Конспект урока (дистанционная форма обучения) "События и их классификация"

Тема 1.1. События и их классификация

1.1.1. Понятие случайного события

1.1.2. Классификация случайных событий

1.1.3.Операции над событиями

1.1.1. Понятие случайного события

Испытанием мы будем называть тип опыта (эксперимента).

Например, извлечение наудачу карты из колоды – испытание.

Бросание наудачу игральной кости (монеты) – испытание.

Существенно, что испытания в приведенных примерах (как и все испытания в данном курсе) выполняются наудачу, т.е. субъективный фактор здесь предполагается исключенным.

Определение. Случайным событием называется выделенный исход некоторого испытания.

Очевидно, что в конкретном испытании рассматриваемое случайное событие может наступить, а может и не наступить. (Отметим также, что сам эпитет “случайное” перед термином “событие“ в дальнейшем для краткости мы обычно будем опускать.)

Всюду ниже для обозначения событий мы будем использовать заглавные буквы латинского алфавита (возможно, с индексами). Например, ,B,C,¼или .

Пример. Пусть испытание – извлечение карты из колоды. Тогда событиями являются: A– извлечена карты красной масти, B – извлечена “ картинка“, C – извлечен туз и т.п. Если в результате конкретного испытания из колоды достали, например, семерку бубен, то событие A наступило, события B и C – нет.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда событиями являются, например, A –число выпавших очков – четно, B – число выпавших очков – больше 4, C– на верхней грани игральной кости выпала “5”.

1.1. 2.Классификация случайных событий

1. Определение. Два события называются равными, если одно из них наступает тогда и только тогда, когда наступает другое.

Пример. Будут произведены 3 выстрела в мишень. А – число попаданий в мишень равно 0, В – число попаданий в мишень меньше, чем 0,5. Очевидно, что

2. Определение. Два события называются равновозможными, если вероятности их наступления равны (в смысле статистического определения вероятности).

На практике равновозможность событий обычно усматривается из симметрии ситуации.

Пример. Пусть испытание – бросание монеты. Тогда события – выпадение “орла” и – выпадение “решки” являются равновозможными.

3. Определение. Событие называется достоверным, если оно наступает в каждом из испытаний.

Достоверное событие будем обозначать через Такое событие определено однозначно для каждого вида испытания.

4. Определение. Событие называется невозможным, если оно не наступает ни в одном из испытаний.

Невозможное событие будем обозначать символом Æ. Это событие определено однозначно для каждого вида испытания.

Пример. Пусть измеряется рост наудачу взятого человека. Тогда Æ = (значение роста – отрицательное число) = (рост – более 100 км) =….

Т.к. то т.е.

5. Определение. Два события называются несовместными (несовместимыми), если они не могут наступить одновременно.

Пример. Испытание – извлечение карты из колоды. Если событие А – извлечена карта красной масти, событие В – извлечена карта черной масти, то А и В – несовместны.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, и – несовместны.

6. Определение. События называются единственно возможными для некоторого испытания, если в результате испытания хотя бы оно из них обязательно наступает.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда события А и В – единственно возможны (т.к. не существует такого исхода бросания игральной кости, при котором ни А, ни В не наступило). Напротив, А и С не являются единственно возможными (т.к. при выпадении “6” ни А, ни С не наступают).

7. Определение. Говорят, что события образуют полную систему (группу), если эти события попарно несовместимы и единственно возможны.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда события образуют полную систему.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, образуют полную систему.

Заметим, что при заданном типе испытания полная система событий определена, вообще говоря, неоднозначно.

Определение. Если два события образуют полную систему, то они называются парой взаимно противоположных событий.

Если одно из событий такой пары обозначено, скажем, через , другое будет обозначено

Пример. Пусть испытание – бросание монеты. Тогда события А – выпадение “орла” и В – выпадение “решки” являются взаимно противоположными ().

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела, и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, и – взаимно противоположны.

1.1.3. Операции над событиями

Определение. Суммой событий А и В называется такое событие , которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступило или событие А, или событие В, или оба эти события вместе.

Пример. Пусть испытание – извлечение карты из колоды, а следующие события состоят в извлечении: А – карты красной масти, В – картинки, D – числовой карты. Если в результате конкретного испытания из колоды достали, например, “семерку” крестей то событие А+В не наступило, а события и наступили.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела, m – число попаданий в мишень , . Тогда .

Замечание 1. Условие единственной возможности событий равносильно тому, что В частности, если события образуют полную систему, то , и при имеем

Определение. Произведением событий А и В называется такое событие , которое считается наступившим тогда и только тогда, когда события А и В наступили одновременно.

Пример. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости.

. Тогда и .

Замечание 2. Произвольные события А и В являются несовместимыми тогда и только тогда, когда Æ.

4