТЕОРЕМАСЫ

МАҚСАТЫ:

оқушыларды Виет теоремасымен таныстыру,оның тиімділігін көрсету және оны пайдалана отырып, кез келген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін теңдеудің коэффициенттері арқылы өрнектеуге үйрету.

МІНДЕТТЕРІ :

білімділік: Виет теоремасын тұжырымдауға, дәлелдеуге үйрету,оны пайдаланып, квадрат теңдеудің түбірлерінің таңбасын анықтауға, түбірлері бойынша квадрат теңдеу құруға баулу;
дамытушылық: оқушылардың ойлау қабілеттерін арттыру,танымдық белсенділігін, ізденімпаздығын, ой-өрісін,есте сақтау қабілетін дамыту,квадрат теңдеулерді Виет теоремасымен шешу дағдысын қалыптастыру;
тәрбиелік: оқушылардың білімге деген қызығушылықтарын арттыру,  өздігінен  жеке және шығармашылықпен жұмыс істеуге тәрбиелеу.

ТИПІ: аралас

ТҮРІ:дәстүрлі сабақ
ӘДІСТЕРІ:түсіндірмелі – көрнекілік, талдау, оқулықпен жұмыс, сұрақ -жауап,зерттеу жұмысы, тест тапсырмалары,шығармашылық жұмыс

КӨРНЕКІЛІГІ:слайдтар,таблицалар

ТЕХНИКАЛЫҚ ҚҰРАЛ: компьютер, интерактивті тақта, телеэпипроектор,электронды оқулық

Сабақтың барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.Оқушылармен амандасу, оларды түгелдеу, сабаққа дайындығын тексеру, сабақтың мақсатын айту.

ІІ.Үй тапсырмасын тексеру.

а) шығармашылық тапсырма

б) ауызша қайталау есептері

ІІІ.Жаңа тақырып түсіндіру

а) слайд қолдану

б) тарихи мәлімет

ІҮ.Жаңа тақырып бекіту

а) Виет теоремасына ауызша есептер шығару

б) оқулықпен жұмыс

в)электронды оқулықтан тест тапсырмаларын орындау

Ү.Қорытындылау.

ҮІ.Үйге тапсырма беру

ҮІІ.Бағалау.

Сабақтың барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі
Оқушылармен амандасып, сыныпты түгелдеймін.Сабақтың мақсатын айтып, оқушылардың дайындығын тексеремін.
- Ерте, ерте, ертеде, ескі бір қалада аты елге танылған, атағы дүйім жұртқа белгілі, данышпан, ақылгөй өмір сүріпті. Дәл осы қалада ақылгөйдің даналығын көре алмаған бір қатыгез адам тұрыпты.
Күндердің бір күнінде әлгі қатыгез адам данагөйді елге күлкі қылмақ болып амал ойлапты. Сөйтіп, ол көгалдан бір көбелек ұстап алады да, осыны данышпанға алып барып, қолымдағы зат тірі ме, өлі ме? – деп сұрайды. Егер ол өлі десе, ұшырып жібере салайын, ал тірі десе, сәл мыжып өлтіре салайын деп ойлайды. Осы оймен данагөйдің алдына келгенінде әлгі данагөй оған ойланып қарап тұрып: «Бәрі де өз қолыңда!» деген екен.
Ендеше, балалар, бүгінгі сабақта жетістікке жетуде сендердің өз қолдарыңда.
Мен сендерге сәттілік тілеймін!

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру

Үйге берілген тапсырма бойынша есептеріңді тексеріп жіберейік.

• Шығармашылық тапсырма:

1, 2 және 3 теңдеулерді бірнеше тәсілмен шығарып келу:

1.х² = 4х - 3; 2. х² – 10х = - 24; 3. х² + 8х - 9 = 0;

4. 5х² = 3х ; 5. х² – 9 = 0;

1.х² = 4х - 3;

Шешуі:

І тәсіл.

х² – 4х + 3 = 0;

х² – 3х – х + 3 = 0, х(х - 3) – (х - 3)= 0, (х - 1)(х - 3) = 0, х₁= 1,х₂= 3

ІІ тәсіл.

