Конспект урока Косинус суммы и косинус разности двух углов.doc

Тема урока: Косинус разности и косинус суммы двух углов.

Цель урока: вывести формулы косинуса суммы и разности двух углов; научиться применять их при упрощении выражений.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Анализ контрольной работы.

3.Изучение нового материала.

Актуализация знаний – 10 мин.

1. Устная работа – 5 мин.

1).Упростить:

а)cos (3π/2 + α) = ; б) tg(3600 – α) = ;

в) sin (π – α) = ; г) sin( π/2 + α) = ;

д) tg ( 2π + α) = ; е) cos ( π/2 – α) = ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ; з) tg ( π + α) = .

2). Вычислите:

а) cos 30o = б) – 2 tg2 450 =

в) а sin 1800 = г) 2sin 300 =

д) sin 1350 = е) sin 750 =

ж) sin 150 = з) cos 1050 = .

Используя скалярное произведение векторов, введем формулу косинуса разности аргументов

В плоскости XOY с единичным вектором возьмем угол ( [0A) [0x)) = α и ( [0С) [0у) ) = β

Формула косинуса суммы аргументов:

cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß

cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

В учебнике стр.261 – 269 найдите, как формулируются доказанные теоремы. Зачитайте.

3.Формирование знаний – 20 мин.

1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):

= cos( 600 + 4 cos1050 50) =

cos ( + х) = – cosx

№№ 9.2, 9.3, 9.6, 9.10

5. Итог урока – 1 мин.

1) Д/з п.9.1,№№ 9.4; № 9.5; 9.8; 9.11,9.14.

2)Подведение итогов урока .

– Какую тему изучили на уроке?

– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).

– Комментирование и выставление оценок.

Решения:

9.7. Докажите справедливость равенства:

а) cos ( – ) = sin ; г) cos ( + ) = sin .

Здесь надо доказать формулы, аналогичные формулам для дополнительных углов из п. 9.2, поэтому способ доказательства, основанный на применении формул (1) – (2), должен быть усвоен учащимися.

Решение.

а) cos ( – ) = cos cos + sin sin = cos 0 + sin 1 = sin ;

г) cos ( + ) = cos cos – sin sin = 0cos – (–1)sin = sin .

9.12. Вычислите: а) cos 1350; б) cos 150.

Решение. а) cos 1350 = cos (900 + 450) = cos 900cos 450 – sin 900sin 450 =

= 0 – 1 = – .

б) cos 150 = cos (450 – 300) = cos 450cos 300 + sin 450sin 300 =  +  =

= .

9.13. Вычислите: а) cos 750 + cos 150.

Решение. cos 750 + cos 150 = cos (450 + 300) + cos (450 – 300) = cos 450cos 300 –

– sin 450sin 300 + cos 450cos 300 + sin 450sin 300 = 2cos 450cos 300 = 2  =

= .

9.14. Упростите выражение:

а) cos (450 + )cos (450 – ) – sin (450 – )sin (450 + );

б) cos + cos + cos ;

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2 ;

Решение. а) cos (450 + )cos (450 – ) – sin (450 – )sin (450 + ) =

= cos (450 + + 450 – ) = cos 900 = 0;

б) cos + cos + cos = cos cos – sin sin +

+ cos cos + sin sin + cos = 2 cos cos + cos = 2 cos +

+ cos = 0;

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2 = (cos 600cos – sin 600sin )2 +

+ (cos 600cos + sin 600 sin )2 + cos2 = 2 cos2 600 cos2 + 2 sin 2 600 sin 2 +

+ cos2 = cos2 + sin 2 + cos2 = (sin 2 + cos2 ) = .

9.18. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) cos – sin .

Сначала преобразуем данное выражение:

cos – sin = 2( cos – sin ) = 2(cos cos – sin sin ) =

= 2cos ( + ).

Так как наибольшим и наименьшим значением выражения cos ( + ) являются числа 1 и –1 соответственно, то наибольшим и наименьшим значением выражения cos – sin являются числа 2 и –2 соответственно.

9.2. Формулы для дополнительных углов

В этом пункте доказаны две формулы

cos = sin (1)

и

sin = cos , (2)

которые очень часто используются в дальнейшем.

Решения и комментарии

9.22. Упростите выражение: а) sin (900 – 130); б) sin (–900 + 240).

Решение. а) sin (900 – 130) = cos 130;

б) sin (–900 + 240) = –sin (900 – 240) = –cos 240.

9.23. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 450: е) sin 18590; ж) cos 4440.

Решение. е) sin 18590 = sin (53600 + 590) = sin 590 = sin (900 – 310) = cos 310;

ж) cos 4440 = cos (3600 + 840) = cos 840 = cos (900 – 60) = sin 60.

9.24. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего :

е) cos ; ж) sin .

Решение.

е) cos = cos = cos = sin = sin = –sin ;

ж) sin = sin = sin = –sin = –cos =

= –cos = –cos .

Заметим, что в заданиях 9.24 (е, ж) формулы (1) и (2) применяются не «слева направо», а «справа налево»,