Конспект урока алгебры " Формулы синуса, косинуса,тангенса и котангенса суммы и разности двух углов.

20

А9-03

Тема урока. Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов.

Цель урока: познакомить учащихся с группой формул тригонометрических функций – формулами сложения.

Обучающая задача: систематизация знаний по данной теме, развитие навыков самостоятельной работы, умения рассуждать.

Развивающая задача: развитие навыков самооценки, развитие грамотной монологической речи, развитие внимания.

Воспитательная задача: воспитание добросовестного отношения к своей работе, ответственности, честности.

Оборудование: рабочие тетради, числовые круги, учебник, таблицы: «Формулы приведения», «Формулы сложения», карточки с ответами, «Карта успеха учащегося».

Ход урока.

1. Организационный момент. Изучая главу: « Тригонометрические выражения и их преобразования» , мы познакомились с различными группами тригонометрических формул и их применением для преобразования выражений. Кто из вас может перечислить эти группы? (Основные тригонометрические тождества, формулы приведения). Сегодня вам предстоит познакомиться с еще одной группой формул, которая называется: «Формулы сложения». Вам примите участие в оценивании своей работы на уроке. Для этого вам понадобится «Карта успеха». Подпишите ее. Слева записаны задания сегодняшнего урока. Справа вы будете ставить плюс за каждое правильно выполненное задание. В конце урока подсчитаем количество плюсов, и каждый из вас сделает вывод об успешности своей работы на уроке. Конечно, эта работа требует честности. Я не сомневаюсь в том, что вы люди исключительно честные и порядочные.

1. Повторение теоретического материала 

А) Работа с пособием «Числовые круги»:

1) Углом какой четверти является угол: а) 36°; б) 340°; в) -270°

2) Какой знак имеет: а) cos 280 ° ; б) sin 179° ; в) tq 500° ; г) ctq 359°

3) Примените свойства четности и определите знака функции: а) sin ( -α ) б) -cos ( - α ); в) tq ( - α ) г)- ctq ( - α )

1. Актуализация знаний, умений, навыков:

а) Объяснение нового материала. Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:

Формула синуса суммы  - синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Синус разности двух углов  - синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

Формула косинуса суммы  - косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

Косинус разности  - косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

Тангенс суммы .

Тангенс разности .

Котангенс суммы .

Котангенс разности .

Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида  и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула  отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ) и синусу разности (когда берется нижний знак из ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов  и . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех  и , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

б) Доказательство формул

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы  и  соответственно. Тогда угол между векторами  и  равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты  и . Таким образом, косинус угла между векторами  и  равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты  и  соответственно. Тогда  и  (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов  и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. 

Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что  и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

и

*Спектр применения формул сложения достаточно широк. Мы не ставим целью перечислить все возможные варианты применения формул сложения, здесь мы лишь посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида . Воспользуемся формулой синуса суммы. Имеем . Так доказана формула.

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных (). Рассмотрим решение примера.

Пример.

Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

Решение.

Легко заметить, что угол 15 градусов можно представить как разность 45−30. Тогда формула тангенса разности позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем . Теперь подставляем известные значения тангенса, после чего завершаем вычисления:

Ответ:

.

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии, например, формул двойного угла. Но об этом мы поговорим с вами на следующих уроках

2.Первичное закрепление нового материала

а)Работа у доски:

№ 344 (ребята по одному выходят и решают примеры)

Не забывайте ставить плюсы ,кто правильно решает примеры.

1. Самостоятельная работа №347а)

На доске ответы, ребята проверяют и ставят плюсы или ничего

1. Физминутка.

2. Повторение ранее изученного материала.

На доске сверху написана фраза: « Непреодолимого ничего нет» ( слова Суворова) и закрыта листами с написанными правильными ответами. У каждого лежат небольшие карточки с правильными ответами. Кто первым получит число или выражение, написанное у него на карточке, идет к магнитной доске и снимает лист с тем же номером.

а) найдите значение выражения: sin210°= cos ( - 150 °)=

б) упростите выражение: tq (- α ) cos α + sinα

7.Подведение итогов. Самооценка работы учащихся по карте успеха..

9. Домашнее задание: ИДЗ( по 5 заданий каждого уровня)

10.Рефлексия.

