Конспект урока на тему "ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ"

Урок по теме «Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений с параметром»

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования.

Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Единый государственный экзамен-это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник.

Особое внимание при повторении материала по подготовке к экзамену следует обратить на задачи, содержащие параметр.

Учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Предлагаю план урока алгебры в 10 классе по повторению свойств квадратичной функции.

Образовательная цель: Совершенствовать навыки решения уравнений с параметром, используя свойство квадратичной функции. Развивающая цель: Развить исследовательскую и познавательную деятельность учащихся. Задачи урока:

• Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения;

• Научить применять полученные теоремы для решения задач с параметрами.

• Развивать творческую сторону мышления. Учить осуществлять исследовательскую деятельность

• Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

 

Ход урока

1. Информационный ввод.

Учитель сообщает тему занятия, цель.

«На предыдущем занятии мы с вами вспомнили свойства и график квадратичной функции. Сегодня, используя эти знания, мы посвятим наш урок уравнениям с параметром, и усилим проблему различными условиями для корней.»

 2. Актуализация ЗУН.

 Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратичной функции.

.

 Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,

•  если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,

•  если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),

•  если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

•  если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,

•  если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

•  абсцисса вершины параболы равна .

 Используя полученные знания, ответьте на вопросы.

Выберите вариант полученного ответа.

1. При каких значениях а парабола у = ах² – 2х +25 касается оси Х?

 а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

 2. При каких значениях k уравнение (k - 2)x² = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5; в) k=5, k= 2 .

 3.  При каких значениях k уравнение kx² – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?

 а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

 4.  При каких значениях а уравнение ax² - 6x+а = 0 имеет два различных корня?

 а) а ( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а ( - 3 ; 3) ; в) с ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

 Проверка исследовательской работы

На прошлом уроке каждая из групп получила задание на решение проблемы о взаимном расположении точки, лежащей на оси ОХ, нулей функции и коэффициентов квадратного трёхчлена. Поделитесь открытиями. Какая группа готова сформулировать свой вывод?

Представители каждой группы выходят к доске, демонстрируют график своей проблемы, записывают свою систему неравенств и формулируют вывод, объясняя, как они пришли к такому решению, учащиеся записывают результат в тетрадь.

(Предварительно учитель проверил результат работы каждой группы)

Рисунок 1 группы

 

 1 группа 2 группа 3 группа

Вывод: Оба корня квадратного уравнения больше заданного числа М если имеет место система

Вывод:. Оба корня квадратного уравнения меньше заданного числа М если имеет место система

Вывод: Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения если имеет место неравенство Af(M)

 Аналогично проходит защита других групп.

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

f (x)=ax²+bx+c, a≠0, x₁ и x₂ - нули функции y = f (x), причем , x₁ ≤ x₂ ;

x₀=-b/2a – абсцисса вершины параболы, являющейся её графиком.

Все данные заносятся в таблицу, на экране появляется слайд.

Закрепление материала

Используя, полученные знания, решить уравнения с условиями:

  1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х² + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= х² + (а + 1)х + 3.

f(2)

f(2)=4+2a+2+3=2a+9

2a

a

Ответ. aÎ(–¥;–4.5)

  2. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x²-3ax+2a=0 больше ½.

 Найди ошибку в решении. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x²-3ax+2a.

Решений нет.

 Ответ. Решений нет.

 3. Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²- 6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3.

 Найди ошибку в решении. Рассмотрим функцию f(x)= x²-6ax+(2-2a+9a²)

aÎ

 

Ответ. aÎ .

 4. Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше –1.

 Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x²+4ax+(1-2a+4a²).

aÎ

 Ответ. aÎ .

 5. Найдите сумму целых положительных значений параметра а, при которых решением неравенства (а-3)х²-4х+1≤ 0 является отрезок.

 Решение: Данное условие выполняется, если

aÎ

а=4+5+6=15.

 Ответ: 15.

Домашнее задание

1. Найти все значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6kx+(2-2k+9k²)=0 меньше 3.

2. Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения (1+a)x²–3ax+4a=0 больше1.

3. Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения x²+ax–1=0.