Конспект урока по теме: "Теория вероятностей в задачах ЕГЭ"

Урок алгебры в 10 классе по теме "Теория вероятностей"

Тема урока: “Теория вероятностей в задачах ЕГЭ ”

Цели урока:

Образовательная – систематизировать знания и умения по теории вероятностей и комбинаторике, отработать навыки необходимые для нахождения вероятности событий при решении задач на ЕГЭ

Развивающая – способствовать развитию логического мышления, внимания, умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач

Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к подготовке к ЕГЭ, повышение интереса к математике, умения работать в группе, навыки самооценки и    умения оценивать деятельность других

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы: обучения – диалогический (беседа, фронтальная работа, самостоятельная работа)

Преподавания – повторительно-стимулирующие

Учения – репродуктивный, частично-поисковый

Технологии: обучение в сотрудничестве (групповая), информационные, игровые, деятельностного подхода, технологии исследовательской деятельности.

Формы работы на уроке: групповая, коллективная; устная, письменная.

Оборудование: карточки, задания на листочках, компьютер, проектор

План урока.

1. Сообщение темы и постановка целей урока-2 мин.

2. Актуализация знаний учащихся-8 мин.

3. Закрепление изученного материала-15 мин

4. Физкультминутка - 2 мин

5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин

6. Подведение итогов урока- 2 мин.

7. Домашнее задание-1 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

 Психологический настрой “Все в твоих руках”. 

“Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее мертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. 

От того на сколько плодотворно и успешно пройдет наш урок все в ваших руках. Запишите классная работа. (Слайд 1)

Перед вами слова из которых попробуйте сформулировать тему урока: ВЕРОЯТНОСТЬ, ЗАДЧИ, ТЕОРИЯ, ЕГЭ (Слайд 2)

Сообщение учащимся темы урока, формулировка целей

Тема урока: «Теория вероятностей в задачах ЕГЭ» (Слайд 3)

Цели урока:

- систематизировать знания и умения по теории вероятностей

- отработать навыки решения основных типов задач на ЕГЭ

Сегодняшний урок мы проведем в форме работы группами. До начала работы я вас просила определиться с лидером группы, который будет назначать отвечающего на поставленный вопрос или задачу. За каждое правильно выполненное группой задание вы получаете 1 ум. Отвечает первой та группа, которая вперед выполнила задание. Если отвечают неправильно, то у соперников есть шанс ответить.

1. Актуализация опорных знаний

Начнем с повторения теории. Каждой группе необходимо

объяснить смысл терминов

1 группа: достоверное, невозможное, случайное события

2 группа: противоположные, независимые события

3 группа: несовместные, совместные события

Составление схемы на доске

Повторим как вычислить вероятность.

Вопросы группам: 1) дайте определение вероятности (Слайд 4)

2) чему равна вероятность невозможного события

3) достоверного события

4) как найти вероятность противоположного события

5) что называется суммой событий (Слайд 5)

6) что называется произведением событий (Слайд 5)

7) как будем находить вероятность несовместных, совместных и независимых событий

- Два события называются несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход, и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. Вероятность суммы двух несовместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме вероятностей.

- События называются совместными, если они могут происходить одновременно.

Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает возможность появления решки на другой. Вероятность суммы двух совместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.

- Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

- Два события являются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

1. Закрепление изученного материала

Задания на карточках: определите о каких событиях идет речь в задачах и вычислите вероятность.

1.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

Решение: N(A) = 80, N= 80+8=88, P(A) = 80/88 = 0,91 (Слайд 6)

2.На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

События «вопрос о вписанной окружности» и «вопрос о параллелограмме» - несовместные, поэтому вероятность выбрать один из них равна сумме вероятностей: р = 0,2+0,15=0,35 (Слайд 7)

3.Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четыре выстрела подряд.

Решение:

Попадание в цель при каждом последующем выстреле – независимое от предыдущего исхода событие.

Вероятность р = 0,9*0,9*0,9*0,9 = 0,6561 (Слайд 8)

4.В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

События «кофе останется в обоих автоматах» и «кофе закончится хотя бы в одном» - противоположные. Сумма их вероятностей 1. Найдем вероятность события «кофе закончится хотя бы в одном автомате» р=0,3+0,3-0,12 = 0,48. Тогда вероятность события «кофе останется в обоих автоматах» р = 1 – 0,48 = 0,52 (Слайд 9)

Задачи для коллективного решения:

Решение задач на нахождение «полной вероятности», т.е. задачи в которой используются обе теоремы: сложения и умножения вероятностей: для перебора всех возможных вариантов строится граф, при вычислении применяются оба правила.

5. С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной. (Слайд 10)

Решение: Р = 0,4*0,01+0,3*0,03+0,3*0,05 = 0,028

6. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Слайд 11)

Решение: 0,4х + 0,2(1 – х) = 0,35 х = 0,75

7. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным

Решение: 0,05∙ 0,9 + 0,95 ∙ 0,01 = 0.0545 (Слайд 12)

1. Физкультминутка

1. Предложить уч-ся пересесть на другие места. Сколько всего существует способов рассаживания без повторения.

1. Сколько всего существует способов рассаживания без повторения, если капитан остается на своем месте.

8. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение: р = 0,94 - 0, 56 = 0,38 (Слайд 13)

9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 16 июня, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 19 июня в Волшебной стране будет отличная погода (Слайд 14)

Решение: р = 0,7∙0,7∙0,3 + 0,7∙0,3∙0,7 + 0,3∙0,3∙0,3 + 0,3∙0,7∙0,7 = 0,468

10. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей (Слайд 15) (домашнее задание)

1. Самостоятельная работа в группах

1. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года. (0,12)

2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Рассмотрим два события:

 – гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает у гроссмейстера Б.;

 – гроссмейстер А. играет черными и выигрывает у гроссмейстера Б.

Так как гроссмейстеры играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур, то будет происходить и событие  и событие , которые независимы друг от друга. Таким образом, искомая вероятность того, что А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей событий  и :

.

3. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов— первые три дня по 12докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции? (0,14)

4. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.

Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.

Тогда P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

1. Подведение итогов урока (Слайд 16)

Выставление оценок за урок.

Подведите итог урока, составив синквейн

Синквейн – это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:

1 строка – одно существительное, выражающее главную тему синквейн.

2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка – фраза, несущая определенный смысл.

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

1. Задание на дом (Слайд 17)

Выполнить задания на карточках

1.В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?

Решение:

Ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства кар­то­чек с но­ме­ром 2, к об­ще­му числу кар­то­чек.

Р(А) = = = 0,25

2.Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит более двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года

Решение:

События «чайник прослужит больше двух лет» и «чайник прослужит больше года, но менее двух лет» - несовместные. Сумма этих событий равна событию «чайник прослужит более года». Поэтому искомая вероятность р = 0,97 - 0,89 = 0,08

3.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение:

События «батарейка бракованная» и «батарейка исправная» противоположные, поэтому вероятность события «батарейка исправная» р = 1-0,02 = 0,98.

События «1 батарейка исправная» и «2 батарейка исправная» - независимые, поэтому вероятность того, что обе батарейки исправны р = 0,98*0,98= 0,9604

4.Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Событие « хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событию « обе лампы перегорят» . Вероятность события «обе лампы перегорят» равна произведению вероятностей (т.к. события независимые) р=0,17*0,17=0,0289

Тогда вероятность события « хотя бы одна лампа не перегорит» равна: 1 – 0,0289 = 0,9711