Геометриядан ?БТ есептерін шы?ару

мен ?ара?анды обылысы с?тбае ?аласыны? № 7 жалпы орта мектебіні? І санатты математика п?ніні? м??алімімін,Жез?ез?ан педагогикалы? иниститутыны? математика физика факултетін бірмы? то?ызж?з сексен жетінші жылы бітірдім. К?зіргі та?да № 7 жалпы орта білім беретін мектебінде ж?мыс істеймін. Ту?ан жерім ?ара?анды обылысы, Улытау ауданы, Сарыкенгир селосында бір мы? то?ыз ж?з алтпыс ?шінші жылы д?ниеге келдім. Бір ?ызым, бір ?лым бар. Т?рт немерем бар.К?зіргі та?да 5В т?зету- дамыту сыныбыны? сынып жетекшісі болып ж?мыс істеймін.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Геометриядан ?БТ есептерін шы?ару»

Байқадам атындағы орта мектебі

ҰБТ-ке дайындық

(стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)

Пән мұғалімі: Сейтқазиев Ж.Т.

2011-2012 оқу жылы

Байқадам атындағы орта мектебінің жоғары санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі Сейтқазиев Жанат Тұрарұлының

«ҰБТ-ке дайындық» (стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары) жинағына

Пікір

Есептер жинағында, бірнеше жылдардан бері ҰБТ-де кездесіп отырған стреометрия курсы есептерінің шығару жолдары және оларға сәйкес сызбаларымен көрсетілген.

Жинақ 8 бөлімнен тұрады. Әр бөлімге қысқаша анықтамалық мәліметтер мен формулалар берілген. Құрастырылған есептер жинағы ҰБТ-ке даярланушыларға, өз беттерімен жұмыстану барысында үлкен көмек көрсетеді.

Мұғалімнің «ҰБТ-ке дайындық» есептер жинағы талапқа сай орындалған және бекітуге ұсынылады.

Пікір айтушы: Байқадам атындағы орта мектебінің жоғары санатты математика пәнінің мұғалімі Ермаханова Гулнар.

Мазмұны:

І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері

ІІ бөлім. Пирамида

ІІІ бөлім Параллелепипед

ІҮ бөлім Куб

Ү бөлім Призма

ҮІ бөлім Шар

ҮІІ бөлім Цилиндр

ҮІІІ бөлім Конус

І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері

2003ж

№1(4 нұсқа №28)

А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және жазықтықпен 60⁰ бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.

AD=18, 60⁰

AK-?

AK=18
2004 ж

№2. (12 нұсқа №28)

АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А,В,С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің прокциялары.

Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

АD =4,

DB=6,

MK= 6

PN=9,

MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28)

АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді.Егер AC= 15, AB= 20, KP=4 болса, КС –ны табыңыз.

KC=3
№4 (26 нұсқа №28)

Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді.Оның ұштары жазықтықтан 3 см және 2 см қашықтықта жатыр.Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

АВ=10см

АР=2см

ВD=3см

BC=BD+DC=2см+3см=5см

=sin

Sin=

=30⁰
⁰

2006 ж

№5 (14 нұсқа №24)

Ұзындығы 2,4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС тік бұрышты (⁰) үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=6, BC=8, BK=2,4

KN-?

AN=x

NC=10-x

BN²=AB²-AN²

BN²=BC²-NC²

36-x²=64-(10-х)²

20х=7,2

Х=3,6

BN²=36-3,6²

BN=4*8
KN²=BK²+BN²

KN²=5,76+23,04=28,8

KN=2,4

№6

Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген нүкте жазықтықтан 8 см қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын табыңыз.

AB=10, AC=17, AH=8

BH, HC-?

BH²=AB²-AH²

BH²=100-64=36

BH=6

HC²=AC²-AH²

HC²=289-64=225

HC=15

2009ж

№7(22 нұсқа №19)

АВ кесіндісі а жазықтығын қияды.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А,В және С нүктелері арқылы жазықтығын М,К және Р нүктелерінде қиятын параллель түзулер жүргізілген.

Егер АM=, BP =дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

BN= BP+PN

BN=+дм=4дм

АВN үшбұрышының орта сызығы- CD

СD=BN:2=2

CK=CD-KD=2-=
№8 (1 нұсқа №19)

А(3; -2;-4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз.

A(3;-2;-4)

ОУ осіндегі А₁(0;-2;0)

XOZ жазықтығындағы А₂(3;0;-4)

АА₁=

АА₂=

АА₁+ АА₂=5+2=7

№9 (7 нұсқа №24)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал ⁰, AE ABCD және ВС түзуінен 8қашықтықта жатыр. В,С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AB=8, EK=8

S_ромб=a²sin135⁰

S=32

S=ah

h=S:a=4

cos

=60²

№10 (19 нұсқа №19)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал ⁰ Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры тұрғызылған.Е нүктесі АD түзуінен 4қашықтықта. Е нүктесінен АВС жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=8, EK=4

⁰

⁰

AK²+KB²=AB²

2KB²=64

KB²=32

BE²=EK²- KB²

BE²=96-32=64

BE=8

ІІ бөлім. Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

SA-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі

(апофемасы)

V- көлемі

S_т.б-толық бетінің ауданы

S_таб-табанының ауданы

S_б.б-бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V=S_таб H

S_т.б= S_б.б+ S_таб

Дұрыс пирамида үшін: S_б.б=PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р₁, Р₂-табандарының периметрі

S_1, S₂-табандарының аудандары

V=H(S₁+S₂+)

S_б.б=(P₁+P₂) A

2003 ж Тест жинағы

№1 (1 нұсқа №12)

Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SH=3 см

AB= 2см

SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ;

OH=

SO²=SH²-OH²

SO==2

Жауабы:2см

№2. (1 нұсқа №21)

Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

ИО=3x, ОН=2x

S_КМР=S₁; S_ABC= S₂

S₁=9y; S₂= 25y

V_ИКМР=ИО* S₁=*3x*9у=9 ху

V_{қиық пир}=ОИ (S₁+S₂+)=*2x (9y+25y+)= *98 xy

==

№3 (2 нұсқа №10)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

AH=2

SA==

Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

SH=9 см , SA= 12 см , V=?

НС==3

AC=6

AB²+BC²=252

S=AB²= 126

V=S H

V=*126 *9=378см³Жауабы:378см³

№5 (4 нұсқа № 21)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.

SH=80 cм,

AB=120 cм

S_KFNM-?

