Просмотр содержимого документа
«кмж 8 класс Геометрия»
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 28.01.2016 жыл.
Сабақтың тақырыбы Екі нүктенің арақашықтығы.
Сабақтың мақсаты
жазықтықтағы екі нүктенің арақашықтығын табу формуласын пайдалануды меңгеру.
Есептер шығаруда формулаларды пайдалану , бірлесе жұмыс жасау дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
есептер шығару формулаларды пайдалана алады сыни ойлайды, өз бетінше жұмыс жасай алады.
Түінді идея
Мәндер оң сандар екенін ұғыну.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
Электронды оқулық, «Көңіл күй» әдісі, " Суреттер сыры..."
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
5 минут
«Өзара сұрақтар» әдісі бойынша оқушылар сұрақтар қояды.
Тік бұрышты координаталар жүйесі кімнің құрметіне декарттық координаталар жүйесі деп аталған? 2. Координаталар жүйесі қалай құрылады? 3. Координаталық жазықтық дегеніміз не? 4. Координаталық жазықтықтағы неше ширек бар? 5. Координаталар басы деп қай нүктені айтамыз? 6. А(5;- 1) нүктесі қай ширекте орналасқан? 7. Латынның “cordinatus” сөзі қазақша қандай мағына береді?
«Танып - білу»шағын мақсаты: анықтамаларын, ережелерді білу, үлгі бойынша есептер шығару 1. Сурет бойынша нүктелерді координаталарымен жазыңдар. 2. Координаталық жазықтықты нүктелерді белгілеңдер.
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
5 минут
Ұжымдық тапсырма.
Ойға түй: 1) Егер координаталар басы О(0; 0) нүктесі мен Р(х; у) нүктесіне дейінгі қашықтықты табу керек болса: ОР2=х2+у2 2) Егер екі нүктеде абсцисса осінде жатса: d=Ix2 - x1I 3) Егер екі нүктеде ордината осінде жатса: d=Iy2 - y1I Нәтиже: Жазықтықтағы екі нүктенің арақашықтығы олардың сәйкес координаталарының айырымдарын квадраттап қосып, одан квадраттық түбір тапқанға тең. Екі нүктенің арақашықтығының формуласы: Ұғындыру мысалдары: 1 - мысал: А(2; 5), В(- 1;- 3). Шешуі: АВ= 2 - мысал: Х осінің бойынан (1; 2) және (2; 3) нүктелерінен бірдей қашықтықтағы нүктені табу керек. Шешуі: (х: 0) нүктесі - ізделінді нүкте болсын, сонда: (х - 1) 2+(0 - 2) 2= (х - 2) 2+(0 - 3) 2 Бұдан х=4, ізделінді нүкте: (4; 0)
Оқушылар суреттерге қарап олардың координаталарын табады.
Үш шапалақ арқылы
бағаланады.
Формулалар жазылған плакаттар
модельдер
Жаңа материалды қолдану
(сабақта қолданылатын нақты мысалдар, проблемалар, жобалар және т.б. )
30 минут
Ұжымдық тапсырма:
Жекелеген оқушыларға тапсырма
А(1;- 2), В(- 2; 2) болса, А және В нүктелерінің арақашықтығын табу: АВ2= (- 2 - 1) 2+(- 2 - 2) 2=9+16=25, АВ=5
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Берілген заттардың орталарын табу үшін заттар беріледі.
Оқулық тапсырмалары орындалады.
Жетондар
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
5 минут
Мен білдім...
Үйге : №178 185
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 26.01.2016 жыл.
Сабақтың тақырыбы Бақылау жұмысын талдау. Жазықтықтағы нүктенің координаталары. Кесіндінің ортасының координаталары.
Сабақтың мақсаты
Жазықтықтағы нүктенің координаталар табу жолдарын, олардын ортасының координатасын табу жолдарымен танысу.
Есептер шығаруда формулаларды пайдалану өз бетінше жұмыс жасау дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
есептер шығару формулаларды пайдалана алады сыни ойлайды, өз бетінше жұмыс жасай алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алды.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, «Көңіл күй» әдісі, " Суреттер сыры..."