1.На уроке я работал активно/ пассивно

2. Своей работой на уроке я доволен/ не доволен

3. Урок для меня показался коротким / длинным

4. За урок я не устал / устал

5. Мое настроение стало лучше/ стало хуже

6. Материал урока мне был понятен / не понятен

полезен / бесполезен; интересен / скучен

Задания для индивидуальной работы по теме « Формулы приведения»

1. Упростить, используя формулы приведения:

A

1) (270 (360

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) 2tq(

B

10)

11)

12)

13)

14)

15)8

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)2

Ответы

1) 1 6) 11)-1 16) 21)

2) 7)1- 12) 17)1 22)1

3) 8) 13)- 18)0 23)

4) 9)-2 14)- 19)-1 24)

5)1- 10) 15)7 20) 25)4

2. Упростите:

А

1)

2)(1+

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)-

13)

(1+

-

с

21)

22)

В

23)

24)

25)

26)

27)

28)+

29)4

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)-

46)

47)

48)

49)

50)

51)

Ответы

1)-

2)1

3)

4)

5)

6)

7)2

8)

9)1

10)

11)

12)4

13)1

14)

15)10

16)

17)

18)1

19)1

20)

21)

22)-1

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)2

32)

33)7

34)0

35)

36)

37)4

38)

39)

40)

41)-1

42)2

43)1

44)1

45)0

46)0

47)0

48)

49)-

50)

51)0,25

3. Вычислите:

А

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)()-

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)3+

23)с

24)

25)

26) с

27)

28)

29)

30)

В

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)-

42)

43)()

44)

45)с

46)

Ответы

1)-2

2)

3)

4)-1

5)

6)

7)

8)0

9)

10)1

11)-

12)-

13)1

14)

15)

16)0

17)

18)-

19)- с

20)

21)

22)2

23)-2,5

24)0,5

25)0,5

26)1-

27)-0,5

28)0

29)0,5

30)

31)

32)1

33)0

34)0

35)

36)

37)

38)1

39)1,5

40)

41)1

42)1

43)14

44)

45)0

46)

4. Вычислите:

А

1)Вычислите.

2) Вычислите 2.

3) Вычислите .

4) Вычислите

5) Вычислите ,

6) Вычислите,если .

7) Вычислите ,.

8) Вычислите

9) Вычислите

10) Вычислите

11) Вычислите

12) Вычислите

13) Вычислите

14) Вычислите

15) Вычислите .

16) Вычислите

17) Вычислите с

18) Вычислите

19) Вычислите ,

20) Вычислите и

21) Вычислите

22) Вычислите ;

23) Вычислите

24) Вычислите .

25) Вычислитес

26) Вычислите .

27) Вычислите

28) Вычислите ;

29) Вычислите

30) Вычислите

31) Вычислите А=, если .

32) Вычислите

33) Вычислите

34) Вычислите 13

35) Вычислите

36) Вычислите

37) Вычислите

38) Вычислите

39) Вычислите 1+5

40) Вычислите

Ответы

1)8

2)9

3)-2

4)

5)1

6)-2

7)

8)0,8

9)-8

10)

11)-

12)-0,8

13)

14)-

15)-2

16)13

17)-3

18)

19)1

20)+

21)0.5

22)7

23)-

24)

25)

26)-

27) -

28) -

29)

30) -

31)8

32)

33)-5

34)12,6

35)

36)-1

37)+1

38)0,269

39)2

40)

Карточка успеха ученика (цы) 9 « » класса __________________________

1. Углом какой четверти является угол:
а)26°
б)340°
в)- 270°
2. Какой знак имеет:
cos 280°
sin 179°
tq 500°
ctq 359°
sin( - α )
cos( - α )
tq ( - α )
сtq ( α )
3.Найдите значение выражения: sin 210°
cos ( -150° )
tq ( - α ) сos α + sinα
Количество успешно выполненных заданий

Список литературы:

1. Е.В.Алтухова «Математика 5-11 классы. Уроки учительского мастерства» изд. «Учитель» Волгоград 2009г.

2. В помощь школьному учителю «Поурочные разработки по алгебре 9 класс» А.Р.Рурукин Москва «Вако» 2007г.

3. Учебник «Алгебра 9 класс» А. Абылкасымова, Алматы, Мектеп,2012