AC=

AH=60

SA==20

КМ=SA:2=20:2=10

MN=BC=120

MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30

KO==50

S_KFNM=4500cм²

№6 ( 5 нұсқа № 10)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120⁰. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

⁰

AC²=AB²+BC²

1) ABC

AC==20

2) AFC

FC=(20.):=20

3) FBC

BF==

SC²=SF²+FC²

SC=x,

SF= x-

X²=( x-)²+(20)²

X²=X²-2X+()²+

X=

X=10

SC=10

SK²=SC²-KC²=(10)²-10²=200

SK=10

S_б.б=P_ABCDSK= *80* 10= 400

№7 (5 нұсқа № 21)

Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,

AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм

S_ABC=AB*BC= *4*5=10

V= S_ABC.SB=*10*6=20 cм³

№ 8 (7 нұсқа № 21)

Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

⁰, SO-?

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12):2=16

S==48

=tg60⁰

r=КО=48:16=3

SO=3cм

№9 (8 нұсқа №30)

Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

AH= r-ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

R=

AS===

AS=L

L²=2RH

R==6,35

№10 (10 нұсқа №21)

Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 60⁰,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

ABCD-ромб, ⁰⁰, V-?

S_ромб=a²sin 60⁰=14² *=98

AHD

DH = sin60⁰

AD

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, ⁰.

⁰

V= S_ромб SO=*98*=343 cм ²

№11 (11 нұсқа №10)

Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

SA=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC==4

HC=AC:2=4:2=2

SH==1

V=AB² SH=*16*1=5cм³

№12 (13 нұсқа №10)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V-?

HC==3

AC=2HC=6

AB²+BC²=AC²

AB²=6:2=3

V=AB²SH=*3*4=4 cм³

№13 ( 14 нұсқа №12)

Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SA=SB=SC=SD=4 cм,

AB=2, SH-?

AB²+BC²=AC²

AC==2

HC=

SH==cм.

№14 (17 нұсқа №21)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_б.б=2cм,

AB=2cм.

V-?

S_б.б=P_ABCD.SM,

SM- бүйір жағының апофемасы

SM=2S_ABCD:P=4:8=

SH=

V= *4*=2 cм³

№15 (23 нұсқа №19)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_ASC=S, V-?

=ctg

SH=h

AH=hctg

AC=2hctg

AB²+BC²=AC²

2AB²=(2hctg)²

AB²=2h²ctg²

S_ASC=AC* SH=*2hctg*h=h²ctg

h=

AB=

S_ABCD=()²=2Sctg V=2Sctg=

№16 (29 нұсқа №21)

Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. S_б.б-?

S_ASD=AD SD=*20*21=210

S_ABS=AB AS=*20*29=290

S_б.б=2 (S_ASD+ S_ABS)=(210+290)*2=1000 дм²=10м²

№17 (34 нұсқа №8)

Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,

SA=10cм

SH-?

AH=R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=6

SH=

№18 (34 нұсқа №19)

Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2см арасындағы бұрышы 30⁰-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2cм, ⁰

SH=AB, V-?

S=AC* BD *sin30⁰=*4*2*=2 cм²

AB=

V=*2*1=cм³

2004 жыл №19 (4 нұсқа №26)

ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар

12 м, 14 м , 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?

SA=12 м, SB=14 м, SC=18м

SD=?

AB=x, BC=y, SD=z

X²+z²=144

Y²+z²=196

X²+y²+z²=324

144-z²+196-z²+z²=324

Z²=16

Z=4м

Жауабы: SD=4м

№20

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.

SA= см

⁰

AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы

=cos60⁰

AH=.

SH==

SA²=2R*SH

R= = см

2005 ж

№21 (4 нұсқа №30)

Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.

AB=x

SH=h

R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=

AS²=SH²+AH²

X²=()²+h²

X²-=h²

X²=h² S_ABC=

S_т.б=4

№22 (5 нұсқа №21)

Көлемі 4 см³, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

V=4cм³

AB=2 см

S_ABCD=2²=4см²

V= S_ABCD*SH

SH=3V: S_ABCD

SH=12:4=3

АС=2, HC=

SC=

№23.(15 нұсқа №16)

Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 60⁰ бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, AB=a

⁰

S_т.б=S_таб+2(S_ASD+S_SAB)

S_таб=a²

SD= tg60⁰

AD

SA=a

S_ASB=AS*AB=*a*2a=a²

S_SAD= AD*SA=*a* a=a²

S_т.б=a²+2(a²+a²)²=a²(3+)

2006 ж

№24.(14 нұсқа №30)

Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м² болса, табан ауданы неге тең?

SH₁=2SH S₁=2 м²

=()²

S₁=8 м²

№25 (17 нұсқа №13)

MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз.

MO=7, MA=14.

AO²= MA²-MO²

AO=

M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7;0;0)

MO(0;0;7)

MC(-7;0;7)

=0+0+49=49
2007 ж

№26 (6 нұсқа №24)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_таб=

ABC:

CB²=CE²+EB²-2CE *CB cos120⁰

CE=x

a²=3x²

x=

SAC:

AE²=AC²-CE²

AE==a

AS=CS=y

ES²+EC²=SC²

ES=AS-ES
(y- a)²+=y²

y²-2ax+2+= y²

y=

AS=

SAH: AH=

SH²=AS²-AH²

SH=

V= S_таб SH=**=

2009 ж

№27 (1 нұсқа №18)

Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 30⁰ төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 60⁰бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш

⁰, BC=30, ⁰

SH=?

AB=60

AC=

R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=AH

R==30

tg60⁰

SH=30

№28 (2 нұсқа № 19)

SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см ,

SB=5 см ⁰болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

BС=18 см, AB= 12 см ,SB=5 см ⁰SO-?

AC=

m-ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы

m=

BO-АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі

BO==4

SO²=SB²+BO²

SO=

№29 (3 нұсқа №25)

Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.

AB=3, BC=7, AC=6, SH=4

SA-?

AC²+BD²=2(AB²+BC²)

BD²=2(9+49)-36

BD²=80

BD=4

BH=BD:2=2

SB²=SH²+BH²

SB²=16+20=36

SB=6

SA²=9+16=25

SA=5

№30 (7 нұсқа №25)

М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см , DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

R_ABCD=R_ABD

AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2

DK²=AD²-AK²

DK²=36-4=32

DK=4

DB²=DK²+KB²
KB=AB-AK=12-2=10

DB²=32+100=132

DB=2

P_ABD=(12+2+6):2=9+

S_ABD=

R_ABD=

MO=

№31 (13 нұсқа №25)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰ жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз.