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
5 минут
Психологиялық тренинг. «Көңіл күй» әдісі
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
5 минут
Ұжымдық тапсырма.
"Суреттер сыры..." әдісі
Оқушылар суреттерге қарап олардың координаталарын табады.
Үш шапалақ арқылы
бағаланады.
Формулалар жазылған плакаттар
модельдер
Жаңа материалды қолдану
(сабақта қолданылатын нақты мысалдар, проблемалар, жобалар және т.б. )
30 минут
Ұжымдық тапсырма:
Жекелеген оқушыларға тапсырма
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Берілген заттардың орталарын табу үшін заттар беріледі.
Оқулық тапсырмалары орындалады.
Жетондар
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
5 минут
Үйге : №175 177
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 21.01.2016 жыл.
Сабақтың тақырыбы Бақылау жұмысы№ 4. Тікбұрышты үшбұрышты шешу
Сабақтың мақсаты
Тікбұрышты үшбұрыштың кез келген бұрышын немесе қабырғасынтаба білу, Формулаларды пайдалана білу жолдарын меңгеру дағдысын тексеру.
Есептер шығаруда формулаларды пайдалану
өз бетінше жұмыс жасау дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
есептер шығару формулаларды пайдалана алады
сыни ойлайды, өз бетінше жұмыс жасай алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алды.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, «Көңіл күй» әдісі, "Формулалар сыры" тренингі
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Көңіл күй» әдісі
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
Ұжымдық тапсырма.
"Формулалар сыры" тренингі
Оқушылар формулаларды еске түсіреді
Үш шапалақ арқылы
бағаланады.
Формулалар жазылған плакаттар
модельдер
Жаңа материалды қолдану
(сабақта қолданылатын нақты мысалдар, проблемалар, жобалар және т.б. )
Ұжымдық тапсырма:
Бақылау жұмысы№ 4
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
Үйге : қайталау Тікбұрышты үшбұрышты шешу
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 19.01.2016 жыл.
Сабақтың тақырыбы Тікбұрышты үшбұрышты салу.
Сабақтың мақсаты
Бірлесе отыра тікбұрышты үшбұрыштың кез келген бұрышын немесе қабырғасын оның берілген екі элементі бойынша табу жолдарын меңгеру.
Есептер шығаруда формулаларды пайдалану
сөйлеу дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
есептер шығару формулаларды пайдалана алады
сыни ойлайды, математикалық тілде сөйлей алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алды.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, «Қауырсын» әдісі, "Формулалар сыры" тренингі
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Қауырсын» әдісі бойынша сұрақтар қойылады
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
қауырсын
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
Ұжымдық тапсырма.
"Формулалар сыры" тренингі
Оқушылар формулаларды талдайды
Үш шапалақ арқылы
бағаланады.
Формулалар жазылған плакаттар
модельдер
Жаңа материалды қолдану
(сабақта қолданылатын нақты мысалдар, проблемалар, жобалар және т.б. )
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
Рефлекция «Чемодан»
Чемодан – бүгінгі сабақтан жиып, үйге алып кететін біліміміз
Ет тартқыш – әліде қайталауды қажет ететін білімім
Қоқыс жәшігі – бүгінгі сабақтағы керек емес нәрселер
Үйге : №172 тест 6-8
Оқушылар өздерінің сабақ бойынша пікірін айтады.
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 14.01.2016 жыл.
Сабақтың тақырыбы Тікбұрышты үшбұрыштың кез келген бұрышын немесе қабырғасын оның берілген екі элементі бойынша табу.
Сабақтың мақсаты
Бірлесе отыра тікбұрышты үшбұрыштың кез келген бұрышын немесе қабырғасын оның берілген екі элементі бойынша табу жолдарын меңгеру.