х² – 4х + 3 = 0;

(х² – 4х + 4) – 1 = 0, (х - 2)² – 1 = 0, (х - 2)²= 1, х – 2 = - 1, х – 2 =1

х₁ = 1 х₂ = 3

ІІІ тәсіл.

х² – 4х + 3 = 0;

D(-4)² - 4∙ 1∙ 3 = 4, = 1 , = 3. Жауабы: 1 және 3

2.х² – 10х = - 24;

Шешуі:

І тәсіл.

х² – 10х + 24 = 0;

х² – 4х – 6х + 24 = 0, х(х - 4) - 6(х - 4) = 0, (х - 4)(х - 6) = 0,х₁= 4,х₂= 6

ІІ тәсіл.

х² – 10х + 24 = 0;

(х² – 10х + 25) – 1 = 0, (х - 5)² – 1 = 0,(х - 5)²= 1, х – 5= - 1, х – 5 = 1

х₁= 4, х₂ = 6

ІІІ тәсіл.

D(-10)² - 4∙ 1∙ 24 = 4, = 4 , = 6. Жауабы: 4 және 6

3. х² + 8х - 9 = 0;

Шешуі:

І тәсіл.

х² + 8х - 9 = 0, х² + 9х – х - 9 = 0, х(х + 9) - (х + 9) = 0, (х + 9)(х - 1)= 0,

х₁= - 9, х₂ = 1

ІІ тәсіл.

х² + 8х - 9 = 0;

(х² + 8х +16) – 25 = 0, (х + 4)² – 25= 0, (х + 4)²= 25, х + 4 = - 5, х + 4 = 5

х₁= - 9, х₂ = 1

ІІІ тәсіл.

х² + 8х - 9 = 0;

D 4² - 1∙(- 9) = 25, = -9 , = 1. Жауабы: 1 және – 9

4.5х² = 3х ;

Шешуі: 5х² - 3х = 0, х(5х - 3) = 0, х₁= 0, х₂ = Жауабы: 0 және

5. х² – 9 = 0;

Шешуі: х² – 9 = 0, х²= 9,х₁ = - 3, х₂= 3Жауабы: - 3 және 3

• Ой қозғау, ауызша тапсырмалар орындау

Экранда көрсетілген ауызша тапсырмаларды орындайық.

1. Есептеңдер:

()² ; ² – 0,3;Жауаптары: 2; 0,6

1. Айнымалының мәнін тап:

= 9; 5 = 1; = 0;Жауаптары: 81; ;

1. Теңдеулерді шешіңдер:

у² = (+)(- ); ()²= 14;Жауаптары: -3 пен 3; 2

1. х-тің қандай мәнінде өрнектердің мағынасы бар болады?

; ; ;Жауаптары: х0; х≤ 0;

х – кез келген сан

1. Теңдеулердің түбірлерін тап:

(х - 3)(х + 12) = 0; (х + 8)(2х - 5)(х² + 25) = 0;

Жауаптары: 3 пен – 12; -8 бен 2,5

1. Толық емес квадрат теңдеулерді көрсетіңдер және жауабын түсіндіріңдер:

3х² + 7х – 6 = 0; 2х² – 11= 0; 15х – х² = 0; 7х² = 0; х² + 7 – 4х = 0;

4х² – 1 = 0; 3х – х² + 19 = 0

1. Алдыңғы тапсырмадағы толымды квадрат теңдеулердің бірінші және екінші коэффициенттерін, бос мүшесін көрсетіңдер.

2. (х + 4)² = 0 теңдеуінің неше шешімі бар?Жауабы: - 4;

3. (х + 3)² – 4 = 0 теңдеуінің неше шешімі бар?Жауабы: - 1; – 5;

4. Неліктен D0 болғанда квадрат теңдеудің түбірі болмайды?