AC=4

⁰

r_c_фера-?

AB²+BC²=AC²

2 AB²=96

AB²=48

AB=4

OH=2

⁰

r_c_фера=r tg30⁰=2*=2
S=4 r_c_фера²=4*2²=16

№32( 15 нұсқа №24)

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30⁰-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.

OSK=30⁰

r_ABC=

SK=2OK=2=

SO=

r_c_фера=

a=6

AB=3

№33 (16 нұсқа №24)

Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 60⁰-қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

AC=6, BC=8, AC=10

OK=(6+8-10)/2=2

⁰

SK=2OK=4

SO²=SK²-OK²

SO²=16-4=12

SO=2

№34 (25 нұсқа №25)

Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_ASB=P, S_BSC=Q, SB=a V-?

AB=x, BC=y

S_ASB=AB SB

x=2P:a

S_BSC=BC* SB

y=2Q:a

S_ABC=AB* BC=

V=

2010 ж

№35 (9 нұсқа №24)

МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз.

AK²=AB²-BK²

AK²=36-9=27

AK=3

KN=3

AN=3

P=3+3+3=3(2+1)
№36(15 нұсқа №24)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.

S_ASC=S_таб

AS=5 , S_таб-?

SH=h

AB=x

AH²=AS²-SH²=25-h²

AC=

AC²=2AB²

AB²=2 (25-h²)

S_ASC=AC *SH S_таб= AB²

h=2 (25-h²)

h=

h²=4(25-h²)

5h²=100

h²=20

h=2

AB²=2(25-20)=10

S_таб=10

№37 (5 нұсқа №29)

Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

AB=AC=BC=3

MN=NK=MK=2

S_б.б= S_ABC+ S_MNK

V-?

R_ABC=

S_таб=

S_ABC=
S_MNK=

S_б.б=(P_ABC+P_MNK) m, m-бүйір жағының апофемасы

S_б.б=

m=

R_ABC-R_MNK=

H_пир=

V=

№38 (16 нұсқа №29)

Табандарының ауданы 16 см² және 4см², ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

S_ABC=16 см²

S_MNK=4см²

H=3 см

V-?

V=3 (16+4+)=28 см³

№39 (17 нұсқа №24)

Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең.Пирамиданың көлемін табыңыз.

H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52

P_MNK=72, V-?

P_ABC=24+29+52=108

S_ABC=

S_MNK=120

V=*10 *(270+120+)=1900м²

ІІІ бөлім Параллелепипед.

Параллелепипед –барлық жақтары параллелограммдар болатын призма.

Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед.

а,в,с- қабырғалары, d-диогональ

Тік параллелепипедтің барлық жақтары –тік төртбұрыштар.

V=abc;

S_б.б =2c(a+b)

S_т.б=2(ab+bc+ac)

d²=a²+b²+c²

2003 ж

№1 (3 нұсқа №21)

Жақтарының аудандары 6 см², 2см²және 3см² тең тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

S₁=ab

ab=6 b=6:a

S₂=ac

ac=2 c=2:a

S₃=bc

bc= 3

a²=4
a=2

b=6:2=3

c=2:2=1

V=abc=6cм³

№2(8 нұсқа №19)

Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 45⁰ бұрыш жасайтын тік бұрышты табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.

с=4см

d=4cм

а²+в²=d²

2a²=16

a²=8

S_таб= a²

S_таб=8

V=8*4=32cм²
№3 (9 нұсқа №19)

Тік бұрышты параллелепипедтің табан қабырғалары 7 дм және 24 дм, биіктігі 8 дм. Диогональдық қимасының ауданын табыңыз.

a=7 дм

b=24дм

c=8 дм

d²=a²+b²

d²=49+576=625

d=25

S_қима=25*8=200дм²= 2м²
№4.( 15 нұсқа №21)

Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбеден шығатын үш жағының диогональдарының ұзындығы 2см, 2см және 10 см. Параллелепипедтің диогоналін табыңыз.

d₁=2см, d₂=2см, d₃=10 см. d=?

а²+в²=(2)²

a²+c²=(2)²

в²+с²=10²

в²=40-а²

с²=68-a²

40-а²+68-a²=100

2a²=8 a²=4

в²=40-4=36

с²=68-4=64

d²=4+36+64=104

d=

№5 (20 нұсқа №19)

Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 15м, 50м,36м. Оған тең шамалас кубтың қырын табыңыз.

a=15м, b=50м, c= 36м

V=15*50*36=27000м²

V_k=a³

a³=27000

a=30м

№6(22 нұсқа №19)

Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 2 см және 4 см, ал арасындағы бұрыштың синусы -ке тең. Егер кіші диогоналінің ұзындығы 4 см-ге тең болса, параллепипедтің кіші диогоналі мен табанының арасындағы бұрышты табыңыз.

a=2cм, b=4cм

sinA=

d=4

₁-?

cosA=

d²=a²+b²-2abcosA

d²=4+16-2*2*4*=20-12=8 , d=2
=cos₁

cos₁=,

₁=60⁰

№7 (30 нұсқа №30)

Тік параллелепипедтің бүйір қыры 1м, табан қабырғасы 23 дм, 11дм, ал диогоналінің қатынасы 2:3. Диогональдік қимасының ауданын табыңыз.

c=1м=10дм, a=23дм, в=11дм

d₁:d₂=2:3

d₁=

d₂²+d₂²=2(23²+11²)

d₂²=1300=900
d₂=30

d₁==20

S₁=20дм* 10дм=200дм²=2м²

S₂=30 дм* 10дм=300дм²=3м²

№8

Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3 см² тең ромб, ал диогональдық қималарының аудандары 3см² және 2см². Параллепипедтің көлемін табыңыз.

S_ромб=3 см²

S₁=3см²

S₂=2см²V-?

S_ромб=d₁d₂

S₁=d₁h

S₂=d₂h

d₁=3:h

d₂=2:h

=3

h=1cм

V=3*1=3cм²

2005ж№9 ( 2 нұсқа №20)

Тік параллелепипедтің табанның бұрыштарының бірі 30⁰ болатын параллелограмм. Табан ауданы 4дм², ал бүйір жақтарының аудандары 6дм² және 12дм².

Параллепипедтің көлемін табыңыз.

S_таб=4дм²

S₁=6дм²

S₂=12дм².

⁰

V-?

