Геометриялы? прогрессияны? ал?аш?ы n - м?шесіні? ?осындысыны? формуласы

9 сынып. Алгебра

Сабақ тақырыбы: Геометриялық прогрессияның алғашқы

n – мүшесінің қосындысының формуласы.

Сабақ мақсаты:

білімділік: Геометриялық прогрессияның алғашқы

n – мүшесінің қосындысының формуласының қорытылуын білу. Есептер шығаруда қолдана алу.

дамытушылық: Оқушылардың танымын арттыру, есте сақтау, ойлау қабілетін дамыту.

тәрбиелік: Оқушылардың пәнге деген қызығушылығын

арттыру. Алғырлыққа, тапқырлыққа тәрбиелеу.

Сабақ көрнекілігі: Есеп жазылған таблицалар.

Дидактикалық: перфокарта, деңгейлік үлестірме тапсырмалар.

Сабақ типі: Жаңа білімді меңгеру сабағы.

Сабақтың жоспары:

І. Ұйымдастыру кезеңі: Оқушыларды түгендеу. Сабақ мақсатын хабарлау. /әңгімелеу түрінде/.

Балалар, бүгінгі сабаққа өздерің көріп отырсыңдар мектеп мұғалімдері қатысып отыр. Сендер сабаққа белсене қатысып, өз білімдеріңді көрсетулерің керек. Осы уақытқа дейін қандай тақырыптар өтіп едік?

Жауап: Арифметикалық және геометриялық прогрессия анықтамасы.

n – ші мүшесінің формуласы. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n – мүшесінің қосындысының формуласы.

Есеп: Жинақ банкісіне салған ақша жылына 3% өседі. Әкеңнің салған 50000 теңгесінің 3 жылдан кейінгі өсімі қалай болады.

Шешуі: /Тақтада бір бала орындайды/

b₁=50000 теңге.

q=1,03

b₄ - ?

b₄=50000 ∙ (1,03)³=50000 ∙ 1,092727=54636,35

Жауабы: 3 жылдан кейін 54636,35 теңге.

ІІ. Оқушыларды жаңа материалды сапалы меңгеруге дайындау.

/Өзіндік жұмыс арқылы оқушының оқу танымдық ойлау қаблетін дамыту/.

Осы өтілген тақырыптарды қайталап көрейік. Ол үшін екі топқа бөлінеміз. «Арифметикалық прогрессия» және

«Геометриялық прогрессия»

Білімді бағалау жетондар арқылы анықталады.

3 және одан да көп жетон – «5»

2 жетон - «4»

1 жетон - «3»

Команданың бағасы балдарды есептеу арқылы анықталады.

Дұрыс жауап – 5 балл – қызыл жетон.

Толық емес жауап – 3 балл – көк жетон.

Екі командаға мынадай тапсырма беріледі.

1 тапсырма: Үй шатырының алдыңғы бөлігі тақтайлармен жабылған. Ең кішісінің ұзындығы a=5 дм, ал әрбір келесісі 2 дм ұзын. 10 тақтайдың ұзындығын жаз.

2 тапсырма: Ғалым бір жәндіктің әрбір минутта сондай екі жәндікке бөлінетіндігін анықтады. Бір жәндіктің 10 минутта көбеюі қалай болады.

1. Есеп шартына сай тізбекті жаз.

5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23. 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024.

1. Арифметикалық прогрессия 2. Геометриялық прогрессия үшін

үшін айырманы тап: еселікті тап:

a_n+1 – a_n=d b_n+1 : b_n=q

7 – 5=2; d=2. 4:2 = 2; q=2.

1. Арифметикалық 3. Геометриялық прогрессияның

прогрессияның анықтамасы. анықтамасы.

1. Берілген тізбек үшін n – ші мүшесінің формуласын жаз:

a_n = a₁ + (n – 1) d b_n = b₁ ∙ q^{n – 1}

a₁₀ = a₁ + 9d b₁₀ = b₁ ∙ q⁹

1. Арифметикалық

прогрессияның алғашқы

n – мүшесінің қосындысының

формуласы.

S_n =

S_n =

ІІІ. Жаңа білімді меңгеру кезеңі.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n – мүшесінің қосындысының формуласы.

Жаңа сабақты бастамас бұрын мына есепті шығарып көрелік.

Бір күні бір жолаушы 1 бай саудагерге келіп былай деді: «Мен саған 30 күн бойы күнделікті 100000 теңге әкеліп тұрамын. Бірінші күні 100000 теңгеге – 1 тиын, екінші күні 100000 теңгеге – 2 тиын, үшінші күні одан 2 есе артық 4 тиын т.с.с. әр күн сайын еселеп өсе беретіндей мөлшерде ақысын бересің. Егер келіссең ертеңгі күннен бастаймыз» деді. Саудагер бұндай пайдаға қуанды. 30 күнде жолаушыдан 3000000 (үш миллион) теңге алатындығын есептеп шығарды. Келесі күні нотариусқа барып келісімге отырды.