ІΙΙ.Жаңа тақырып түсіндіру слайд арқылы

• - Алдыңғы сабақтарда біз жалпы түрдегі ах² + вх + с = 0,мұндағы а 0, квадрат теңдеуі түбірлерінің формуласымен таныстық. Жалпы квадрат теңдеу шешуінің қандай әдіс-тәсілдерін білеміз? Көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу, екімүшеліктің квадратын айыру тәсілімен шешу, формулаларды пайдалану.Енді бүгін тағы бір тәсілімен таныс боламыз. Мынадай зерттеу жұмысын жүргізейік. Үйге берілген теңдеулердің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табайық:

1. х² = 4х – 3;

Шешуі: х² – 4х + 3 = 0, = 1, = 3, х₁+ х₂ = 4, = 3;

2. х² – 10х = - 24;

Шешуі: х² – 10х + 24 = 0,= 4, = 6,+ = 10,= 24;

3. х² + 8х - 9 = 0 ;

Шешуі: = -9, = 1, + = - 8, = - 9;

4. 5х² = 3х;

Шешуі: 5х² - 3х= 0, х₁= 0, х₂ = , х₁ + х₂= , = 0;

5. х² – 9 = 0;

Шешуі: х₁ = - 3, х₂= 3, х₁ + = 0, = - 9.

• Қандай қорытынды жасауға болады? Не байқадыңдар?Теңдеу түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісі және оның коэффициенттері арасындағы тәуелділікті байқадыңдар ма?

Біз түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең екендігін көреміз.

Теорема. Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең болады.

Дәлелдеуі. Келтірілген квадрат теңдеуді қарастырайық.х² + рх + q = 0 теңдеуінің D дискриминанты p² – 4q-ге тең.D0 болсын дейік. Сонда бұл теңдеудің екі түбірі болады:

=және=. Түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісін табайық:

+ = + == -р;

= = =q;

Сонымен, + = - р; = q. Теорема дәлелденді.

Мысалы, х² + 3х – 40 = 0 теңдеуін шешейік.

Шешуі:

D3² - 4∙(- 40)= 169, = - 8 , = 5. Онда + = - 3 , ал = - 40 .

Дәлелденген теорема француздың атақты математигі Франсуа Виеттің есіміменВиет теоремасы деп аталады.

D0 болғанда, «Виет теоремасын қолдануға бола ма?» деген сұрақ туындайды.

х² + рх + q = 0 теңдеуінің D0 болғанда бірдей екі түбірі болады деп келісіп алатын болсақ,онда теорема осы жағдайда да тура болады:

х = - – ге тең деп алып,+ = - + = -р; ==q.

ах² + вх +с = 0 квадрат теңдеуінің түбірлері болсын дейік.Онда

+ = + = = -;

= = ;

Яғни, + = -;= .

Мысалы, 3х² – 5х + 2 = 0 теңдеуінің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табайық .

Шешуі:

D(-5)² - 4∙ 3∙ 2 = 1,= , = 1. Онда + = , ал = .

Сонымен, Виет теоремасы түбірлері бар кез келген квадрат теңдеу үшін орындалады.

Виет теоремасына кері теорема да дұрыс болады.

Теорема (Виет теоремасына кері теорема).

Егер екі санның қосындысы –р-ға, ал олардың көбейтіндісі q-ға тең болса, онда ол сандарх² + рх + q = 0 теңдеуініңтүбірлері болады.

Мысалы,егер 11 және - 2 сандары келтірілген квадрат теңдеудің түбірлері болса, онда квадрат теңдеуді құрайық.

Шешуі:

Квадрат теңдеуді құру үшін, алдымен, = 11 және = - 2 түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табайық. Сонда + =9,= - 22. Виет теоремасы бойынша келтірілген квадрат теңдеудің екінші коэффициенті түбірлердің қосындысына қарама-қарсы сан, ал бос мүше түбірлердің көбейтіндісіне тең екенін ескеріп, р = 9 және q= - 22 аламыз. Сонда

х² – 9х – 22= 0 келтірілген квадрат теңдеуі шығады.

Квадрат теңдеуінің түбірлерін іріктеп алу арқылы да табуға болады. Мысалы, х² – х - 12= 0 теңдеуінен түбірлерінің қосындысы 1-ге, ал түбірлерінің көбейтіндісі – 12-ге тең екенін көреміз..Егер бұл сандар бүтін сандар болса, онда -12 санының бөлгіштерінің арасынан қосындысы 1-ге тең болатын сандар: = - 3 , = 4 болатынын аңғару оңай.