S_таб=ab sin30⁰

ab= 8

bc=6

ac=12

a=8:b

c=6:b

b²=4 , b=2, a=4, c=3

V= S_таб h=4*3=12дм³

№10(18 нұсқа №28)

Тік параллепипедтің табаны-бір бұрышы а-ға тең ромб. Параллепипедтің S_б.б=S болса, параллепипедке іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

S_б.б=Ph, P=4a

4ah=S

h=S:(4a)

S_ромб=a²sin a

S_ромб=ah=2ra

a²sin a=2ra

r=a sin a S_б.б.цил=2rh =2 a =

2007 ж

№11 (10 нұсқа №24)

Табан қабырғаларының 2 дм жәнедм, арасындығы бұрышы 30⁰-қа тең көлбеу параллепипедтің кіші диогональдық қимасы ромб болады және ол табанына перпендикуляр. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ жасаса, Параллепипедтің көлемін табыңыз.

AB=2, BC=, ⁰

BDNP –ABCD-ға перпендикуляр

⁰

V-?

BD²=2²+²-2*2**cos30⁰=7-6=1

BD=1

S_BDNP= BD²sin60⁰=

S_BDNP=ah

h=:1=
S_таб=2*sin30⁰= V= S_табh=*=1,5

2009ж

№12 (8 нұсқа №18)

Тік бұрышты параллелепипедтің биіктігі 8 см, табан қабырғасы 5см және 6 см. Төменгі табанының кіші қабырғасы және оған қарама-қарсы жатқан жоғары табанының қабырғасы арқылы өтетін қиманың ауданын табыңыз.

a=6 , b=5, h=8

S_қима-?

d²=64+36=100

d=10,

S=10*5=50 cм
№13 (14 нұсқа №24)

Диогональнің ұзындығы L-ге тең және ол диогональ бір жағымен 30⁰, екінші жағымен 45⁰ бұрыш жасайтын тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

AC₁=L

₁AC₁=30⁰

₁=45⁰

V-?

AC₁²=AC²+CC₁²

AC=CC₁=x,

2x²= L²

AC=

AB₁C₁

B₁C₁=L:2,

AC²=AB²+BC²

BC²=()²-

BC=L:2

S_таб=АВ²== V=*=

2010 ж

№14 (5 нұсқа №24)

Тік параллелепипедтің табан қабырғасы 3 және 5 см-ға, табанының бір диоганалі 4 см. Кіші диогоналі табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, параллепипедтің үлкен диогональін табыңыз.

а=3cм, b=5cм, D₁=4cм,

₁=60⁰, AC₁-?

D₁²+D₂²=2(3²+5²)

D₂²=68-16=48

D₂=

=tg60⁰

BB₁=4

AC₁==10

№15 (7 нұсқа №25)

Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері а, в,с. Сырттай сызылған сфераның ауданын табыңыз.

S_сфера=4R²

R=D:2

D²=a²+b²+c²

R²=( a²+b²+c²)

S_сфера=4( a²+b²+c²)= ( a²+b²+c²)

№16 (13 нұсқа №9)

M( 2;0;0) H( 0;0;0) P( 0;4;0) H₁(0;0;4) MHPKM₁H₁P₁K₁ тік бұрышты параллелепипедтің төбелері болса, М₁нүктесінің координатасын табыңыз.

M₁(2;0;4)

ІҮ бөлім Куб

Куб- барлық жақтары квадрат болатын тік параллелепипед.

a=b=c

V=a³

S_б.б=4a²

S_т.б=6a²

d=a
2003 ж № 1 (6 нұсқа №10)

Қыры 4 см –ге тең куб берілген. АВ қыры және СС₁ қырының ортасы арқылы қима жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.

CE=2 cм

ET=4 cм

BE²=BC²+CE²

BE²=16+4=20

BE=2

S_ABET=4*2=8

№ 2 (6 нұсқа №28)

Кубқа сырттай цилиндр сызылған. Кубтың бетінің ауданы S-ке тең болса, онда цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз.

S_{куб т.б}=S

S_{куб т.б}=6a²

a=

R=AC:2

AC²=()²+()²

AC=

R=

H=

S_цил _т.б= 2R (H+R)=2(+)=

№ 3 (27 нұсқа №21)

Кубтың диогоналі 12 см-ге тең. Көлемін табыңыз.

D²=3a²

a²=D²:3

a=

V=

№ 4 (30 нұсқа №19)

Кубтың толық бетінің ауданы 96см² Кубтың көлемін табыңыз.

S_{куб т.б}=6a²

6a²=96

a²=16

a=4

V=4*16=64cм³

2004ж

№5 (3 нұсқа №29)

Кубтың А және С₁төбелері арқылы және ДД₁ қырының ортасы арқылы қима жүргізілген. Қима ауданы 50тең болса, кубтың қырын табыңыз.

S_AM_C_N=50

AC=a

AC=a

S_ABCD= S_AM_C_N cos C

cos C=

a²=50=100

a=10

2004 ж

№6

Қыры 2 см –ге тең кубтың ВС және А₁Д₁ қырлары арқылы жазықтық жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.

A₁B=4

S_қима=4*2=8cм²

2005 ж

№7 (20 нұсқа №29)

Кубтың қыры а-ға тең. Іштей сызылған шардың радиусын табыңыз.

r=a:2

№8 (34 нұсқа №26)

Кубтың қыры а-ға тең. Диогоналі табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген?

AC=a

AC₁=a

Sin₁AC=

₁AC=arcsin

2010 ж

№9 (8 нұсқа №24)

Кубтың АС₁ түзуі мен табан жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AC=a

AC=a

cos C=

C=arccos

№10 (21 нұсқа №25)

Кубтың диогоналі –а. Осы кубқа сырттай сызылған цилиндрдің көлемін табыңыз.

AB=x

AC₁=a

a²=3x²

x=

R=AC:2

AC²=AB²+BC²

AC=

R=

S_цил=R²=()²=

V= S_цилH==

№11 (23 нұсқа №25)

Қыры 2-ге тең куб берілген. М-ВСВ₁ С₁ жағының центрі.МД және ВВ₁ қырларының арасындағы бұрыш неге тең?