Есептер шығаруда формулаларды пайдалану
сөйлеу дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
есептер шығару формулаларды пайдалана алады
сыни ойлайды, математикалық тілде сөйлей алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алды.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, құрылған критерий бойынша бағалау, топтық және жұптық жұмыс.
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Қауырсын» әдісі бойынша сұрақтар қойылады
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
қауырсын
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
Бірлесе отыра тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының және бұрыштарының мәндерін микрокалькуляторды қолданып шығаруды менгеру, оларды есептер шығаруда қолдану.
Төрттаңбалы Брадис таблицасын пайдалану
сөйлеу дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
Кестені тиімді пайдалана алады
сыни ойлайды, математикалық тілде сөйлей алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алды.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, құрылған критерий бойынша бағалау, топтық және жұптық жұмыс.
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Қауырсын» әдісі бойынша сұрақтар қойылады
Топқа бөлу:
Кеспе қағазбен төрт топқа орналастыру.
"Синус", "Косинус", "Тангенс", "Котангенс"
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
қауырсын
кеспе қағаздар
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
электронды оқулық тапсырмасына тапсырма №1 және тест тапсырмасының №3 тапсырмасы
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Жеке тапсырмалар
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
Мен сабақта үлгердім, үлгермедім...
Үйге : №186 184
Оқушылар өздерінің сабақ бойынша үлгердігін, үлгермегендігін айтады
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 22.12.2015 жыл.
Сабақтың тақырыбы Бақылау жұмысын талдау. 30о ,45о және 60о бұрыштары үшін синустың, косинустың және тангенстің мәндері.
Сабақтың мақсаты
Тригонометриялық функциялардың кейбір мәндерімен таныстыру, оларды есептер шығаруда қолдану.
Негізгі тригонометриялық формулаларды, кестені пайдалану
сөйлеу дағдысын қалыптастыру
Күтілетін нәтиже
Формулаларын тиімді пайдалана алады
сыни ойлайды, математикалық тілде сөйлей алады.
Түінді идея
Нақты мәндерін пайдалана алдаы.
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, құрылған критерий бойынша бағалау, топтық және жұптық жұмыс.
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Шар»
Топқа бөлу:
Кеспе қағазбен төрт топқа орналастыру.
"Синус", "Косинус", "Тангенс", "Котангенс"
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады. Тілектер айтады.
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Жеке тапсырмалар
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
Үйге : №147, 148,(2),149 (2)
Не сәтті өтті?
Не сәтсіз өтті?
Нені өзгерткіңіз келеді?Нені дамыта аласыз?
α сүйір бұрышының әрбір мәніне сәйкес sinα-ның, cosα-ның, tgα-ның және ctgα-ның мәндерін анықтауға болады.
1. Катеттері а мен b, гипотенузасы с болатын, ал сүйір бұрыштары α мен β-ға тең АВС тік бұрышты үшбұрышы берілсін. Пифагор теоремасын жазамыз:
a2+b2=c2 (*)
§8, (1) және (2) формулалардан b=ccosα, a=csinα болатыны белгілі. Осы мәндерді (*) –ға қойсақ,
sin2α+cos2α=1 (1) шығады. Бұл α бұрышының синусы мен косинусын байланыстыратын теңбе-теңдік.
2. Берілген тікбұрышты үшбұрыш үшін
ctgα= болатыны белгілі. Бұл теңдіктерге b=ccosα, a=csinα мәндерін қойсақ,
(2) (3)
Аламыз. Бұл теңдіктер кез-келген α сүйір бұрышы үшін орындалатын теңбе-теңдік болып саналады.
3. (1) тепе-теңдік әрбір мүшесін сos2α-ға немесе sin2α-ға бөліп, төмендегідей екі тепе-теңдікті алуға болады:
1+tg2α= (4) 1+ctg2α= (5)
4. АВС тікбұрышты үшбұрышына сүйір бұрыштар үшін α+β=900 өрнегі Бұдан β=900-α. 30-суреттен sin=, ал cosβ=сондықтан cos(900-α). Сонда cos(900-α) =sinα (6) теңбе-теңдігін аламыз. Осы сияқты sin(900-α)=cosα (7) теңбе-теңдігін алуға болады.
