Конспект урока математики, презентация для урока 8 классе по теме:"Квадратные уравнения .Теорема Виета."

Через тернии к звездам

Алгебра 8 класс

учитель математики МБОУ-СОШ № 11 г.

Искитима Новосибирской области

высшей квалификационной категории

Овсянникова Татьяна Степановна

2014 год

Урок был проведён в рамках Дня открытых дверей (городское мероприятие). Общим девизом для всех уроков является девиз: «Я живу в России».

«Через тернии к звездам»

Тема: Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: Создать максимальные условия для проведения ценностно-эмоционального отношения учащихся к знаниям.

Задачи урока:

Образовательные: Систематизация и обобщение знаний по теме.

Воспитательные: Развитие чувства патриотизма средствами урока математики. Формирование ответственности перед коллективом, организованности, дисциплинированности, чувства долга, инициативы и творчества в учебном процессе.

Развивающие: Развитие познавательного интереса к предмету.

«Вступительное слово учителя»

Прежде чем объявить тему нашего урока, хочу напомнить что с 7-23 февраля 2014 г. В России походили Зимние Олимпийские игры.

Олимпийские игры являются крупными спортивными событиями, в которых тысячи спортсменов со всего мира соревнуются в различных видах спорта. К этим играм готовятся в течении 4-х лет . В итоге мы видим красивые танцы на льду, виртуозные выступления сноубордистов, захватывающие гонки биатлонистов и т.д.

Но за этим стоит ежедневная, многогодовая подготовка, тяжёлая и упорная работа.

Результаты Олимпиады- это достижения страны.

Ваши знания ребята- это достижения школы, а это будущие достижения России.

Для учителя высшая награда- это достижения его учеников. Школа всегда гордиться своими выпускниками. Про своих учеников ,добившихся успехов- мы говорим:»Зажглась ещё одна звёздочка» . Но как не лёгок бывает путь к победе. И учиться преодолевать трудности ребята начинают в школе при изучении различных разделов школьного курса.

Не исключение и математика. Так одним из разделов алгебры 8-го класса является изучение квадратных уравнений. Это очень важная тема.

Завершая учебный год проверим свои знания по данной теме.

Тема нашего урока:

Через тернии к звездам

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления - могучий источник желания знать, от удивления к знаниям – один шаг». А математика – замечательный предмет для удивления.

Мы совершим сегодня путешествие, которое в дальнейшем может оказаться одной из тропинок познания нового неизвестного. Создадим три экипажа. У каждого свой маршрут. А цель одна – показать свои знания на всех этапах. ( У каждого на парте свой маршрутный лист).

Начнем с разминки. (смотреть слайд в презентации)

1.Какое уравнение называется квадратным?

2. Если а=1, то как называется квадратное уравнение?

3. Найти из представленных примеров приведенные уравнения.

а) 5х²+4=0

б) -11х²+6х=0

в) х²+4х+10=0

г) 1,8х²=0

4. Определить знак корней квадратных уравнений.

а) х²+15х+2=0

б) х²+4х-10=0

в) х²-15х+2=0

г) х²-4х-10=0

5. решить уравнения.

а) -0,1х²=0

б) х²-13=0

в) х²+49=0

г) х²+6х+5=0

д) х²-6х+5=0

е) х²-5х+6=0

А теперь в путь!

Путешествие будет нелегким. Чтобы продвинуться вперед, нужно показать свои знания. Каждый экипаж пойдет по своей лесенке.

Решаем задание №1 маршрутного листа.

Слово учителя: Что означает число «1! Для нашей Олимпиады?

ОТВЕТ:МЫ ПЕРВЫЕ на Олимпиаде!

( на доске прикрепляется цифра «1»)

При правильном выборе решения, получается слово. Затем слова записывают на доске в пропущенные места.

[Счет и вычисления – основа порядка в голове]

Подводятся итоги, кто быстрее - помогает отстающим.

Мы справились с одним этапом нашего восхождения и двигаемся вперед.

(Задания усложняются)

Решаем задание №2 маршрутного листа.

Слово учителя: Что означает число «2» для Олимпиады?

Ответ: Это были вторые Олимпийские игры в нашей стране.

( на доске прикрепляется цифра «2»)

1 группа:

а) 5х²-8х+3=0;

б) 3х²-х+18=0.

2 группа:

а) 5х²-6х+1=0;

б) х²-14х-15=0.

3 группа:

а) 2х²+3х+1=0;

б) 2х²-3х-35=0.

Проверяем правильность решения. (Ответы см. презентацию),

Мы говорим с ребятами о найденных корнях уравнений.