M(0;1;1), В(0;0;0)

D(2;2;0), В₁(0;0;2)

MD(2;1;-1) ВВ₁(0;0;-2)

Cos a=

a=arccos

№12 (24 нұсқа №25)

Қыры 1-ге тең куб берілген. АД₁мен АС₁ векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

A(1;0;0) С₁(0;1;1)

Д₁(1;1;1)

АД₁(0;1;1)

АС₁(-1;1;1)

АД₁*АС₁=-1*0+1*1+1*1=2

№13 (25 нұсқа №25)

Қыры 2-ге тең куб берілген. АВ₁ және ВС₁ кесінділерінің орталарының арақашықтығы неге тең?А(2;0;0) В(0;0;0)

В₁(0;0;2) С₁(0;2;2)

М(1;0;1) N(0;1;1)

MN²=(0-1)²+(1-0)²+(1-1)²MN=
Ү бөлім Призма.

Екі жағы параллель жазықтықтарда жататын өзара тең көпбұрыштар, ал қалған жақтары осы көпбұрыштармен ортақ қабырғаларыбар параллелограмдар болып келген көпжақты призма деп атайды.

Табандары-тең көпбұрыштар,

Бүйір жақтары-параллелограмдар,

Бүйір қырлары -өзара параллель.

V=SH

S_б.б=PL, L-бүйір қыры

S_т.б= S_б.б+2S_таб

Тік призма деп бүйір қырлары табандарына перпендикуляр призмаларды атайды.

L=H, V=SH, S_б.б=PH

2003 ж

№1 (2 нұсқа №29)

Төртбұрышты дұрыс призма шарға іштей сызылған. Шардың радиусы 5 см, ал призманың табанының қабырғасы 6 см болса, онда призманың биіктігін табыңыз.

AB=6 cм, AO=5 cм, H_призма-?

AC=6

R_шар=(+Rтаб²

R_таб=AC:2=3

625=(+(3)²

H²=28

H=2

№2 (11 нұсқа №21)

Тік призманың табаны-ромб, ал призманың диогоналдары 8см және 5 см. Призма биіктігі 2 см. Табан қабырғасын табыңыз.

AP=8, BN=5, CP=2

AB-?

AC²=AP²-CP²

AC²=64-4=60

AC=4

BD²=BN²-BD²

BD²=25-4=21

BD=

AB=
№3 (12 нұсқа №21)

Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары өзара тең. Оның бүйір бетінің ауданы

48 см². Биіктігін табыңыз.

S_б.б=48 см².

S_б.б=PH

3a*a=48

a²= 16

a=4

H=4cм

№4 (13 нұсқа №21)

Тік үшбұрышты призманың табанының қабырғалары 10см, 17см, 21 см, ал призма биіктігі 18 см. Призманың бүйір қыры мен табаының кіші биіктігінен өтетін қиманың ауданын табыңыз.

p=

S=

S=AB*CH

CH=2S:AB

CH= 168:21=8cм
№5 (18 нұқса №21)

Үшбұрышты дұрыс призманың табанының ауданы 12 тең. Егер призманың биіктігі табанының қабырғасынан 2 есе үлкен болса, онда призманың көлемін табыңыз

S_таб=12

MA=2AB

S_таб=

=12
a²=48 a=4

MA=2*4=8

V=12*8=288 cм³

2004 ж

№6

Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32м², ал толық бетінің ауданы 40м². Биіктігін табыңыз.

S_б.б=32м², S_т.б=40м²

S_т.б= S_б.б+2 S_таб

S_таб==4

S_таб=a²

a²=4, a=2

S_б.б=PH
P=4*2=8cм

H= S_б.б:P

H=32:8=4cм

2006 ж

№7 (21 нұсқа №24)

Тік призманың табанында төбесіндегі бұрышы болып келетін тең бүйірлі үшбұрыш жатады. Осы бұрышқа қарсы жатқан жағының диогоналі L ге тең және табан жазықтығымен бұрышын жасайды. Призманың көлемін табыңыз

, EC=L,

Үшбұрыш AEC:

, AE=L sin, AC=Lcos

Үшбұрыш ABC:

AH=AC= Lcos

=ctg

BH= Lcos ctg

S_ABC=AC* BH= Lcos* Lcos ctg

S=L² cos² ctg

V=L² cos² ctg* L sin =L³ sin2cos ctg

№8 (27 нұсқа №13)

Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтығы 10см, 17 см, 21см, ал бүйір қыры 18 см. Призманың көлемін табыңыз

AB=10, BC=17, AC=21,

L-бүйір қыры, L=18

p=

S=

V=S_ABC*L, L-бүйір қыры

V=84*18=1512cм³
2007 ж №9 (5 нұсқа №24)

Дұрыс төртбұрышты призманың диогоналі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30⁰, ал табанының қабырғасы а-ға тең. Призманың көлемін табыңыз.

TAM=30⁰, AB=a V-?

TM=a, MA=2a

MA²=a²+a²+h²

h²=4a²-2a²=2a²

h=a

S_ABC=a²

V= S_ABC*h=a²*a=a³

№10 (11 нұсқа №14)

Төртбұрышты дұрыс призманың диогоналі бүйір жағымен 30⁰ бұрыш жасап көлбейді. Диогоналінің табан жазықтығымен жасайтын бұрышын табыңыз.

⁰, AB=a V-?

TM=a, AM=2a

AC=a

cos= =45⁰

№11 (15 нұсқа №24)

Үшбұрышты дұрыс призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 45⁰ бұрыш жасайды.Табан қабырғасы а-ға тең болса, призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AB=a, ⁰

S_б.б-?

OC²=BC²-OB²

OC=

=tg45⁰

KC=
H=2*=a

P=3a

S_б.б=PH=3a* a=3a³

2009ж №12 (2 нұсқа №18)

Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2м, ал қалғандары 3м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4м. Осы призмамен көлемдері бірдей кубтың қырын табыңыз.

AB=2м, AC=BC=3м, AM=4м,

V_призма=V_куб

P=

S=

V_призма=SH=2*4=8
V_куб=a³ a³=8 a=2

2010 ж

№13 (11 нұсқа №9)

А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0) В₁(0;0;2) АВСА₁В₁С₁ призманың төбелері болса, С₁ нүктесінің координатасын табыңыз.C₁(0;2;2)

№14 (11 нұсқа №25)

Дұрыс төртбұрышты призманың табанының диогоналі 4см, бүйір жағының диогоналі

5 см. Осы призмаға іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AC=4см

AT=5 см

Sб.б-цилиндр-?

Sб.б=2RH

AC²=AB²+BC²

2AB²=32

AB²=16

AB=4

AP²=AT²-PT²=25-16=9

AP=3 см
R=AC:2=4:2=2

Sб.б=2RH=2*2*3=12 см²

ҮІ бөлім Шар

Жарты дөңгелек өзін шектейтін диаметрден айналғанда шығатын фигураны шар деп атайды.