Бекітемін
Пән мұғаліміМусина Алмажай ЖалгасовнаПәні ГеометрияКласы 8ә Күні 15.12.2015 жыл.
Сабақтың тақырыбы Бақылау жұмысы №3. Тригонометриялық тепе-теңдіктер.Пифагор теоремасы
Сабақтың мақсаты
Тригонометриялық тепе-теңдіктер, Пифагор теоремасына байланысты формулаларды пайдалану.
Негізгі тригонометриялық формулаларды і пайдалану
өз бетінше жұмыс жасай білуге дағдыландыру
Күтілетін нәтиже
Формулаларын тиімді пайдалана алады
сыни ойлайды
өз бетінше жұмыс жасай алады.
Түінді идея
Өз білімдерін практикада қолдана біледі, дәлелдейді
Сабақтың әдіс-тәсілдері
электронды оқулық, есептер шығару, құрылған критерий бойынша бағалау, топтық және жұптық жұмыс, «Білім кемесіне» отыру
Кіріктірілген модуль
Оқыту мен оқудағы жаңа тәсілдер, диалог, оқыту үшін бағалау және оқу үшін бағалау , АКТ, Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес оқыту және оқу, Талантты және дарынды балаларды оқыту.
Сабақтың кезеңдері
Мұғалімнің іс-әрекеті
Оқушының іс-әрекеті
Бағалау
Ресурстар
Кіріспе(сабақ басталмас бұрын оқушылар алдын-ала нені білетіндігін анықтау жұмыстары)
Психологиялық тренинг. «Шаршама»
Әр оқушы ынтымақтастықпен жұмыс жасауға дағдыланады.
Жаңа материалдың таныстырылымы
(оқушылардың жаңа тақырыпты оқып-үйренуі үшін қолданылатын жұмыс түрлері)
Ұжымдық тапсырма.
"Формуладан шатаспа"
Оқушылар формуланы еске түсіреді.
Үш шапалақ арқылы
бағаланады.
Жаңа материалды қолдану
(сабақта қолданылатын нақты мысалдар, проблемалар, жобалар және т.б. )
Ұжымдық тапсырма.
Бақылау жұмысының тапсырмасы беріледі
3 - бақылау жұмысы
1 - нұсқа
1.Ромбының қабырғасы 17 см, ал оның бір диагоналінің ұзындығы 16 см. Ромбының екінші диагоналінің ұзындығын табыңдар.
2. Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы 10 см, үлкен табаны 17 см және биіктігі 8 см. Кіші табанының ұзындығын табыңдар
3. Тіктөртбұрыштың диагоналі оның 8 см қабырғасымен 350 бұрыш жасайды. 0,1 дейінгі дәлдікпен тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар.
2 - нұсқа
1. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанының ұзындығы 30 см, ал табанына жүргізілген медианасының ұзындығы 8 см. Үшбұрыштың бүйір қабырғасының ұзындығын табыңдар.
2. Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы 15 см, ал кіші табаны 16 см және биіктігі 9 см. Үлкен табанының ұзындығын табыңдар.
3. Тіктөртбұрыштың диагоналінің ұзындығы 15 см. Ол тіктөртбұрыштың қабырғаларының бірімен 400 бқрыш жасайды. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. Жауабын ондыққа дейін жуықтап алыңдар. .
Оқушылар ақпаратты өз бетінше ұғынады және орындайды алады.
Жеке тапсырмалар
Қорытынды (оқушылардың оқып-үйрену нәтижесін анықтау үшін бағалау тәсілдерін (кері байланыс) қолдану)
4. 1+ctg2α=
3. 
6. cos(900-α) =sinα 4. 1+tg2α=
7. sin(900-α)=cosα формулалары жазылған плакат
ctgα=
болатыны белгілі. Бұл теңдіктерге b=ccosα, a=csinα мәндерін қойсақ, 
, ал cosβ=
