Конспект урока алгебры по теме: "Формулы двойного аргумента и их применение".

МБОУ Глодневская СОШ

Конспект урока алгебры

Тема:

Формулы двойного аргумента

и их применение

Разработал учитель математики:

Хведченя Светлана Васильевна

Класс:10

Тема урока: Формулы двойного аргумента и их применение.

Место урока в образовательном процессе: Алгебра и начала математического анализа, учебник Мордкович А.Г. 10-11 класс.; раздел «Преобразование тригонометрических выражений»

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: вывести формулы двойного аргумента; научить применять полученные формулы для упрощения тригонометрических выражений.

Учебные задачи:

Обучающие:

- повторение и обобщение знаний в области преобразования тригонометрических выражений;

- формирование умений и знаний использовать формулы двойного аргумента для упрощения выражений;

- использование учащимися полученных знаний по данной теме при выполнении заданий ЕГЭ.

Развивающие:

 – вырабатывать и развивать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях;

- развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества;

- развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; культуру речи и любознательность.

Воспитательные :

- побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу;

- воспитание терпеливости, культуру мышления, упорства достижения целей.

Ожидаемый результат: учащиеся должны знать вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений.

План урока:

1. Организационно-мотивационный этап.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

3. Изучение нового материала.

4. Домашнее задание.

5. Итог урока.

6. Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Ход урока.

1. Организационно-мотивационный этап.

Приветствие учащихся.

Проверка домашнего задания. Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

Сегодня на уроке мы выведем тригонометрические формулы – формулы двойного аргумента и рассмотрим как их можно примененять.

Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся.

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов.

Вызывается учащийся, которые на доске записывает отдельно эти формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;
tg(x+y) =  .
Далее учащийся устно работает с места. На доске (или слайдах презентации) записаны задания.

№1. Упростить:

а) 
б) 
в) 
г) 

№2. Вычислить:

а) 
б)
в) 
г) 
д) 

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим их применение.

Рассмотрим формулы, записанных в начале урока – формулы синуса, косинуса, тангенса суммы аргументов. Допустим, что аргументы равны: x= y, то получим:

1. sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny или sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

2. cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny или cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos²x – sin²x

3. tg(x+y) =  или tg2x =  Одну из трех формул выводит ученик.

Полученные формулы называют формулами двойного аргумента или формулами двойного угла.

Какое же практическое применение этих формул?

Выполним № 21.2(а,б) - №21.5(а,б) стр.57 учебник А.Г. Мордкович Часть 2

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos ²x – sin²x

№1. Доказать тождество: cos2x = 1 – 2sin²x

Доказательство:
cos2x = cos²x – sin²x = (1 - sin²x) - sin²x = 1 - 2 sin²x
cos2x = 1 - 2 sin²x, что и требовалось доказать.

Выразим из доказанного тождества sin²x :

cos2x = 1 - 2sin²x
2 sin²x = 1 – cos2x
sin²x =  - получили еще дну тригонометрическую формулу, которая получила название-формула понижения степени.

№2. Доказать тождество: cos2x = 2cos²x – 1

Доказательство:
cos2x = cos²x – sin²x = cos²x – (1 - cos²x) = 2cos²x – 1
cos2x = 2cos²x – 1, что и требовалось доказать.

Если из полученного равенства выразить cos²x, то получим:

cos2x = 2cos²x – 1
cos2x+1 = 2cos²x
2cos²x = cos2x+1
cos²x =  - еще одна формула понижения степени.

Таким образом, выполняя задания №1 и №2, доказывая тождества, получили еще два варианта формул двойного угла и как следствия из них- формулы понижения степени.

sin2x = 2sinxcosx; cos2x = cos²x – sin²x;

cos2x = 1 – 2sin²x; cos2x = 2cos²x – 1

sin²x =  ; cos²x = 

Выполним № 21.23 (а ,б) с применением формул понижения степени.

Выполним задание из сборника ЕГЭ Математика. Профильный уровень. Под ред. Ященко.

1) Найдите -25cos2α, если cos α=-0,8

2) Найдите значение выражения: 7

Домашнее задание.

• §21

• №21.2 – 21.5 (а,б)

• №21.9 (а); №21.23(в,г)

5. Итог урока.

1. Что нового узнали на уроке?

2. Довольны ли вы своей работой на уроке?

6. Закрепление изученного материала.

Самостоятельная работа с проверкой на уроке.

№ 1. (устно)

Запишите угол в виде 2 - некоторый угол:

а) 30⁰; б) 90⁰; в) ; г) ; д) 4 ; е) ; ж) .

№ 2. Упростите выражение:

а) 2

в) 4

№ 3. Упростите выражение:

а) –

б) (

№ 4. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) ; г) - .

Учащиеся вместе с учителем проверяют выполненные задания.

На следующих двух уроках мы с вами продолжим изучение применения формул двойного аргумента в тригонометрических преобразованиях.

Спасибо всем за урок!