V=R³

S=4 R²

2003ж

№1 ( 1 нұсқа №27)

Шардың радиусы 8 см-ге, ал қиманың радиусы см-ге тең. Шардың центрінен қима жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

R=OB=8 см

AB= см

AO-?

AO²=OB²-AB²

AO²=64-15=49

AO=7см
№2(15 нұсқа №11)

Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықты жазықтықпен қиылған. Қиманың ауданын табыңыз.

R=OB=41 см

AO=9 см

AB²=OB²-AO²

AB²=1681-81=1600

S=R²

S=1600

№3 (17 нұсқа №27)

Шар бетінің ауданы 36. Шардың көлемін табыңыз.

S=4 R²

36=4 R²

R=3

V=R³= *3³=36

№4 (29 нұсқа №11)

Үш шардың радиустары 3см, 4см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?

R₁=3см, V₁=R₁³=*3³=36

R₂=4см, V₂=R₂³=*4³=

R₃=5 см, V₃=R₃³=*5³=

V=(V₁+V₂+V₃)= (36++)=*288=96

V=R³

R³=

R=

2004ж

№5( 15 нұсқа №30)

Радиусы 17 см болып келетін шар оның центрінен 15см қашықтықта жазықтықпен қиылысады. Қима ауданын табыңыз.

R=OB=17 см

AO=15 см

AB²=OB²-AO²

AB²=289-225=64

S=R²

S=64

№6(20 нұсқа №30)

Шар секторының табанындағы шеңбердің радиусы см-ге, ал шардың радиусы 3 см-ге тең. Шар секторының көлемін табыңыз.

R=OA= 3см

AB= см

BO²=OA²-AB²

BO²=9-5=4

BO=d=2cм

H=R-d=3-2=1cм

V=R²H=*9*1=6
№7 (22 нұсқа №30)

Шар бетінің ауданы 100 . Шардың көлемін табыңыз.

S=4 R²

100=4 R² R=5

V=R³= *5³=

№8 (32 нұсқа №30)

Шар бетіне тиісті C, D және Е нүктелері берілген және CD=7 cм, DE=8cм, CE=9 cм. Шардың центрінен CDE үшбұрыш жазықтығының центріне дейінгі қашықтық 1 см-ге тең болса, шар бетінің ауданын табыңыз.

AO=1cм,

P=(7+8+9)=12

S=

R_CDE=
OE²=AO²+AE²

OE=

S=4 R²S=4*=92,2

2005 ж

№9 (9нұсқа №28)

Бір шар бетінің ауданы 18см²-қа тең. Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе үлкен екінші шар бетінің ауданын табыңыз.

S₁=18 см²

4 R²=18

R²=

R=

V₁=R³=*()³=

V=V₁*8=*8=

=R³

R=

S=4R²

S=4*=72cм²

№10(28 нұсқа№30)

V=cм³тең болатын шар конусқа іштей сызылған.Конустың биіктігі 3 см болса, көлемін табыңыз.

V=R³

R³=

R_шар=1

SO=H

L-жасаушысы
L²=H²+R²

L=

R_шар=

=1

3R=R+

=2R

4R²=9+R²

R²=3

S_конус= R²

S_конус=3

V= S_конусH=*3*3=3

№11 (29 нұсқа №30)

Шарлардың радиустары 25 дм, 29 дм, ал олардың центрлерінің ара қашықтығы

36 дм.Шарлардың беттерінің қиылысу сызығының ұзындығын табыңыз.

AB=25 дм, BC=29 дм, AC=36 дм

AD=x , DC=36-x

BD²=AB²-AD²

BD²=BC²-DC²

25²-x²=29²-(36-x)²

625- x²=841-1296+72x- x²

72x=1080

x=15
BD²=AB²-AD²

BD²=625-225=400

BD=20

C=2R=2*20=40дм=4м

2006 ж №12(26 нұсқа №14)

Шардың көлемінің және оның беттерінің аудандарының сан мәндері тең. Шардың радиусын табыңыз.

V_шар= S_б.б

R³=4 R²

R=3 cм

2007ж

№13( 2 нұсқа №30)

Сыртқы диаметрі 10,7 см, ал ішкі диаметрі 8,6 см-ге тең іші қуыс шойын шардың массасын есептеп шығарыңдар. Шойын тығыздығы 7,3г/см³

AB=10,7 см

CD=8,6 см

=7,3 г/см³

m=V

R₁=AB/2=10,7:2=5,35

V₁=R₁³=*5,35³=204,17

R₂=CD/2=8,6:2=4,3

V₂=R₂³=*4,3³=106,009

V=V₁-V₂=204,17-106,009=98,161

m=V

m=7,3*98,161=716,6

№14(6 нұсқа №14)

Шардың көлемі 288см³. Шар бетінің ауданын табу керек.

V=288см³

R³=288

R=6

S=4R²=4*6²=144

2009ж

№15(9 нұсқа №18)

Шарды қиятын екі параллель жазықтық шар центрінің екі жағында орналасқан. Қималардың аудандары 144 және 25. Жазықтықтардың арасы 17 см болса, шар бетінің ауданын табу керек.

AB=17см

S₁=144

S₂=25

S_шар-?

R₁²=144

BC=R₁=12

R₂²=25

AD=R₂=5

AO=x, BO=17-x

CO²=BO²+BC²
DO²=AO²+AD²

DO=CO=R

(17-x)²+144=x²+25

289-34x+x²+144= x²+25

34x=408

X=12

AO=12, DO²=144+25=169

DO=13

S=4*R²=676

№16 (18 нұсқа №24)

Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12 см. Қималардың аудандары 100және 64 болса, шардың радиусын табыңыз.

S₁=100 R₁=10

S₂=64 R₂=8

AB=12 см.

AKD; KD²=AD²-AK²

KD²=100-36=64

KD=8

BKC

KC²=BC²-KB²

KC²=64-36=28

KC=2

DKO;

KO²=KD²+DO²

KO²=64+28=92

AKO

AO²=AK²+KO²

AO²=36+92=128

R=

2010ж

№17 (15 нұсқа №25)

Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24. Жазықтықтардың арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңыз.

AB=7, C₁=10 , C₂=24.

S_сфера-?

2R₁=10

AC=R₁=5

2R₂=24.

BD=R₂=12

AOC;

BO=x

AO=x+7

OC²=AO²+AC²=(x+7)²+25
BOD

OD²=BO²+BD²=x²+144

OC=OD=R

(x+7)²+25= x²+144

X²+14x+49+25=x²+144

14x=70

X=5

R²= x²+144=25+144=169

R=13

S=4*R²=4*169=676

ҮІІ бөлім Цилиндр

Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын фигураны айтады.

