Комбинаторика (украинский язык)

Красноармійський міський відділ освіти

Красноармійський навчально-виховний комплекс

Комбінаторика

Учитель:

Пономаренко О.О.

2014 рік

Тема: Розв’язування задач і вправ підвищеної складності. Комбінаторика.

Мета: Активізувати пізнавальну діяльність учнів, формування вміння міркувати, аналізувати і робити висновки, розвивати творчі здібності та логічне мислення учнів.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Вивчення нового матеріалу. Розв’язування вправ на осмислення нового матеріалу.

Вступне слово. Сьогодні я хочу познайомити вас з комбінаторними задачами. Комбінаторика – це розділ математики, в якому вивчається питання про те, скільки різних комбінацій можна скласти. Зараз я назву основні методи розв’язування комбінаторних задач. Це перебір числа елементів певної множини та укладання різноманітних комбінацій (з повтореннями й без повторень) із 2-3 елементів.

Задача 1. Жителі планети «Кін-дза-дза» обходилися для всіх випадків одним словом «ку». А якби алфавіт у них складався з двох літер К і У, то скільки слів було б у них в словнику, за умови, що букви в слові можуть повтор.ватися і слова складаються тільки з двох букв?

Вчитель показує рішення на дошці:

Із букв К і У можна скласти такі слова: ку, кк, уу, ук.

Задача 2. У жителів планети АХО в алфавіті 3 букви: А,О,Хю Слова в мові складаються з трьох букв. Яка найбільша кількість слів може бути в словнику жителів цієї планети? (Букви в словах повторюватись не повинні)

Розв’язує учитель коло дошки: аох, ахо, оах, оха, хао, хоа.

Висновок: в цих задачах нам довелося перебирати всі можливі варіанти, або, як зазвичай кажуть у таких випадках – всі можливі комбінації. Тому подібні завдання називають комбінаторними.

Розглянемо ще одну задачу.

Задача 3. З міста А у місто В веде 3 шляхи. З міста В у місто С веде 2 шляхи. Скількома способами можна дістатися з міста А у місто С.

Розв’язавши цю задачу ми довели основне правило комбінаторики:

Нехай є дві дії. Причому першу дію можна виконати n способами, а другу дію можна виконати m способами, тоді послідовність дій: спочатку першої, а потім другої можна виконати n•m способами.

Шляхів із А в В: 3

= із А в С: 3•2=6

Шляхів із В в С: 2

Відповідь: 6 шляхів

Задача 4. НА вершину гори веде 7 стежок. Скількома способами турист може піднятися і спуститися з гори? (7•7=49)

Якщо різними шляхами? (7•6=42)

Слово вчителя: Виявляється комбінаторні завдання можуть нам зустрітися в будь-якому предметі. Наприклад в літературі. Візьмемо твір російського письменника, байкаря Івана Андрійовича Крилова – «Квартет»

Перекладач: Ф. Скляр

Вигадниця Мартишка,

Осел,

Козел

Та клишоногий Мішка

Затіяли Квартет Зіграть.

Дві скрипки, ноти, бас і альт дістали

Й під липу в лузі посідали,

Щоб світ мистецтвом чарувать.

Ударили в смички, - ладу ж дарма шукать!

«Стій, братця, стій! - кричить їм

Мавпа, - постривайте!

Хіба заграєм так? Інакше посідайте.

Ти з басом, Мишенько, сідай проти альта,

Я, прима, сяду проти втори;

Тоді вже піде музика не та:

У танець підуть ліс і гори!»

Знов сіли, почали Квартет;

….. і далі

Задача 5.Назвіть учасників квартету (козел, осел, мартишка, мішка)

Скільки існує різних способів посадити цих персонажів?

Цю задачу розв’язати можна за допомогою правила множення: Кількість способів якими ми можемо заповнити 1 позицію доповнює максимальній кількості способів n, 2 позицію n-1 (оскільки перший елемент вже займає одне місце); останню – одним способом. Згідно основному правилу комбінаторики перемножуємо:

Р= n(n-1)х…х1

Давайте обміркуємо задачу про квартет. Мішка може сісти на одне з 4х місць, Козел може сісти на одне з 3х місць, Осел може сісти на одне з 2х місць, Мартишка може сісти на 1 місце, що залишилось.

Тобто: 4х3х2х1=24 варіанта

ФІЗКУЛЬТХВИЛИНКА

Резервні задачі:

Задача 1. Скільки двозначних чисел можна скласти, використавши цифри 1,7,4 (цифри можуть повторюватись)

3х3=9

(на перше місце цифру можна обрати трьома способами, після чого на друге місце теж цифру можна обрати трьома способами)

11,14,17,41,44,47,71,74,77

Задача 2. Скільки двозначних чисел можна скласти з цифр 9, 7,0 (цифри можуть повторюватись)?

2х3=6

(нуль не може стояти на першій позиції)

99,97,90,79,77,70

Задача 3. У класі 25 учнів, скількома способами можна обрати командира класу та його заступника?

25х24=600

Задача 4. У розіграші першості країни з футболу бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

16х15=240

ІІІ. Підсумок уроку

Постановка д/з: скласти задачу з комбінаторики і оформити на альбомному аркуші

КОМБІНАТОРИКА

Усний рахунок

Задача 1. Жителі планети Кін-дза-дза обходилися для всіх випадків одним словом «ку». А якби алфавіт у них складався з двох літер К і У, то скільки слів було б у них в словнику, за умови, що букви в слові можуть повторюватися, і слова складаються тільки з двох букв?

Задача 2. У жителів планети АХО в алфавіті три букви: А, О, Х. Слова в мові складаються з трьох букв. Яку найбільшу кількість слів може бути в словнику жителів цієї планети? (Букви в словах повторюватись не повинні)

Задача 3. З міста А у місто В веде 3 шляхи. З міста В у місто С веде 2 шляхи. Скількома способами можна дістатися з міста А у місто С ?

Основне правило комбінаторики. Нехай є дві дії, причому першу дію можна виконати n способами, а другу дію можна виконати m способами, тоді послідовність дій: спочатку першої, а потім другої можна виконати n•m способами

Задача 4. На вершину гори веде 7 стежок. Скількома способами турист може піднятися і спуститися з гори? А якщо різними шляхами?

Задача 5. Квартет.

ФІЗКУЛЬТХВИЛИНКА

Правило множення. Кількість способів Р якими ми можемо заповнити 1 позицію дорівнює максимальній кількості способів n , 2 позицію – n-1 (оскільки перший елемент вже займає одне місце), …, останню – одним способом. Згідно основному правилу комбінаторики перемножимо P=n(n-1)•…•1

Задача 6. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 7, 4 (цифри можуть повторюватись)

Задача 7. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 9, 7, 0 (цифри можуть повторюватись)

Задача 8. У класі 25 учнів, скількома способами можна обрати командира класу та його заступника?

Задача 9. У розіграші першості країни з футболу бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

Домашнє завдання. Конспект Творче завдання: скласти та оформити задачу з комбінаторики з розв'язком

Дякую за роботу!

Урок-презентацію розробила Пономаренко О.О., вчитель математики Красноармійського навчально-виховного комплексу