Бұл келісімде кім ұтты: саудагер ме, әлде жолаушы ма.

/Проблемалық ситуация/

1; 2; 4; 8; 16; 32; демек бұл геометриялық прогрессия.

q=2; a₁ =1; n = 30

30 күндегі жолаушының алатын ақысын есептеу бұл оңай жұмыс емес. Ол үшін не істеуіміз керек. «Геометриялық прогрессияның алғашқы n – мүшесінің формуласын жалпы түрде қорытып шығаруға болама?».

Ежелгі үнділерде мынадай бір аңыз бар: Шахматты ойлап шығарған адам өзінің тапқырлығы үшін сыйлық ретінде шахмат тақтасының бірінші шақпағына бір бидай дәнін, екіншісіне – одан 2 есе көп, яғни 2 дән, а үшіншісіне – одан 2 есе көп, яғни 4 дән, т.с.с. 64 шақпаққа дейін еселеп өсе беретіндей мөлшерде бидай беруді сұраған. Сонда шахматты ойлап шығарған адам қанша дән алуға тиіс?

Бұл сөз болып отырған дәндердің саны бірінші мүшесі 1-ге, ал еселігі 2-ге тең геометриялық прогрессияның алпыс төрт мүшесінің қосындысына тең.

S = 1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2⁶² + 2⁶³

2 S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +…+ 2⁶³ + 2⁶⁴

2 S – S = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ +…+ 2⁶³ + 2⁶⁴) – (1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2⁶² + 2⁶³)=2⁶⁴ - 1

S = 2⁶⁴ – 1

Саны осындай бидай дәнінің массасы триллион тоннадан асатынын есептеп табуға болады.

Ал, бұл адамзаттың осы уақытқа дейінгі өсірген бидайының мөлшерінен әлдеқайда артық.

Енді геометриялық прогрессияның алғашқы n – мүшесінің қосындысының формуласын қорытып шығарайық.

(b_n) – геометриялық прогрессия болсын.

Алғашқы n – мүшесінің қосындысын S_n арқылы өрнектейміз.

S_n = b₁ + b₂ + b₃ +…+ b_{n – 1} + b_n (1)

Теңдіктің екі бөлігін де q – еселікке көбейтеміз.

S_n ∙ q = b₁ ∙ q + b₂ ∙ q + b₃ ∙ q +…+ b_{n – 1} q + b_n q

b₁ ∙ q = b₂; b₂ ∙ q = b₃; b₃ ∙ q = b₄ . … b_{n – 1} q = b_n

S_n ∙ q = b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n + b_n q (2)

S_n ∙ q - S_n = b_n q – b₁

S_n (q – 1) = b_n q – b₁ q ≠ 1 дейік.

S_n = - геометриялық прогрессияның алғашқы n – мүшесінің қосындысының формуласы.

b_n = b₁ ∙ q^{n – 1}

S_n = q ≠ 1

IV. Жаңа білімді бекіту кезеңі:

/Кітаппен жұмыс/ Отырған оқушыларға деңгейлік тапсырмалар беру.

№ 252

(b_n) – геометриялық прогрессия

3) 3; - 6; ...;

b₁ =3;

b₂ = -6;

S₅ - ?

S_5 ; q = b₂ : b₁ = -6 : 3 = -2.

S_5

Жауабы: S₅ = 33

7) (c_n) – геометриялық прогрессия.

c₁ = -4;

q = 3;

S₅ = ?

S_5

Жауабы: S₅ = -484.

№ 254

1. b₅=-6;

b₇=-54;

S₆ - ?

_;

q = 3; S_{6 }

q=-3; S_{6 }

Жауабы: q = 3; S_{6 }

q=-3; S_{6 }.

1. b₁=125;

b₃=5;

S₆ - ?

_; S_{6 }

_S_{6 }

Жауабы: _S_{6 }

_S_{6 }

V. Жаңа білімді меңгеруін тексеру

1. Сонымен геометриялық прогрессияның n – ші мүшесінің формуласы неге тең.

2. Саудагер мен жолаушының келісімінде кім ұтты. Саудагер ме, жолаушы ма?

VI. Сабақты қорытындылау:

• жетондарды санау, баға қою.

/жетон саны бойынша бала өзіне-өзі баға қояды/

VII. Үйге тапсырма: № 252 (1,2,4), № 254 (2,4).