V=R²H

S_б.б=2RH

S_т.б= S_б.б+2S_таб

2003ж

№1 (7 нұсқа №21)

Биіктігі 3см-ге тең, ал осьтік қимасы шаршы болатын цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AC=H=3см

R=AB:2=3:2=1,5 см

S=2RH

S=2*1,5*3=9

№2 (13 нұсқа №11)

Цилиндр биіктігі 2 м, табан радиусы 3 см. Көлемін табыңыз.

H=2 м=200 см.

R=3 см.

V=R²H

V=*3²*200=1800 см³

№3 (14 нұсқа №11)

Цилиндрдің биіктігі 6 дм, ал табанының радиусы 5дм. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

H=6 дм, R=5дм.

S=2RH

S=2*5*6=60 дм²

№4 (16 нұсқа №11)

Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 24 см². Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

S_ABCD=24 см²,

S_б.б=2RH

AB=2R

AC=H

S_ABCD=AB*AC

S_б.б=24 см²

№5 (16 нұсқа №27)

Осьтік қимасының ауданы 30см², ал табанының ауданы 9см²цилиндр берілген.

Көлемін табыңыз.

S_ABCD=30 см²,

Sтаб=9см²

Sтаб=R²

R²=9

R=3

AB=2R

AC=H

S_ABCD=AB*AC

2R*H=30

H=30:6=5cм

V=R²H

V=*9*5=45

№6(19 нұсқа №26)

Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Жазбаның диогоналі d табанымен бұрыш жасайды. Цилиндрдің көлемін табыңыз.

AC=d

V-?

CD=d sin

AD=d cos

C_таб= 2R

2R= d cos

R=

V=R²H

V=()²* d sin=cos²*sin

2004ж

№7.(3 нұсқа №30)

Цилиндрдің көлемі 112 см³, биіктігі 28 см. Осьтік қимасының диогоналінің ұзындығын табыңыз.

V=112 см³

V=R²H

H=28 см.

AD-?

R²*28=112

R²=4

R=2

AB=4

AD²=AB²+BD²

AD²=16+784=800

AD=
2006ж

№8 (19 нұсқа №14)

Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 70см², ал биіктігі 7 см-ге тең. Цилиндрдің бетінің ауданын табыңыз.

AB=2R

AC=H=7 см

S_ABCD=AB*AC=70см²

2R*7=70

R=70:14=5cm

S_б.б=2RH=2*5*7=70

S_таб=R²=*5²=25

S_т.б=2 S_таб+ S_б.б=50+70=120

2007ж

№9(25 нұсқа №30)

Цилиндрдің осьтік қимасының диогональдары өзара перпендикуляр. Қиманың периметрі 8а. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

P_ABCD=8a

AB=2a, AC=2a

R=a,

S_б.б=2RH=2*a*2a=4a²

V=R²H

V=a²*2a=2a³
2009ж

№10 (17 рұсқа№24)

Радиусы R, биіктігі Н-қа тең цилиндрге табаны цилиндр табанының біріне іштей сызылған, ал төбесі оның келесі табанына тиісті болатын дұрыс төртбұрышты пирамида іштей сызылған. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

SO=H, OD=R.

S_т.б-?

AD=2R

AB=x

AD²=AB²+BC²

x²+x²=4R²

x²=2R²

S_таб=AB²

S_таб=2R²

Sб.б=P*A (А-пирамиданың апофемасы)

AB=R

P=4R

A²=H²+(AB/2)²

A=

S_б.б=*4R*=2R

S_т.б=2R+2R²=2R(+R)

ҮІІІ бөлім. Конус

Конус деп тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын фигураны атайды.

V=R²H

Sб.б= RL

L²=H²+R²

S_т.б= S_б.б+S_таб

2003ж

№1 (3 нұсқа №11)

Конустың жасаушысы 2 см-ге тең, осьтік қимасының төбесіндегі бұрышы 120⁰.

Конустың табанының ауданын табыңыз.

AC=2 см

⁰

S_таб-?

АВ²=AC²+BC²-2AC*BC*cos120⁰

АВ²= (2)²+(2)²+2*2*=2*4*3+4*3=36

AB=6

R=3

S_таб=R²S_таб=9

№2 (3 нұсқа №29)

Конустың биіктігі 4см. Табанының диаметрі 6см. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

CH=4см

AB=6см

R=3cм

Sб.б= RL

L²=H²+R²

L²=16+9=25

L=5

Sб.б= *3*5=15
№3 (8 нұсқа №26)

Конустың биіктігі табанының радиусына тең. Көлемі V=9.Жасаушысын табыңыз.

CH=R=x

V=9.

L-?

V=R²H

R²H=9

X³=27

X=3

L²=H²+R²

L²=9+9=18

L=3

№4 (9 нұсқа №26)

Конустың табанының радиусы 3см, ал жасаушысы табан жазықтығына 45⁰ бұрыш жасай көлбеген. Конустың көлемін және бүйір бетінің ауданын табыңыз.

R=AH=3см

⁰

V, S_б.б-?

СH=3см

L²=H²+R²

L²=(3)²+(3)²

L²=36

L=6

V=R²H

V=(3)³=18

Sб.б= RL

Sб.б= *3*6=18

№5 (13 нұсқа №27)

Конустың көлемі 9см³Егер оның осьтік қимасы тең қабырғалы үшбұрыш болса, конустың биіктігін табыңыз.

V=R²H

V=9см³

9см³=R²H

R=x, CB=2x

CH²=4x²-x²=3x²

CH=x

*x²^*x=9

X³=27

X=3

CH=x=3

№6 (25 нұсқа №11)

Осьтік қимасы тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш болатын конус берілген. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 6см-ге тең болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AB=6

R=3

H=3

L²=H²+R²

L²=(3)²+(3)²

L²=36

L=6

Sб.б= RL

S_б.б=*3*6=18
2004 ж

№7( 5 нұсқа №30)

Конустың жасаушысы табан жазықтығына 30⁰бұрыш жасай көлбеген және 8 см-ге тең. Осьтік қимасының ауданын табыңыз.

⁰

AC=8 см

S_ABC-?