«1»-мы абсолютные победители Олимпиады!

«Корней нет»-нам было трудно и не каждый день были победы.

«15»-самая юная участница Олимпиады Юлия Липницкая- ей 15 лет.

«5»-пять медалей в фигурном катании.

(на доске прикрепляются числа «15» и «5»)

Заслуженный отдых – привал.

Послушаем историю возникновения квадратных уравнений. Представитель каждого экипажа рассказывает немного из истории квадратных уравнений. (см. презентацию)

Чем еще можно заняться на коротком отдыхе? Конечно же, разгадать кроссворд.

У всех на партах кроссворд.

По вертикали: Число корней квадратного уравнения при D0 Число корней квадратного уравнения при D=0 Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице Где впервые решили квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0 Число корней квадратного уравнения, при D 7)Учёный, доказавший теорему о свойстве корней квадратного уравнения По горизонтали: Различитель квадратного уравнения.

(Ответы к кроссворду смотри презентации.)

После небольшой передышки снова в путь. Дорога становится сложнее. Мы первопроходцы, наша задача проложить себе дорогу, т.е. уметь составлять квадратные уравнения.

Маршрутный лист. Задание №3

Слово учителя: Что означает число «3» для Олимпиады?

Ответ: »3»-Медали в фигурном катании.

В последний день Олимпиады наши лыжники заняли три призовых места.

«33»-медали в нашем зачёте.

(прикрепляется на доске числа «3»и «33»)

Вопрос: Сколько каких медалей было?

Ответ: «13»-золотых. «11»-серебряных и «9»-бронзовых

(Прикрепляем на доске числа «13», «11» «9»)

Слово учителя: Составим квадратные уравнения, корнями которых являются числа:

1 группа: а) =13; = 9; б) = -11; =9;

2 группа: а) =-13; = -9; б) = 11; = 9;

3 группа: а) =11; = -9; б) = -13; =-11;

(Ответы смотри презентацию.)

Совсем немного до цели. Участок пути остался самый трудный.

Маршрутный лист. Задание №4

Слово учителя: В нашем классе ребята занимаются спортом- это будущие чемпионы. Говорим о спортивных достижениях класса.

Выполняем задание№4

1 группа: х²+Кх-14=0 = -2 -? К- ?

2 группа: х²+6х+К=0 = -7 -? К- ?

3 группа: х²+Кх-10=0 = 5 -? К- ?

(Ответы смотри презентацию.)

На протяжении всего пути вы помогали друг другу. Последние шаги каждый должен пройти самостоятельно. Поэтому еще одна минута отдыха. А что для отдыха может быть лучше, чем хорошая песня!

(Поем классом песню под гитару.)

Песня на мотив «Синяя птица» группы «Машина времени»

Мы в такие ходили дали,

Что не очень-то и дойдешь.

Уравнения мы решали,

Не взирая на снег и дождь.

Но откуда они появились

Пусть история даст ответ.

Мы – охотники за удачей

И преград нам в науке нет.

Уравнения мы решаем.

Сразу многое не поймешь.

Но учитель нам помогает

И до цели своей дойдешь.

Математика – вот наука.

Развивает она умы.

Не страшна никакая скука,

Коль задачи все решены!

Слово учителя: Ещё раз напомним с вами ребята, что означают числа, прикреплённые на доске.

Проверочный заключительный тест.

Слово учителя:

Завершая урок, мне хочется надеяться, что и наш класс оставит яркий след в истории родной школы. И изучая квадратные уравнения через n-е количество лет, учитель мог бы про вас сказать, что в Олимпийский год – 2014, восьмые классы были настоящими звездочками.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

1. Маршрутный лист – 3 варианта.

2. Кроссворд.

3. Песня (на мотив «Синяя птица»)

4. Тест – 2 варианта.

5. Презентация. (отдельный файл)

6. Фото с урока.

I группа №1 х2-8х+7=0 7; 1 – а -7; -1 – с -7; 1 – о х2+4х-5=0 -5; 1 – в 5; -1 – о -5; -1 – н х2-5=0 – с – н - о х2+25=0 5 – с – о Нет к. - н 17х2=0 0 – с 17 - о нет к. - н 2х2=8 2 – н 0 - в – о

№2 а) 5х²-8х+3=0; б) 3х²-х+18=0. №3 а) =13; = 9; б) = -11; =9; №4 х²+Кх-14=0 = -2 -? К- ?