Енді француз математигі Франсуа Виет туралы тарихи мәлімет тыңдап жіберейік.

• Тарихи мәлімет:
  Әріпті өрнекті енгізген ХҮІ ғасырдың көрнекті математигі Франсуа Виет (1540 – 1603) өзінің алгебралық ойларын «аналитикалық шеберлікке кіріспе» шығарма- сында жазған. Онда алгебраны математикалық есептеу әдісіне айналдыруды ұсынған Виет: «Барлық математик ғалымдар алгебрада тендесі жоқ қазына бар екенін білген, бірақ қазынаны қалай табуды білмеді. Олардың неғұрлым күрделі деп тапқан есептері біздің шеберлік арқылы оңай шешіледі», — деп жазған. «Бастапқы шамалар А әрпімен немесе басқа дауысты дыбыстармен E, I, O, U, ал берілгендерді B, D, G немесе басқа дауыссыз дыбыстармен белгілейік» деп ұсыныс жасаған да Виет еді. Олсанды әріппен белгілеген ғалымдардың алғашқыларының бірі болды, бұлай белгілеу теңдеулер теориясын айтарлықтай дамытты.
  
  ΙҮ. Жаңа тақырыпты бекіту

• Виет теоремасының қолданылуына бірнеше ауызша есептер шығару:

1. Теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табыңдар:

х² + х – 56=0; х² - 19х + 88=0; 3х² - 4х – 4 =0;

Жауабы: - 1; - 56 Жауабы: 19; 88 Жауабы: 4; - 4

1. Түбірлері берілген сандар болатын теңдеуді құр:

2 және 5; - 1 және 3;

Жауабы:х² – 7х + 10 = 0; Жауабы: х² – 2х - 3 = 0;

1. Квадрат теңдеудің түбірлерін іріктеп алу арқылы тап:

х² – 9х + 20 = 0; х² – 5х + 6 = 0;

Жауабы: 4 пен 5; Жауабы: 2 мен 3;

1. Түбірлерінің таңбасын анықта:

х² + 9х - 22 = 0; ; х² - 6х + 5 = 0; х² – 20х - 300 = 0; х² + 20х + 19 = 0;

• Оқулықпен жұмыс: № 147(1,3,5), №148 (1,3), №155(1), № 156 (3)

№ 147 (1,3,5) Түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісін табыңдар:

1. х² – 6х + 8 = 0;

Шешуі: + = 6; =8;Жауабы: + = 6; =8;

1. х² + 2х - 3 = 0;

Шешуі:+ = - 2; =- 3;Жауабы: + = - 2; =- 3;

1. х² – 6х + 5 = 0;

Шешуі: + = 6; =5; Жауабы: + = 6; =5;

№148 (1,3) Белгілі түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңдар:

1. 2 және 3;

Шешуі: + = 5; =6, онда х² – 5х + 6 = 0; Жауабы: х² – 5х + 6 = 0;

1. 5 және 3;

Шешуі: + = 8; =15, онда х² – 8х + 15 = 0;

Жауабы: х² – 8х + 15 = 0;

№155(1)

х² – 19х + 18 = 0 теңдеуінің бір түбірі 1-ге тең болса, онда екінші түбірін

табыңдар.

Шешуі: 1 + = 19, х₂= 19 – 1, х₂= 18. Жауабы: 18

№ 156(3) Берілген түбірлер бойынша квадрат теңдеу құрыңдар:

1. х₁= 2 және х₂= 3

Шешуі:+ = 5, =18, онда х² – 5х + 18= 0;

Жауабы: х² – 5х + 18 = 0.

• Электронды оқулықтағы тест тапсырмаларын орындау

Ү. Қорытындылау.

Біз нені білеміз?

Біз бүгін нені үйрендік ?

VІ.Үйге тапсырма беру
№ 151, №152, №154 есептерін шығару, ережелерді қайталау.

VІІ. Бағалау.