S_ABC=AB*CH

CH=AC

CH=*8=4

AH²=AC²-CH²

AH²=64-16=48

AH=4

AB=8

S_ABC=AB*CH=*8*4=16

№8 (13 нұсқа №30)

Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш өзінің катетінен айналдырылған. Гипотенузасы 3см-ге тең болса, шыққан конустың көлемін табыңыз.

AC=3см

AC²=AH²+CH²

2AH²=18

AH²=9

AH=3

V=R²H

V=*3²*3=9

№9(19 нұсқа №30)

Конустың биіктігі 15cм, ал көлемі 320 см³. Табанының радиусын табыңыз.

V=R²H

V=320 см³

H=15см

R^{2 *}15=320

R²=64

R=8

2009ж

№10( 1 нұсқа №25)

Жасаушысы L-ге, ал табанының радиусы R-ге тең конус берілген. Бір жағы конус табанында, ал қарсы жатқан жағының төбелері оның бүйір бетінде жататын конусқа іштей сызылған кубтың қырын табыңыз.

PB=L

BK=R, R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы

a-? a-төртбұрыштың қабырғасы

a=R

H=

1-
a (

a=

a=

№11( 3 нұсқа №18)

Конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш, бүйір қабырғасы 16 см, ал арасындығы бұрышы 120⁰ болса, толық бетінің ауданын табыңыз.

AC=16 см,

⁰

S_т.б-?

S_т.б=R(R+L)

АВ²=AC²+BC²-2AC*BC*cos120⁰

AB²=16²+16²+2*16*16*=768

AB=16

R=AB:2

R=8

S_т.б=R(R+L)= *8(8+16)=64(3+2)

№12(4 нұсқа №18)

Тік конустың жасаушысы 6 см-ге тең және табан жазықтығына 60⁰бұрыш жасай көлбеген. Толық бетінің ауданын табыңыз.

AC=6 см, ⁰

S_т.б-?

S_т.б=R(R+L)

AH=6*=3 см

S_т.б= *3*(3+6)=27

2010ж №13 (8 нұсқа №25)

Конустың биіктігі 20-ға, табанының радиусы 25-ке тең. Конустың төбесі арқылы өтетін және конустың табанының центрінен қашықтығы 12 см-ге тең боатын қиманың ауданын табыңыз.

SO=20 см, KO=25 см, PO=12 см

S_SKL=SP*KL

SEO; SE=

SPO; SO²=SE*SP

SP= SO²:SE

SP=400:16=25

KPO; KP=

S_SKL=SP*KL=*25*20=500

№14 (11 нұсқа №25)

Пирамиданың табаны-қабырғасы а-ға , сүйір бұрышы -ға тең ромб. Пирамидаға жасаушысы табан жазықтығымен бұрыш жасайтын конус іштей сызылған. Конустың көлемін табыңыз.

V=S_таб *SO

=sin

h=a sin

r=h= a sin

SO=sintg

S_таб=r²=(a sin)²
V= *()²a²sin² *sintg=sin³tg

№15 (16 нұсқа №25)

Конустың биіктігі 3см, табанының радиусы 5 см.

Төбесі арқылы өтетін биіктігімен 30⁰жасайтын қиманың ауданын табыңыз.

SO=3см

R=5 см.

⁰

S_SKL=KL*SP

SP=2PO

SP=2x, PO=x

SO²=SP²-PO²

3x²=27

X²=9

X=3

SP=6, PO=3 KP==4 KL=2KP=8

S_SKL=KL*SP=*8*6=24 см²

№16 (19 нұсқа №25)

Конустың биіктігі 4 см. Конус бүйір бетінің жазбасының центрлік бұрышы 120⁰.Конустың көлемін табыңыз.

CH=4

=

L=3R

H=

H=2R

2R=4 R=2

V=R²H

V=*2²*4 =

№17 (21 нұсқа №24)

Конустың бүйір бетінің ауданы табанының ауданынан 2 есе артық болса, жазбасының бұрышын радианмен табыңыз.

S_б.б= RL

S_б.б=2S_таб

RL=2R²

L=2R

=

=180⁰

№ 18 (16 нұсқа №25)

Конустың көлемі V –ға тең. Конусқа іштей сызылған дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз.

V=R²H

H=

V_пир=S_таб*H

R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы

a-төртбұрыштың қабырғасы

a=R

S_таб=a²=(R)²=2R²

V_пир =S_таб*H=*2R^2*H=*2R²*=

№19 (17 нұсқа №25)

Радиусы 6 см-ге тең жарты дөңгелек конусқа айналдырылған. Кoнустың көлемі неге тең?

С=R=6

H=

H=

C=2R

2R=6

R=3

V=R²H=*9*3=9

№20 (20 нұсқа №18)

Конустың осьтік қимасы тік бұрышты үшбұрыш.P=16(2+) , толық бетінің ауданы неге тең?

AC=BC=L, AB=2R

AC²+BC²=AB²

2L²=4R²

L=R

P=2R+2L

2R+2L=16(2+)

R+L=8(2+)

R+R=8(2+)

R(1+)=8(1+)

R=8

L=*8=16

S_т.б=R(R+L)= *8*(8+16)= *8*8(1+)=128(1+)

№21 (2003ж. 2 нұсқа №27)

Қиық конустың табан радиусы 7 м және 4 м. Жасаушысы табанына 60⁰бұрышпен көлбеген.Жасаушысын табыңыз.

OC=4 м.

ND=7 м

⁰

DC-?

DH=DN-HN=7-4=3м

=cos60⁰
DC=3: =6м

№22 (18 нұсқа №11)

Қиық конустың табанының диаметрі 3м, 6м, биіктігі 4 м. Жасаушысын табыңыз.

AD=6, BC=3, CH=4, DC-?

HD=(AD-BC)= *(6-3)=1,5

DC²=CH²+HD²

DC²=16+2,25=18,25

DC=

№23 (23 нұсқа №26)

Қиық конустың табанының радиустары 10 см және 4 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 45⁰ бұрыш жасай көлбеген. Конустың осьтік қимасының ауданын табыңыз.

ND=10, OC=4, ⁰

S_ABCD-?

HD=ND-OC=10-4=6

HD=CH=6

S=(AD+BC) *CH=(20+8)*6=84

№24 (2009ж 10 нұсқа №25)

Конустың көлемі 375 см³. Биіктігі 5 см.Конус төбесінен 2 см қашықтықтан өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.

V=375 см³

H=5 см.

SC=2cм

V_{қиық кон}-?

V=R²H

R²*5=375

R²=225:

R=
CN=x

x=

V=H(r²+R²+R*r)= *3*()=351 см²

52