II группа №1 х2+8х+7=0 7; 1 – р -7; -1 – а -7; 1 – к х2-4х-5=0 5; -1 – к -5; 1 – о -5; -1 – д 7х2-7=0 – д 1 - о 0 - к х2-7=0 – к 0 – н - я х2+9=0 – к 3– о Нет к. - р 19х2=0 0 – о 19 - д нет к. - к 4х2=16 0 – р 2 - о – п

№2 а) 5х²-6х+1=0; б) х²-14х-15=0. №3 а) =-13; = -9; б) = 11; = 9; №4 х²+6х+К=0 = -7 -? К- ?

III группа №1 х2+4х-5=0 -5; 1 – е -1; -5 – л -1; 5 – о х2-5х+6=0 2; 3 – в -2; -3 – о 2; -3 – л х2-11=0 Нет к. - в - л - о х2+16=0 4 – г – о Нет к. - л 15х2=0 0 – о 15 - л – г 5х2=20 0 – л 2 - о – г

№2 а) 2х²+3х+1=0; б) 2х²-3х-35=0. №3 а) =-9; = 11; б) = -13; =-11; №4 х²+Кх-10=0 = 5 -? К- ?

Кроссворд

По вертикали: Число корней квадратного уравнения при D0 Число корней квадратного уравнения при D=0 Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице Где впервые решили квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0 Число корней квадратного уравнения, при D Учёный, доказавший теорему о свойстве корня квадратного уравнения По горизонтали: Различитель квадратного уравнения.

Песня на мотив «Синяя птица» группы «Машина времени»

Мы в такие ходили дали,

Что не очень-то и дойдешь.

Уравнения мы решали,

Не взирая на снег и дождь.

Но откуда они появились

Пусть история даст ответ.

Мы – охотники за удачей

И преград нам в науке нет.

Уравнения мы решаем.

Сразу многое не поймешь.

Но учитель нам помогает

И до цели своей дойдешь.

Математика – вот наука.

Развивает она умы.

Не страшна никакая скука,

Коль задачи все решены!

Проверочный заключительный тест.

Через тернии к звёздам.

8 «Б»

5

По вертикали:

1. Число корней квадратного уравнения при D0

2. Число корней квадратного уравнения при D=0

3. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице

4. Где впервые решили квадратное уравнение

5. Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0

6. Число корней квадратного уравнения, при D

7. Учёный, доказавший теорему о свойстве корней квадратного уравнения

По горизонтали:

8. Различитель квадратного уравнения.

Через тернии

к звёздам

Мышление начинается с удивления.

Аристотель

2.

а) х²+15х+2=0

б) х²+4х-10=0

в) х²-15х+2=0

г) х²-4х-10=0

1.

а) 5х²+4=0

б) -11х²+6х=0

в) х²+4х+10=0

г) 1,8х²=0

3.

а) -0,1х²=0

б) х²-13=0

в) х²+49=0

г) х²+6х+5=0

д) х²-6х+5=0

е) х²-5х+6=0

Счёт и вычисления –

основа порядка в голове.

1 группа 2 группа 3 группа

а) 5х²-8х+3=0 а) 5х²-6х+1=0 а) 2х²+3х+1=0

х₁=1 х₁=1 х₁=-1

х₂=0,6 х₂=0,2 х₂=-0,5

б) 3х²-х+18=0 б) х²-14х-15=0 б) 2х²-3х-35=0

корней нет х₁=15 х₁=5

х₂=-1 х₂=-3,5

История возникновения квадратных уравнений.

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего Египта. В одном из папирусов содержалась задача: «Как найти стороны поля, если площадь равна 12 и длина равна ¾ ширины».

Рассмотрим ее:

Пусть x – длина поля, а тогда ¾x – его ширина.

S=3х 2 /4 – площадь поля.

Получим и решим квадратное уравнение.

3х 2 /4=12

В папирусе дано правило для его решения: разделить 12 на ¾

12/ ¾ = 12* 4/3=16

Итак х 2 =16 «Длина поля равна 4» – Указано в папирусе

Решив уравнение х 2 =16 мы получим х=4 х=-4.

Длина поля может быть только положительным числом и поэтому х=4.

Диофант – греческий ученый III века н.э.

Одна из его задач:   «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а их произведение 96».

1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

2.Одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х .

4. Отсюда уравнение (10 + x )  *  (10 – x ) = 96 

100 – х 2  = 96 х 2  – 4 = 0

5. Ответ x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.

Решение x = - 2 для Диофанта не существует, т.к. греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 –ого века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 по лианам….

Стали прыгать повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

( x/8)²+12=x.

Решив это уравнение мы получаем 16 обезьян или 48 .

Древний Вавилон

• Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения приведенных квадратных уравнений:

х ² + px + q = 0,

где p и q - любые действительные числа.

В одной из задач также требовалось определить длину прямоугольного поля (обозначим её х ) и его ширину (у):

«Сложив длину и две ширины прямоугольного поля получишь 14 , а площадь поля 24 . Найти его стороны ».

Составим систему уравнений: х +2у =14, ху = 24. Из второго уравнения находим

у = 24/х

и подставляем в первое уравнение:

х ² +48/х =14.

Отсюда получаем квадратное уравнение:

х²– 14х + 48 = 0.

Для его решения выделим полный квадрат: х²- 14х+48-49+48=0

(х-7)² -1=0

(х-7)² =1

В Египте умели решать такие уравнения, не зная отрицательных чисел.

х-7=1

х=8

Следовательно, у = 24/ 8 =3.

То есть длина поля равна 8, а ширина 3.

Вообще же квадратное уравнение

(х -7)²=1

имеет два корня :

x -7 =1 x -7 = -1

x =8 x = 6

y =3 y = 4

Франсуа Виет

Жил математик один.  Мог бы вельможей он стать.  Но он науку любил,  Что математикой звать.  Как уравненья решать,  Дискриминант не считать.  Можно, подумав чуть-чуть,  Корни его угадать.  Миллион, миллион разных задач  И уравнения он мог решать  Теорему он нам подарил  Теоремой Виета ее звать. 

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

х²+рх+q=0

х 1 *х 2 =q

х 1 +х 2 =-p

0 Число корней квадратного уравнения при D=0 Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице Где впервые решили квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0 Число корней квадратного уравнения, при DУчёный, доказавший теорему о свойстве корней квадратного уравнения По горизонтали: 8. Различитель квадратного уравнения. 7 2 3 4 6 1 8" width="640"

5

По вертикали:

• Число корней квадратного уравнения при D0
• Число корней квадратного уравнения при D=0
• Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице
• Где впервые решили квадратное уравнение
• Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0
• Число корней квадратного уравнения, при D
• Учёный, доказавший теорему о свойстве корней квадратного уравнения

По горизонтали:

8. Различитель квадратного уравнения.

7

2

3

4

6

1

8

5

н

7

е

п

2

3

4

В

о

Е

и

п

о

6

д

г

1

е

л

р

Ии и с к р и м и н а н т т

д

8

в

е

п

о

н

в

е

т

е

а

е

д

т

ё

н

н

о

е

1 группа 2 группа 3 группа

а) х₁=13 х₂=9 а) х₁=-13 х₂=-9 а) х₁=-9 х₂=11

х²-22x+117=0 х²+22х+117=0 х²-2х-99=0

б) х₁=-11 х₂=9 б) х₁=11 х₂=9 б) х₁=-13 х₂=-11

х²+2х-99=0 х²-20х+99=0 х²+24х+143=0

1 группа 2 группа 3 группа

х²+кх-14=0 х²+6х+к=0 х²+кх-10=0

х₁=-2 х₁=-7 х₁=5

х₂=? Х₂=? Х₂=?

к=? К=? К=?

х₂=7 х₂=1 х₂=-2

к=-5 к=-7 к=-3

1 вариант

2 вариант

Решите уравнение

Решите уравнение

• 4х²+х=0

• 2х²+х=0

А. -0,5 В. -0,5;0

А. -0,25 В. 0; -0,25

Б. 0; 0,25 Г. 0

Б. 0,5;0 Г. 0

• Х²+10х+16=0

• Х²-10х+16=0

А. -8; 2 В. -8; -2

А. -8;2 В. -8;-2

Б. 8; 2 Г. 8; -2

Б. 8;2 Г. 8;-2

• 2х²+3х+2=0

3) 2х²-3х+2=0

А. 2;-0,5 В. -2;0,5

А. 2;-0,5 В. -2;0,5

Б. Корней Г. 2;0,5

Б. Корней Г. 2;0,5

нет

нет

Составьте уравнение

Составьте уравнение

• Х₁=2 х₂=7

4) х₁=-2 х₂=-7

А. Х²+5х-14=0

А. Х²+5х-14=0

Б. Х²-5х-14=0

Б. Х²-5х-14=0

В. х²-9х+14=0

В. х²-9х+14=0

Г. х²+9х+14=0

Г. х²+9х+14=0

• Х²+px-10=0

• Х²+рх-8=0

х₁=5

х₁=2

х₂=?

х₂=?

р=?

р=?